由一道調(diào)研試題引發(fā)的深度探究

江蘇省太湖高級中學(xué) 翟洪亮（郵編：214125）

當(dāng)今世界進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代，為了適應(yīng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展，“概率與統(tǒng)計(jì)”已成為大學(xué)數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)課程之一，地位在逐漸上升. 為了加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)教育與大學(xué)數(shù)學(xué)教育的銜接，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》也將“概率與統(tǒng)計(jì)”作為高中數(shù)學(xué)課程的四條內(nèi)容主線之一，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程.“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容成為高考的必考知識點(diǎn)，常以解答題形式出現(xiàn)，由于2019 年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科21 題與數(shù)列知識進(jìn)行綜合考查，顛覆了人們對概率與統(tǒng)計(jì)試題不能作為壓軸題的認(rèn)識，影響各地調(diào)研命題方向，如2021 年江蘇省南通市如皋調(diào)研試卷20 題.

1 試題

為進(jìn)一步加強(qiáng)未成年人心理健康教育，如皋市教育局決定在全市深入開展“東皋大講堂”進(jìn)校園心理健康教育活動. 為了緩解高三學(xué)生壓力，高三年級某班級學(xué)生在開展“東皋大講堂”過程中，同座兩個(gè)學(xué)生之間進(jìn)行了一個(gè)游戲，甲盒子中裝有2 個(gè)黑球和1 個(gè)白球，乙盒子中裝有3 個(gè)白球.現(xiàn)同座的兩個(gè)學(xué)生互相配合，從甲、乙兩個(gè)盒子中各取一個(gè)球，交換放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)n次這樣的操作.記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰好有2 個(gè)黑球的概率為an，恰有1 個(gè)黑球的概率為bn.

（1）求第二次操作后，甲盒子中沒有黑球的概率；

（2）求X3的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X3).

解（1）設(shè)“第二次操作后，甲盒子中沒有黑球”為事件A，

（2）設(shè)重復(fù)n次這樣的操作后，甲盒子中有0個(gè)黑球的概率為cn，

故X3的概率分布為：

X3 P 0 1 2 53 243 44 243 146 243

2 聯(lián)想

由此聯(lián)想到2020 年江蘇高考數(shù)學(xué)理科卷的23 題：

甲口袋中裝有2 個(gè)黑球和1 個(gè)白球，乙口袋中裝有3 個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2 個(gè)黑球的概率為pn，恰有1 個(gè)黑球的概率為qn.

（1）求p1，q1和p2，q2；

（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示) .

所以Xn的分布列為：

Xn P 0 1 2 1-pn-qn qn pn

故Xn的分布列為：

Xn P 0 rn 1 2 qn pn

3 探究

探究1 當(dāng)黑球數(shù)量大于2 時(shí)，利用矩陣不便逐一求出隨機(jī)變量對應(yīng)的概率，是否可以通過整體構(gòu)造等比數(shù)列求解？

甲口袋中裝有3 個(gè)黑球和1 個(gè)白球，乙口袋中裝有3 個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有3 個(gè)黑球的概率為pn,3，恰有2 個(gè)黑球的概率為pn,2，恰有1 個(gè)黑球的概率為pn,1.

故Xn的分布列為：

Xn P 0 1 2 3 1-pn,1-pn,2-pn,3 pn,1 pn,2 pn,3

這說明，當(dāng)黑球數(shù)量大于2 時(shí)，仍可通過整體構(gòu)造等比數(shù)列求解. 從甲、乙兩口袋中各任取一·個(gè)·球交換放入另一口袋，在求第n次操作后甲口袋中有k個(gè)黑球的概率時(shí)，關(guān)鍵是要分清兩類情況：一是當(dāng)k不取最大時(shí)，需要考慮第n-1 次操作中三種情況下的概率：當(dāng)甲口袋黑球個(gè)數(shù)為k+1 時(shí)，是從甲口袋中取一個(gè)黑球換回乙口袋中一個(gè)白球；當(dāng)甲口袋黑球個(gè)數(shù)為k時(shí)，可以從甲口袋中取一個(gè)黑球換回乙口袋中一個(gè)黑球，也可以從甲口袋中取一個(gè)白球換回乙口袋中一個(gè)白球；當(dāng)甲口袋黑球個(gè)數(shù)為k-1 時(shí)，是從甲口袋中取一個(gè)白球換回乙口袋中一個(gè)黑球.二是當(dāng)k取最大時(shí)，需要考慮第n-1 次操作中兩種情況下的概率：當(dāng)甲口袋黑球個(gè)數(shù)為k時(shí)，是從甲口袋中取一個(gè)白球換回乙口袋中一個(gè)白球；當(dāng)甲口袋黑球個(gè)數(shù)為k-1 時(shí)，從甲口袋中取一個(gè)白球換回乙口袋中一個(gè)黑球.

探究2 若把試題推廣到一般形式，是否可以通過整體構(gòu)造等比數(shù)列求解？

甲口袋中裝有a個(gè)黑球和b個(gè)白球，乙口袋中裝有c(c≥a)個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有a個(gè)黑球的概率為pn,a，恰有a-1 個(gè)黑球的概率為pn,a-1，...，恰有2 個(gè)黑球的概率為pn,2恰有1 個(gè)黑球的概率為pn,1.

（1）求p1,a，p1,a-1，p1,a-2，...，p1,1，p1,0；

（2）求Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示) .

故Xn的分布列為：

Xn P 0 1 2...a-1 a 1-pn,1-pn,2-... -pn,a pn,1 pn,2...pn,a-1 pn,a

從而可得重復(fù)n次操作后甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn的數(shù)學(xué)期望與兩個(gè)口袋中黑白小球數(shù)量之間的內(nèi)在規(guī)律.