借助“推理”助力數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的養(yǎng)成

李冰 文菊

[摘 ?要] 文章以“草原上的蒙古包”的教學(xué)為例，再現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生將生活實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題進(jìn)行練習(xí)、推理，形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的教學(xué)過程。教師圍繞圓柱、圓錐表面積和容積的基礎(chǔ)知識，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)據(jù)論證關(guān)于圓柱側(cè)面積和容積之間關(guān)系的猜想，用類比推理的數(shù)學(xué)思想方法，在活動中體驗圓錐、圓柱外形優(yōu)勢，積累活動經(jīng)驗，促使學(xué)生在推理分析過程中，不知不覺地養(yǎng)成將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于生活的意識。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;推理能力;應(yīng)用意識;圓柱;圓錐

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識?！被诖?，教師在日常教學(xué)中需要幫助學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實生活中蘊(yùn)藏著大量的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用;面對實際問題時，能主動嘗試從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略。我們選用《數(shù)學(xué)文化讀本》上的內(nèi)容，在教學(xué)過程中借助推理來探究真相，助力學(xué)生應(yīng)用意識的養(yǎng)成。

“草原上的蒙古包”是《數(shù)學(xué)文化讀本》六年級的教學(xué)內(nèi)容。本課需要學(xué)生探究蒙古包的設(shè)計原理，并了解圓柱形物體的特征。同時學(xué)生通過推理、分析，將數(shù)學(xué)知識與生活實際相聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)知識在建筑中的廣泛運(yùn)用，逐步養(yǎng)成應(yīng)用意識。本課看似簡單卻蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)知識，如何取舍本課知識點，確定教學(xué)重難點，需要教師把握住小學(xué)階段對“圖形與幾何”這一板塊知識的具體要求。我們將本課教學(xué)重點確定為：探究體積相同的立體圖形中表面積最小、容積最大的圓柱。同時，立足作為《國家課程》相關(guān)知識點的延伸和補(bǔ)充這一要求，本課側(cè)重于小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中推理能力以及應(yīng)用意識的培養(yǎng)。我們創(chuàng)編故事情節(jié)，使學(xué)生在這個過程中學(xué)會自主地用數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思維去分析生活中的實際問題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和應(yīng)用能力。

一、巧用數(shù)學(xué)文化，發(fā)掘?qū)嶋H問題

數(shù)學(xué)文化主要是指通過人們實際參與各種數(shù)學(xué)活動，包括數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，逐步形成的一些特殊的行為方式、思維方法與價值觀念，而《數(shù)學(xué)文化讀本》從數(shù)學(xué)文化的角度引入的“草原上的蒙古包”這一教學(xué)內(nèi)容，就是將生活實際與數(shù)學(xué)應(yīng)用相結(jié)合。

片段一：

出示故事人物：博士、天天、波波、妮妮和萬事通，以及大草原的美麗圖片。

師：歡迎同學(xué)們加入有趣的數(shù)學(xué)文化之旅，今天我們將和其他小伙伴一起跟隨博士開啟一段探尋內(nèi)蒙古大草原的旅程。

師：一路上，大家都沉醉在大草原的遼闊美景之中，忽然妮妮指著遠(yuǎn)方小小的白點問，這是什么?。?/p>

生1：蒙古包。

師：什么是蒙古包？

生2：蒙古包就是蒙古族人民居住的房子。

師：那關(guān)于蒙古族，你們有什么了解呢？

……

師：大家對蒙古族的了解真不少，這節(jié)課我們就一起走近草原上的蒙古包。

數(shù)學(xué)文化的建設(shè)是一個潛移默化的過程，教師傳授給學(xué)生的不僅是知識和技能，更重要的是在教學(xué)中體現(xiàn)思維，給人一定的智慧。這里開門見山地交代故事起因和故事人物。通過學(xué)生對蒙古族的民族特點及文化特色的介紹，來了解蒙古包建筑的文化背景，也為后面探究實際問題埋下伏筆。

二、經(jīng)歷自主推理，養(yǎng)成應(yīng)用意識

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)要求教師在教學(xué)的過程中向?qū)W生強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的存在價值。通過教師提出有價值的問題，或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，改變學(xué)生在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中的被動狀態(tài)，激勵學(xué)生更加積極主動地思考和學(xué)習(xí)。故事情節(jié)環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生不自覺地跟隨情節(jié)經(jīng)歷一次又一次的合情推理，在潛移默化中養(yǎng)成應(yīng)用意識。

設(shè)計流程：

（一）推理一：探究底面周長一定，圓柱體空間最大。

片段二：

1. 引導(dǎo)學(xué)生提出問題。

課件展示一個蒙古包。

師：面對蒙古包，你有什么疑問嗎？

生3：我想知道為什么蒙古包會是這樣的形狀呢？

師：是什么形狀？

生4：就是一個圓柱和一個圓錐。

教師根據(jù)學(xué)生回答畫出由一個圓柱和一個圓錐組成的簡易蒙古包。

2. 探究計算。

根據(jù)情節(jié)，播放幻燈片。

師：跟大家一樣，天天也在問博士為什么蒙古包要建成這種形狀。

博士神秘一笑，說道：這樣吧，今天我們就在這里安營扎寨，住下來慢慢了解。妮妮一聽要自己動手搭房子，特別興奮地說：好耶，我要住寬敞的大房子。博士說：好啊，你們先設(shè)計，我到旁邊部落去找點材料。

師：我們和小伙伴們一起設(shè)計吧！妮妮想要住最寬敞的房子，你能給她什么建議呢？

生5：肯定是圓柱體??！

師：為什么？

生5：因為蒙古包都是圓柱體的。

師：如果從數(shù)學(xué)的角度來思考，為什么必須是圓柱體的蒙古包呢？

師：溫馨提示，大家可以分底面和側(cè)面兩個部分來分析。

生6：哦，我知道了?？吹酌?，如果是周長一樣的長方形、正方形和圓形，那么圓形的面積最大。

師：認(rèn)同他的觀點嗎？同意他的觀點的舉手……

可妮妮卻半信半疑，怎么辦？

師：其實在數(shù)學(xué)上，最具說服力的還是數(shù)據(jù)，這樣，我們來填表（見表1），用里面的數(shù)據(jù)說明你的觀點。

學(xué)生完成表格，并說明觀點。

妮妮卻說：面積大又不能代表空間大！

生7：我們得算體積才知道。

師：體積怎么算？

生7：底面積×高。

師：好，現(xiàn)在我們就把這幾個長方形、正方形和圓形作為底面來圍，如果材料高3米，它們的體積分別是多少？

學(xué)生獨立完成，并指明回答。

師：結(jié)合這些數(shù)據(jù)，你準(zhǔn)備怎么說服妮妮？

生8：周長一定時，圓的面積最大;底面周長和高一定時，圓柱體的體積最大。

教師引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題，并圍繞問題，跟隨故事情節(jié)，“逼”出圓柱體。用幫助故事人物的情境，迫使學(xué)生去計算探究“周長一定，圓形面積最大”“底面周長和高一定，圓柱體體積最大”。

（二）推理二：探究底面積和高一定，圓柱側(cè)面積最小。

片段三：

妮妮聽了大家的結(jié)論，說：好，12m2夠我們5個人住了，我們就搭圓柱形。

波波不滿地說：你倒是寬敞了，需要的材料不就多了嗎？這個部落那么小，博士能找到的材料肯定不多。

妮妮委屈地說：難道圍成圓柱體需要的材料就最多嗎？

師：同學(xué)們，你們認(rèn)為呢？

生……

生9：我覺得材料都一樣多。

生10：我覺得底面是正方形的用的材料少一點。

生11：哦，這就是剛才我們還沒討論的側(cè)面的問題。

師：是的。但，看樣子大家都不太確定。怎么辦？

生11：去算一算就知道了！

師：算什么？

生11：算側(cè)面積啊！

師：好難算?。∫欢ㄒ愠鰝?cè)面積才能比出材料多少嗎？

……

師：側(cè)面積是怎么算的？

生11：底面周長×高。

師：對的，這里材料高度都一樣，那么我們就只需要算什么？

生（齊）：底面周長。

師：好，那我們分頭行動，分組去算長方形、正方形和圓形的周長吧！

小組合作學(xué)習(xí)（如圖2）。

學(xué)生匯報。

分組展示每種形狀的周長。

生12：r2=12÷3=4，r=2m，C=2×2×3=12m。

生13：12=1×12=2×6=3×4，①（1+12）×2=26m，②（2+6）×2=16m，③（3+4）×2=14m。

生14：12=a×a，①3×3=9m2，②4×4=16m2，③3.5×3.5=12.25m2，3.5×4=14m。

師：你為什么先去找了32、42，最后確定3.52呢？

生14：我不知道哪個數(shù)的平方是12，但知道32比12小，42比12大，所以就取了3.52。

師：真棒，為你點贊，開平方是中學(xué)的內(nèi)容，現(xiàn)在你們能推導(dǎo)出3.52，已經(jīng)很棒了！

聽了大家的意見，波波嘀咕道：周長少，又不是材料少！

師：看來還是得算一算側(cè)面積。

全班一起計算側(cè)面積。

師：通過剛才兩次計算，我們來梳理一下發(fā)現(xiàn)，好說服波波。

生15：面積一定時，圓的周長最小;底面積和高一定時，圓柱體的側(cè)面積最小。

此處是本課的教學(xué)難點，也是重點，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，他們是無法通過面積計算出正方形的邊長的，而且長方形的情況也有多種，于是我們將難度進(jìn)行了三次分解：一是將三種形狀分給幾個組，每個組只計算一種情況;二是將直接計算側(cè)面積分解成先算底面周長，然后計算側(cè)面積;三是將長方形的多種情況確定在整數(shù)范圍，同時引導(dǎo)學(xué)生不直接計算正方形的邊長，而是用已經(jīng)知道的平方數(shù)推導(dǎo)出近似值。分解的目的是讓學(xué)生在能力范圍內(nèi)去自主探究出結(jié)論，而不是教師直接講解。

（三）推理三：類比推理生活中其他的圓柱形物體。

片段四：

小伙伴們正討論激烈，博士找到材料回來了，問：你們設(shè)計好了嗎？

學(xué)生告知了博士他們總結(jié)出的圓柱體的特征：空間大、用材少。

博士會心地笑了。

波波恍然大悟道：我知道，原來生活中的水管就是利用圓柱體這個特征設(shè)計的物品。（這樣的物品還有嗎？）

生16：水桶。

生17：筆筒。

博士滿意地點點頭，說道：其實不僅人類有這樣的智慧，植物也同樣有……看課件。（介紹植物的枝干、根莖）

通過計算、分析得到蒙古包主體搭建成圓柱體的緣由后，接著讓學(xué)生用遷移推理的方法去探究蒙古包圓錐形頂部的原理，也就水到渠成了。

（四）推理四：探究蒙古包圓錐形頂部的原理。

片段五：

師：接下來，博士就帶著小伙伴們動起手來，不一會就將蒙古包主體搭建好了。

天天又問道：頂部該怎么搭呢？有什么好的建議嗎？

同桌交流推理頂部構(gòu)造的理由，并匯報。（不積雨雪、牢固）

通過對蒙古包外形特征的總結(jié)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識在生活中的廣泛運(yùn)用。而將圓柱體的特征延伸到生活中，目的在于讓學(xué)生知道生活中是如何運(yùn)用這些特征的，通過尋找數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

推理全過程中，學(xué)生會計算正方形、長方形、圓形的周長、面積，正方體、長方體和圓柱的體積，并進(jìn)行多次比較。在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷了一次次的推理，進(jìn)行了層次分明、目的明確的練習(xí);巧妙地突破了本課的重難點，培養(yǎng)了推理能力，認(rèn)識到現(xiàn)實生活中蘊(yùn)藏著大量的數(shù)學(xué)信息，養(yǎng)成了應(yīng)用意識。

三、拓寬觀察視野，提出延伸問題

問題是引發(fā)學(xué)生思考的根本，通過引導(dǎo)學(xué)生提出新的實際問題，既是讓知識走向深入，更是促使學(xué)生主動嘗試從數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略，同時也是養(yǎng)成學(xué)生應(yīng)用意識的有效策略。

片段六：

聽完介紹，當(dāng)大家唏噓不已時，萬事通也感嘆：這趟草原之行收獲可真不少！你有收獲嗎？

博士又問：那你們還有什么疑問嗎？

生（齊）：為什么我們這些地方的房子不修成圓柱形呢？

師：沒關(guān)系，我們的草原之行還沒有結(jié)束，帶著你的疑問我們下節(jié)課繼續(xù)旅程。

本節(jié)課中，教師從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，精心組織教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計故事情節(jié)和豐富數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在故事情節(jié)中提出猜想，經(jīng)過一次又一次的推理去驗證自己的猜想，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，養(yǎng)成了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。