基于重構邊界光滑離散剪切間隙法的復合材料層合板自由振動分析*

李 情，陳莘莘

（華東交通大學 土木建筑學院，南昌 330013）

引言

復合材料層合結構因其比強度高、耐高溫耐腐蝕、比模量高、可設計性好等優(yōu)點，廣泛用于航空航天、汽車、船舶海洋等工程領域，對其振動特性的研究具有重要的工程意義[1-3].現(xiàn)有層合板理論的主要差別是對于橫向剪切形變的處理，經(jīng)典層合理論基于Kirchhoff-Love 假設，忽略了層間的剪切和擠壓，只適用于薄板；一階剪切變形理論(FSDT)考慮橫向剪切形變，引入了剪切修正系數(shù)，對中厚板適用結果良好；高階剪切變形板理論(HSDT)引入剪切應力沿板厚方向的非線性變化，避免了FSDT 剪切修正系數(shù)的引入，但是需要有限元方程C1連續(xù)，在實際計算過程中較難實現(xiàn).諸多學者利用較為簡潔的FSDT 對層合板進行了自由振動分析，得到了令人滿意的結果.

迄今為止，工程結構分析中常見的數(shù)值計算方法有：有限元法、邊界元法、無網(wǎng)格法等.作為應用最為廣泛和成熟的數(shù)值計算方法，有限元法在復合材料層合板的動力問題分析中應用廣泛[4-5].然而，傳統(tǒng)的有限元法大多是基于自然坐標的，計算時需要進行等參變換和Jacobi 矩陣的計算，當單元嚴重不規(guī)則或變形時，坐標轉換的要求將顯著降低計算精度；同時，剛度矩陣存在過剛現(xiàn)象，對三角形單元等低階單元尤為突出.為了解決上述難點，學者們提出了不同的解決方法，Liu 等[6]將有限元法和無網(wǎng)格法中的應變光滑技術相結合，提出了光滑有限元法(S-FEM)，展現(xiàn)了良好的計算精度、效率和穩(wěn)定性.基于光滑域構造方式的不同，光滑有限元法包括基于單元子域的光滑有限元法(CS-FEM)[6]、基于單元節(jié)點的光滑有限元法(NS-FEM)[7]、基于單元邊界的光滑有限元法(ES-FEM)[8]和基于單元面的光滑有限元法(FS-FEM)[9].眾多學者將光滑有限元法拓展到彈塑性問題[10-11]、板殼問題[12-13]以及復合材料分析[14-15]等領域，并取得了良好的結果.目前Reissner-Mindlin 板殼單元依然是工程實際數(shù)值計算中常見的單元類型，但當板殼厚度很薄時，常伴隨“剪切自鎖”的現(xiàn)象.為了消除自鎖，眾多學者開展了大量的研究工作，提出了不同的解決方法，比如基于選擇性積分的板殼單元、MITC4 單元、C0 單元、EAS 單元、ANS 單元等.Bletzinger 等[16]提出了離散剪切間隙(DSG)法，構造了DSG3 單元，利用離散單元剪切間隙得到新的剪切應變矩陣，削弱了“自鎖”現(xiàn)象.然而，原始DSG 單元的剪切應變會受單元節(jié)點編號的順序變化的影響，尤其是對于不規(guī)則網(wǎng)格和畸變網(wǎng)格，計算精度和穩(wěn)定性不高.

Nguyen-Xuan 和Nguyen-Thoi 等將光滑有限元法與DSG 法結合，提出了ES-DSG3 單元[17]、NS-DSG 單元[18]、CS-DSG 單元[12]，用于分析Reissner-Mindlin 板的問題，得到了較好的結果.值得注意的是，在上述方法中雖然對應變矩陣進行了光滑處理，但是Reissner-Mindlin 板有限元方程中的荷載矢量、質(zhì)量矩陣仍需要進行等參變換，無法完全避免坐標映射和變換.由此，Yang 等[19]基于全局坐標構造了Reissner-Mindlin 板改進的邊界光滑DSG 單元(RES-DSG3)，提出了一種非等參DSG 方法，將其與符號積分和光滑技術相結合，對矩陣進行了光滑處理，同時避免了坐標映射，并將此法用于分析Reissner-Mindlin 板，取得了良好的計算結果.本文借助于RES-DSG3 法，詳細推導了復合材料層合板自由振動的控制方程，并編制了相應的MATLAB 程序，通過典型算例的計算，驗證了本文方法的可行性和有效性.

1 層合板自由振動的有限元控制方程

基于FSDT，復合材料層合板的位移場可以描述為

式中，u,v,w表示層合板內(nèi)任意點x,y,z變形后的位移，u0,v0,w0表示層合板中面上相應點的位移，βx,βy為中面法線關于y軸和x軸方向的轉角，如圖1 所示.

圖1 層合板的坐標系Fig.1 The coordinate system for the laminate

位移應變關系為

合力、合力矩和等效剪力向量可分別描述為

則廣義本構關系為

式中，A為拉伸剛度矩陣，B為耦合剛度矩陣，D為彎曲剛度矩陣，As為剪切剛度矩陣，它們的元素可以分別表示為

其中

上標(n)表示第n層，表示彈性矩陣系數(shù)，ζ 為剪切修正因子.

根據(jù)Hamiltion 原理，不考慮阻尼，可得層合板自由振動的有限元控制方程為

式中，K為結構的系統(tǒng)剛度矩陣，M為結構的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，u為系統(tǒng)的位移矢量.同時有

且

式中，Ni為單元的形函數(shù).

單元的質(zhì)量矩陣為

式中，m為質(zhì)量密度矩陣，其表達式為

對第K層材料有

2 RES-DSG3 法[17]

2.1 基于全局坐標系的非等參DSG3 法

有限元方程中節(jié)點i相關的剪切間隙可描述為全局卡氏坐標系下的標量形式：

同時

全局坐標系下，三角形單元的形函數(shù)為

式中，xi，yi為三角形單元節(jié)點的全局坐標，aij(i=1,2,3;j=1,2,3)是與式(21)中逆矩陣對應的矩陣元素.

將形函數(shù)代入方程(17)、(18)，得到

式中

則剪切應變可表示為

基于DSG 方程，復合材料層合板的單元剪切應變可寫為矩陣形式，如下：

式中

2.2 邊界光滑技術

對于平面問題，基于符號積分和Gauss 散度定理有

式中，Г為積分域邊界.

假設積分域包含k條邊界，且為光滑連續(xù)，則式(37)、(38)可寫為沿積分域邊界的線積分之和：

應用近似積分技術，光滑域內(nèi)點xC處的任意函數(shù)可表示為

式中，?(x-xC)為光滑函數(shù)，定義為

將式(42)代入式(41)中，得

將式(43)代入式(39)、(40)中，得

3 基于REG-DSG3 的有限元方程

假設求解域Ω離散為Ne個單元，求解域這些單元網(wǎng)格共有Neg條邊，將每條邊的兩個端點

和這條邊相鄰的兩個三角形單元的中心相連接，這樣就在三角形單元的基礎上形成了Ns個基于邊的光滑域，求解域光滑域的數(shù)目和三角形單元邊的數(shù)目相等，即Neg=Ns，如圖2 所示.

圖2 三角形單元和基于邊界的光滑域Fig.2 Triangular elements and smoothing domains associated with edges

利用邊界光滑技術和DSG 單元，層合板自由振動控制方程中的應變矩陣可表示為

其中

式中，k表示每個光滑域的邊界段數(shù)，對于求解域內(nèi)邊界處的邊，k=3，對于求解域內(nèi)部的邊，k=4；Ni是與邊界段m相關的三角形單元節(jié)點i的形函數(shù).

其中

由此，光滑剛度矩陣為

同理，光滑質(zhì)量矩陣可通過以下轉換得到：

通過Gauss 積分，得

由此，層合板有限元控制方程中的矩陣都已沿光滑域的邊界段進行光滑處理和計算，在計算過程中不需要坐標映射和Jacobi 矩陣的計算.

4 數(shù)值算例

下面通過數(shù)值算例分析復合材料層合板的自由振動問題.如無特殊說明，層合板各層具有相同的厚度，且由均勻線彈性復合材料構成，無量綱固有頻率為.

4.1 算例1

首先以一長度為a、厚度為h的四邊簡支對稱層合方板(0°/90°/90°/0°)為研究對象，探討RES-DSG3 法在求解復合材料動力學問題時的收斂性和有效性.對于規(guī)則網(wǎng)格，α=0；不規(guī)則網(wǎng)格，α=0.4，其中α為定義在區(qū)間0 ～ 0.5 的不規(guī)則系數(shù)[20].相關的材料參數(shù)為E1/E2=10,20,30，G12=G13=0.6E2，G23=0.5E2，v12=0.25，ρ=1，剪切修正因子ζ=5/6.

由表1 可見，不同節(jié)點分布和不同彈性模量比時的四層層合板的一階無量綱固有頻率與文獻[21]的一階剪切理論的精確解很接近，具有較高的計算精度，表明了本文方法的有效性和收斂性.同時，網(wǎng)格“質(zhì)量”對計算精度的影響很小，即使在極不規(guī)則的網(wǎng)格下也能獲取穩(wěn)定可靠的計算結果，進一步拓寬了該單元的使用范圍.

表1 四層復合材料簡支層合板的一階無量綱固有頻率Table 1 The non-dimensional 1st fundamental frequency of the simply supported 4-layer laminated composite plate

4.2 算例2

考慮三層對稱層合方板(0°/90°/0°)，邊長為a，厚度為h，材料參數(shù)為E1/E2=40.采用17 × 17 網(wǎng)格離散求解域，對不同邊界條件和不同邊厚比條件下的板進行了數(shù)值計算.

表2 列出了通過本文方法計算的四邊簡支(SS)，四邊固支(CC)，兩對邊簡支、另兩對邊固支(SC)三種邊界條件和不同邊厚比的三層層合方板的一階固有頻率，并分別與文獻[21-22]基于FSDT 的復合二次徑向基函數(shù)法計算的結果進行了對比，具有較好的一致性.同時，表3 列出了三種邊界條件下的前三階固有頻率，可以看出本文方法計算的無量綱固有頻率與文獻[23]基于高階剪切變形理論計算的結果也很接近，驗證了本文方法的有效性.

表2 三層復合材料層合板的一階無量綱固有頻率Table 2 The non-dimensional 1st fundamental frequency of the 3-layer laminated composite plate

表3 三層復合材料層合板前三階無量綱固有頻率（a/h=10）Table 3 The non-dimensional 1st 3 fundamental frequencies of the 3-layer laminated composite plate(a/h=10)

5 結論

本文將基于全局坐標的重構邊界光滑DSG 單元用于復合材料層合板的自由振動問題分析.與原始的DSG 單元相比，該方法不需要對系統(tǒng)方程進行坐標映射，同時結合光滑技術將有限元矩陣的域積分簡化為沿平滑單元邊界的線積分.從數(shù)值計算結果來看，RES-DSG3 法在復合材料層合板自由振動分析時表現(xiàn)出良好的性能，具有較高的計算精度；即使是不規(guī)則網(wǎng)格，也能獲得較好的結果，是一種有效可行的方法.此外，該方法中的光滑技術也可以擴展到其他問題的有限元框架內(nèi).