標準型和改進型DH建模的對比研究與仿真

郭 萍

（武漢交通職業(yè)學院智能制造學院，湖北 武漢 430065）

在中國制造2025 的背景下，工業(yè)機器人技術進一步發(fā)展。機器人運動學建模仿真技術可以動態(tài)描述機器人關節(jié)的運動特性，直觀地顯示機器人的運動情況，對機器人的軌跡規(guī)劃和運動控制研究有重大意義。

1 DH 建模意義

工業(yè)機器人的運動學描述就是如何在機器人運動的情況下確定末端執(zhí)行器的位姿。機械臂是由一系列關節(jié)和連桿組成，關節(jié)和連桿之間存在相對運動，末端執(zhí)行器將隨著關節(jié)和連桿運動，其位姿描述的是一種動態(tài)關系。為清晰地表達這種關系，需要確定關節(jié)、各連桿和末端執(zhí)行器之間的運動關系。

建立坐標系可以方便描述運動關系，以機器人末端執(zhí)行器尖端一點的運動描述為例，尖端點相對末端的位置與末端執(zhí)行器的尺寸有關，與連桿無關，如果在機器人末端上面建立一個空間坐標系，那么很容易在該坐標系下描述尖端點的位置。然而，連桿和關節(jié)是運動的，尖端點相對于連桿和基座的坐標卻是不固定的，因此還需要在連桿上建立坐標系，明確連桿坐標系和末端坐標系之間的轉換關系。簡單、清晰地描述坐標系間轉換關系的關鍵在于建立坐標系。

機器人關節(jié)一般有6 個，連桿也有多個，需要建立多個坐標系。為避免坐標系之間的關系復雜多樣，須統(tǒng)一坐標系的規(guī)則，并且坐標系的參數(shù)要盡可能少，根據(jù)該原則，DH參數(shù)法是比較合適機器人運動學建模的模型。DH 參數(shù)法分標準型和改進型，其模型中的每個連桿坐標系只需要4 個參數(shù)，因此被廣泛應用于工業(yè)機器人建模。

2 標準型DH 建模方法

標準型DH 參數(shù)法是目前機器人建模的一般方法，是一種描述連桿坐標系的簡單且有效的方法，適用于任何機器人結構。

首先，標準型DH 參數(shù)法建模確定各個關節(jié)坐標系間的變化關系。其次，將所有坐標間的變化結合起來。最后，推導末端坐標系與基座的關系。如圖1 所示是機器人中的2 個相鄰連桿，在關節(jié)處按照DH 參數(shù)法建立坐標系。

圖1 標準型DH 模型連桿坐標系描述

根據(jù)坐標系建立原則（關節(jié)軸+1 軸線方向為Z，關節(jié)軸和+1 的公垂線所在直線為X，右手法則確定Y軸）可知，X垂直于關節(jié)軸，X也垂直于關節(jié)軸，由數(shù)學知識可知，關節(jié)軸垂直于異面直線X和X所在的平面。如果異面直線X和X的夾角為θ，那么坐標系O繞著Z轉動θ后，X與X平行。接著，沿著Z移動距離d，X和X重合。下一步，沿著X移動距離a，不僅X與X重合，坐標系O與O的原點也重合，最后繞著X轉動α，Z和Z重合, 坐標系O和O完全重合。用數(shù)學語言表達該坐標系地轉換過程，如公式（1）所示。

將公式（1）展開得到任意相鄰坐標系的變換矩陣，如公式（2）所示。

該變換矩陣可以將坐標系O映射到O。在每個連桿上都建立一個坐標系，然后用上述變換關系找到相鄰連桿之間的變換關系，就可以描述機器人末端點在基坐標系下的坐標，即DH 參數(shù)法僅用、、和這4 個參數(shù)就能描述坐標變換。

3 改進型DH 建模方法

與標準型DH 建模法不同，改進型DH 坐標系不是建立在傳動軸上的，而是建立在連桿的驅動軸上，即靠近基座一側的關節(jié)軸上。2 種建模法坐標系描述的區(qū)別如圖2、圖3所示。

圖2 標準型DH 坐標系

圖3 改進型DH 坐標系

改進型DH 建模法的關節(jié)、連桿和坐標系按照從基座到末端執(zhí)行器的方向排列，其順序為關節(jié)1、與關節(jié)1 并列的連桿1 坐標系、連桿1 以及關節(jié)2，以此類推。

對傳統(tǒng)的串聯(lián)機器人來說，標準型DH 建模方法受到大多數(shù)研究者的青睞。但是對非串聯(lián)結構的機器人來說，標準型DH 建模法并不適用。例如1 個連桿同時存在2 個傳動軸，分別連接2 個連桿，如圖4 所示。設關節(jié)1 和基座之間的連桿編號為0，參考坐標系編號為0。按照標準型DH 建模法，連桿的坐標系在傳動軸上面，那么連桿坐標系3 將與參考坐標系0 重合，即在關節(jié)1 處將同時建立2 個坐標系，會引起歧義。而采用改進型DH 建模方法，連桿的坐標系在驅動軸上面，各個連桿坐標不會出現(xiàn)重合的問題，如圖5 所示。

圖4 非串聯(lián)結構機器人的標準型DH 建模坐標描述

圖5 非串聯(lián)結構機器人的改進型DH 建模坐標描述

不管機器人結構多復雜，每個連桿只有1 個驅動軸，改進型DH 參數(shù)法都可以準確的建立坐標系，可解決多個傳動軸坐標系無法準確建立的問題。與標準型DH 建模法相比，改進型DH 建立坐標系的位置發(fā)生了變化，連桿之間的變換關系自然也有相應的變化，由數(shù)學坐標變換知識可得，改進型DH 坐標系相鄰連桿之間的變換關系如公式（3）所示。

將公式（3）展開得任意相鄰坐標系的變換矩陣，如公式（4）所示。

4 DH 建模的分析與驗證

SCARA 是關節(jié)型機器人，其具有作業(yè)速度快、效率高的特點，被廣泛應用于生產和生活中。SCARA 采用1 個移動關節(jié)和3 個旋轉關節(jié)，3 個關節(jié)旋轉則控制末端執(zhí)行器前后、左右運動，平面上具有很好的靈活性。為準確地描述標準型DH 建模法和改進型DH 建模法的差異，該文針對SCARA 機器人進行運動學建模并對比仿真。SCARA 各個連桿上的坐標系描述如圖6、圖7 所示。

圖6 標準型DH 模型連桿坐標描述

圖7 改進型DH 模型連桿坐標描述

由坐標系間的關系可推出DH 參數(shù)表，分別見表1、表2。其中，、、和為變量，其余參數(shù)均為固定值。

表1 標準型DH 參數(shù)

表2 改進型DH 參數(shù)

根據(jù)DH 建模法，SCARA 機器人末端執(zhí)行器相對基座的坐標如公式（5）所示。

分別將標準型和改進型DH 參數(shù)帶入公式（2）和公式（4）并進一步求得總變換矩陣，經(jīng)推算，標準型DH 建模法和改進型DH 建模法得到的總變換矩陣一致，如公式（6）所示。

理論上，通過總變換矩陣可推算出末端執(zhí)行器的坐標，便可進一步描述末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的運動?？傋儞Q矩陣一致說明標準型和改進型DH 建模在描述末端執(zhí)行器模型，如圖8 所示，通過對比再次證明2 種DH 參數(shù)仿真模型的一致性。根據(jù)所建立模型，采用多項式進行軌跡規(guī)劃并進行運動仿真，結果表明2 種模型所得到的末端執(zhí)行器的運動軌跡是一樣的，如圖9 所示。因此，不論是標準型DH 建模還是改進型DH 建模，盡管連桿的坐標系描述不一樣，但是最終的運動學描述效果是一樣的。

圖8 SCARA 機器人的SDH 和MDH 運動學模型

圖9 SCARA 末端執(zhí)行器的運動軌跡

5 結語

該文通過研究標準型和改進型DH 參數(shù)建模法，以SCARA 機器人運動學建模與仿真為例，得出2 種參數(shù)建模法在理論和仿真效果上具有一致性的結論，因此，對一般的串聯(lián)機器人來說，標準型DH 和改進型DH 模型沒有優(yōu)劣之分。然而隨著機器人技術的發(fā)展，機器人的結構越來越復雜，對的運動方面的效果是一樣的。

為進一步驗證效果的一致性，采用MATLAB 分別搭建基于標準型DH 參數(shù)（SDH）和改進型DH 參數(shù)（MDH）的樹結構、閉環(huán)結構這種非串聯(lián)型機器人來說，改進型DH 模型可以避免坐標系歧義問題，更準確地描述機器人的運動，更適合在運動學建模中應用。