郭 萍
(武漢交通職業(yè)學院智能制造學院,湖北 武漢 430065)
在中國制造2025 的背景下,工業(yè)機器人技術進一步發(fā)展。機器人運動學建模仿真技術可以動態(tài)描述機器人關節(jié)的運動特性,直觀地顯示機器人的運動情況,對機器人的軌跡規(guī)劃和運動控制研究有重大意義。
工業(yè)機器人的運動學描述就是如何在機器人運動的情況下確定末端執(zhí)行器的位姿。機械臂是由一系列關節(jié)和連桿組成,關節(jié)和連桿之間存在相對運動,末端執(zhí)行器將隨著關節(jié)和連桿運動,其位姿描述的是一種動態(tài)關系。為清晰地表達這種關系,需要確定關節(jié)、各連桿和末端執(zhí)行器之間的運動關系。
建立坐標系可以方便描述運動關系,以機器人末端執(zhí)行器尖端一點的運動描述為例,尖端點相對末端的位置與末端執(zhí)行器的尺寸有關,與連桿無關,如果在機器人末端上面建立一個空間坐標系,那么很容易在該坐標系下描述尖端點的位置。然而,連桿和關節(jié)是運動的,尖端點相對于連桿和基座的坐標卻是不固定的,因此還需要在連桿上建立坐標系,明確連桿坐標系和末端坐標系之間的轉換關系。簡單、清晰地描述坐標系間轉換關系的關鍵在于建立坐標系。
機器人關節(jié)一般有6 個,連桿也有多個,需要建立多個坐標系。為避免坐標系之間的關系復雜多樣,須統(tǒng)一坐標系的規(guī)則,并且坐標系的參數(shù)要盡可能少,根據(jù)該原則,DH參數(shù)法是比較合適機器人運動學建模的模型。DH 參數(shù)法分標準型和改進型,其模型中的每個連桿坐標系只需要4 個參數(shù),因此被廣泛應用于工業(yè)機器人建模。
標準型DH 參數(shù)法是目前機器人建模的一般方法,是一種描述連桿坐標系的簡單且有效的方法,適用于任何機器人結構。
首先,標準型DH 參數(shù)法建模確定各個關節(jié)坐標系間的變化關系。其次,將所有坐標間的變化結合起來。最后,推導末端坐標系與基座的關系。如圖1 所示是機器人中的2 個相鄰連桿,在關節(jié)處按照DH 參數(shù)法建立坐標系。
圖1 標準型DH 模型連桿坐標系描述
根據(jù)坐標系建立原則(關節(jié)軸+1 軸線方向為Z,關節(jié)軸和+1 的公垂線所在直線為X,右手法則確定Y軸)可知,X垂直于關節(jié)軸,X也垂直于關節(jié)軸,由數(shù)學知識可知,關節(jié)軸垂直于異面直線X和X所在的平面。如果異面直線X和X的夾角為θ,那么坐標系O繞著Z轉動θ后,X與X平行。接著,沿著Z移動距離d,X和X重合。下一步,沿著X移動距離a,不僅X與X重合,坐標系O與O的原點也重合,最后繞著X轉動α,Z和Z重合, 坐標系O和O完全重合。用數(shù)學語言表達該坐標系地轉換過程,如公式(1)所示。
將公式(1)展開得到任意相鄰坐標系的變換矩陣,如公式(2)所示。
該變換矩陣可以將坐標系O映射到O。在每個連桿上都建立一個坐標系,然后用上述變換關系找到相鄰連桿之間的變換關系,就可以描述機器人末端點在基坐標系下的坐標,即DH 參數(shù)法僅用、、和這4 個參數(shù)就能描述坐標變換。
與標準型DH 建模法不同,改進型DH 坐標系不是建立在傳動軸上的,而是建立在連桿的驅動軸上,即靠近基座一側的關節(jié)軸上。2 種建模法坐標系描述的區(qū)別如圖2、圖3所示。
圖2 標準型DH 坐標系
圖3 改進型DH 坐標系
改進型DH 建模法的關節(jié)、連桿和坐標系按照從基座到末端執(zhí)行器的方向排列,其順序為關節(jié)1、與關節(jié)1 并列的連桿1 坐標系、連桿1 以及關節(jié)2,以此類推。
對傳統(tǒng)的串聯(lián)機器人來說,標準型DH 建模方法受到大多數(shù)研究者的青睞。但是對非串聯(lián)結構的機器人來說,標準型DH 建模法并不適用。例如1 個連桿同時存在2 個傳動軸,分別連接2 個連桿,如圖4 所示。設關節(jié)1 和基座之間的連桿編號為0,參考坐標系編號為0。按照標準型DH 建模法,連桿的坐標系在傳動軸上面,那么連桿坐標系3 將與參考坐標系0 重合,即在關節(jié)1 處將同時建立2 個坐標系,會引起歧義。而采用改進型DH 建模方法,連桿的坐標系在驅動軸上面,各個連桿坐標不會出現(xiàn)重合的問題,如圖5 所示。
圖4 非串聯(lián)結構機器人的標準型DH 建模坐標描述
圖5 非串聯(lián)結構機器人的改進型DH 建模坐標描述
不管機器人結構多復雜,每個連桿只有1 個驅動軸,改進型DH 參數(shù)法都可以準確的建立坐標系,可解決多個傳動軸坐標系無法準確建立的問題。與標準型DH 建模法相比,改進型DH 建立坐標系的位置發(fā)生了變化,連桿之間的變換關系自然也有相應的變化,由數(shù)學坐標變換知識可得,改進型DH 坐標系相鄰連桿之間的變換關系如公式(3)所示。
將公式(3)展開得任意相鄰坐標系的變換矩陣,如公式(4)所示。
SCARA 是關節(jié)型機器人,其具有作業(yè)速度快、效率高的特點,被廣泛應用于生產和生活中。SCARA 采用1 個移動關節(jié)和3 個旋轉關節(jié),3 個關節(jié)旋轉則控制末端執(zhí)行器前后、左右運動,平面上具有很好的靈活性。為準確地描述標準型DH 建模法和改進型DH 建模法的差異,該文針對SCARA 機器人進行運動學建模并對比仿真。SCARA 各個連桿上的坐標系描述如圖6、圖7 所示。
圖6 標準型DH 模型連桿坐標描述
圖7 改進型DH 模型連桿坐標描述
由坐標系間的關系可推出DH 參數(shù)表,分別見表1、表2。其中,、、和為變量,其余參數(shù)均為固定值。
表1 標準型DH 參數(shù)
表2 改進型DH 參數(shù)
根據(jù)DH 建模法,SCARA 機器人末端執(zhí)行器相對基座的坐標如公式(5)所示。
分別將標準型和改進型DH 參數(shù)帶入公式(2)和公式(4)并進一步求得總變換矩陣,經(jīng)推算,標準型DH 建模法和改進型DH 建模法得到的總變換矩陣一致,如公式(6)所示。
理論上,通過總變換矩陣可推算出末端執(zhí)行器的坐標,便可進一步描述末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的運動??傋儞Q矩陣一致說明標準型和改進型DH 建模在描述末端執(zhí)行器模型,如圖8 所示,通過對比再次證明2 種DH 參數(shù)仿真模型的一致性。根據(jù)所建立模型,采用多項式進行軌跡規(guī)劃并進行運動仿真,結果表明2 種模型所得到的末端執(zhí)行器的運動軌跡是一樣的,如圖9 所示。因此,不論是標準型DH 建模還是改進型DH 建模,盡管連桿的坐標系描述不一樣,但是最終的運動學描述效果是一樣的。
圖8 SCARA 機器人的SDH 和MDH 運動學模型
圖9 SCARA 末端執(zhí)行器的運動軌跡
該文通過研究標準型和改進型DH 參數(shù)建模法,以SCARA 機器人運動學建模與仿真為例,得出2 種參數(shù)建模法在理論和仿真效果上具有一致性的結論,因此,對一般的串聯(lián)機器人來說,標準型DH 和改進型DH 模型沒有優(yōu)劣之分。然而隨著機器人技術的發(fā)展,機器人的結構越來越復雜,對的運動方面的效果是一樣的。
為進一步驗證效果的一致性,采用MATLAB 分別搭建基于標準型DH 參數(shù)(SDH)和改進型DH 參數(shù)(MDH)的樹結構、閉環(huán)結構這種非串聯(lián)型機器人來說,改進型DH 模型可以避免坐標系歧義問題,更準確地描述機器人的運動,更適合在運動學建模中應用。