帶有外部輸入項的時間周期SIR 傳染病模型的周期行波解*

宋 雪，楊赟瑞，楊 璐

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070）

引言

反應(yīng)擴散方程的行波解在生態(tài)學(xué)、傳染病學(xué)、種群動力學(xué)、生物化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-3]，例如，傳染病的傳播、種群的入侵等.目前，關(guān)于經(jīng)典Laplace 擴散方程行波解的研究[4-6]已相對成熟，特別是SIR 傳染病模型一直是重點研究對象[4-5].例如，Wang 等[4]分別利用Schauder 不動點定理和雙邊Laplace 變換研究了SIR 傳染病模型

行波解的存在性和不存在性，其中S,I,R分別表示易感者、感染者和治愈者的密度，di＞0(i=1,2,3)表示擴散率，α表示感染率，γ表示恢復(fù)(或治愈)率.此后，Wang 等[5]在模型(1)的基礎(chǔ)上，研究了總?cè)丝跀?shù)不變的SIR 傳染病模型行波解的存在性和不存在性.

現(xiàn)實生活中，人口的增長和傳染病的傳播會受到時間周期因素的影響.例如，麻疹、風(fēng)疹和腮腺炎等傳染病會隨季節(jié)的變化呈現(xiàn)周期性爆發(fā).因此，研究具有時間周期反應(yīng)擴散方程的行波解更符合客觀現(xiàn)實[7-9].2018 年，Wang 等[7]研究了相應(yīng)于模型(1)的具有時間周期的SIR 傳染病模型：

2017年上半年，廣東海事局積極策劃“平安西江”建設(shè)啟動儀式方案。8月8日的啟動儀式上，在廣東海事局的倡議下，沿江六地市政府、省直6個部門、廣東海事局共13個共建方共同簽署了《“平安西江”共建協(xié)議書》，構(gòu)建“水上安全命運共同體”，形成了“共商、共建、共享”的局面，為打造“安全、暢通、綠色、高效”的西江航運大通道提供安全保障。

利用Schauder 不動點定理和漸近傳播速度的性質(zhì)建立了模型(2)周期行波解的存在性和不存在性.此后，Wu 等[8]將模型(2)的結(jié)果推廣到具有一般非線性發(fā)生率的時間周期 SIR 傳染病模型：

關(guān)于具有時間周期反應(yīng)擴散方程的行波解研究，還可參見文獻(xiàn)[10-13]等.

建立模型(5)周期行波解的存在性時，由于模型(5)不具有單調(diào)性，常用的單調(diào)性方法如比較原理、單調(diào)迭代技術(shù)[17]、單調(diào)半流理論[18]等失效.而通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)纳舷陆獠⒔Y(jié)合 Schauder 不動點定理對非單調(diào)方程完全適用.為此，首先通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)纳舷陆舛x閉凸錐，利用 Schauder 不動點定理證明了模型(5)周期行波解的存在性.其次，借助分析技術(shù)證明了模型(5)周期行波解的不存在性.注意到，模型(5)將不含時滯的模型(4)行波解的研究推廣到了周期情形.另外，當(dāng)時，模型(5)退化為模型(2).因此，本文完善了不考慮外部輸入和自然死亡的傳染病系統(tǒng)周期行波解的研究結(jié)果[7-8]，并將SIR傳染病系統(tǒng)行波解的研究[16]推廣到了時間周期的 SIR 傳染病系統(tǒng)的周期行波解.

高效解法：∵∠CMP=∠OHP=90°, ∴∠CPM=90°-∠CPO=∠POH，又CP=OP，∴△PCM ≌△OPH， OH=2PH=（2√ 5/5）PO，S△ OPM =OH2/2=4/5 。

(A1)當(dāng)S,I≥0時，f(S,I)是二階連續(xù)可微的；當(dāng)S,I＞0時，f(0,I)=f(S,0)=0.

第三種情況涉及三個行為，即竊取他人信用卡信息資料的行為，偽造信用卡的行為，使用偽造信用卡實施轉(zhuǎn)賬、套現(xiàn)、取現(xiàn)的行為。行為人前后所實施的三個行為都是基于同一犯罪故意，即掩飾、隱瞞詐騙犯罪所得及其產(chǎn)生收益的故意，形成兩個層次的牽連犯，即竊取他人信用卡信息資料的手段行為和偽造信用卡的目的行為的牽連，偽造信用卡作為手段行為與隱瞞犯罪所得及其收益的目的行為的牽連。由于行為人是基于同一目的，三個行為之間有著主觀和客觀上的密切聯(lián)系，因此先按照牽連犯的處斷原則分析前兩個行為的牽連關(guān)系，再將確定罪名與掩飾、隱瞞犯罪所得、犯罪所得收益罪視為牽連犯，最后按照牽連犯的處斷原則確定一個罪名。

其中ε ＞0是一個正常數(shù).然后通過構(gòu)造輔助系統(tǒng)(9)適當(dāng)?shù)纳舷陆獠⒔Y(jié)合Schauder 不動點定理建立輔助系統(tǒng)(9)周期解(?ε(z,t),ψε(z,t))的存在性.最后，令ε →0,證明(?ε(z,t),ψε(z,t))的極限函數(shù)(?(z,t),ψ(z,t))的存在性，即系統(tǒng)(7)周期解的存在性.

1.4 統(tǒng)計學(xué)方法 采用SPSS 19.0統(tǒng)計軟件處理。計量資料以表示,均數(shù)間比較采用t檢驗，計數(shù)資料組間比較采用χ2檢驗，以P<0.05為差異有統(tǒng)計學(xué)意義。

(A2)當(dāng)S＞0,I≥0時，?2f(S,I)＞0,?22f(S,I)≤0；當(dāng)S≥0,I＞0時，?1f(S,I)有界且為正的.

萊茵哈德·根策爾成長于德國黑森林里的小城市弗萊堡。年輕的時候，他是德國最好的標(biāo)槍運動員之一，甚至能與國家隊一起備戰(zhàn)1972年慕尼黑奧運會。現(xiàn)在，他的“標(biāo)槍”擲向了更遠(yuǎn)的地方。

1 預(yù)備知識

行波解的存在性和不存在性，其中，Λ表示外部輸入率，μ表示自然死亡率.注意到，模型(4)并沒有考慮時間周期因素的影響，基于此，本文研究了帶有外部輸入和自然死亡的時間周期 SIR 傳染病模型周期行波解的存在性和不存在性，其中Λ,α,γ,μ是關(guān)于t的嚴(yán)格正T周期連續(xù)函數(shù)，非線性發(fā)生率f(S,I)滿足如下條件：

然而，上述模型并沒有考慮外部輸入和自然死亡的影響，對病程較長的傳染病，外部輸入和自然死亡是不可忽略的因素.因此，考慮外部輸入和自然死亡的 SIR 傳染病模型的行波解研究，引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[14-16].例如，Zhou 等[16]分別利用 Schauder 不動點定理結(jié)合 Lyapunov 函數(shù)方法、雙邊 Laplace 變換，研究了帶有外部輸入和自然死亡的 SIR 傳染病模型

2 周期行波解的存在性

本節(jié)中，首先構(gòu)造輔助系統(tǒng)(9)的上下解并定義閉凸錐，將系統(tǒng)(5)周期行波解的存在性轉(zhuǎn)化為定義在這個閉凸錐上的非單調(diào)算子存在不動點的問題，并借助Schauder 不動點定理證明了當(dāng)?0＞1,c＞c*時，輔助系統(tǒng)(9)周期解的存在性.其次，利用Ascoli-Arzela 定理證明了行波系統(tǒng)(7)周期解的存在性，即系統(tǒng)(5)周期行波解的存在性.

2.1 上下解構(gòu)造

2.2 不動點問題

3 周期行波解的不存在性

4 應(yīng)用舉例

5 結(jié)論

本文研究了一類帶有外部輸入項的時間周期SIR 傳染病模型周期行波解的存在性和不存在性.首先，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)纳舷陆舛x閉凸錐，結(jié)合Schauder 不動點定理建立了時系統(tǒng)(5)周期行波解的存在性.接下來，借助分析技術(shù)證明了時系統(tǒng)(5)周期行波解的不存在性.注意到，由于系統(tǒng)(5)中的擴散項是Laplace 擴散，它主要適用于小范圍的傳染病擴散.因此，系統(tǒng)(5)對應(yīng)的非局部擴散系統(tǒng)周期行波解的存在性和不存在性是今后可以繼續(xù)研究的問題.