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      從一道高考題變式談指對混合式的五種處理思路

      2022-12-04 20:34:23李志娜
      中學數(shù)學雜志 2022年7期
      關(guān)鍵詞:增函數(shù)同構(gòu)對數(shù)

      李志娜

      (河北省邯鄲市第一中學 056002)

      邯鄲市2022屆高三質(zhì)檢考試的壓軸導(dǎo)數(shù)題,是一道指對混合的不等式恒成立問題.題目如下:

      已知函數(shù)f(x)=aex-1-x.

      (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

      (2)若f(x)+x-1≥lnx-lna恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

      可以看出,此題第(2)題與2020年山東高考試卷的第21題基本相同.此題可從不同角度解決,有多種思路和方法,略去第(1)問,現(xiàn)將第(2)問的5種思路整理分析如下.

      1 含參分類討論

      3.2 齊次化構(gòu)造函數(shù)

      點評這類構(gòu)造將多元變量利用齊次式變成單一變量,再構(gòu)造函數(shù)進行解決,可以減少多變量帶來的麻煩.

      4 結(jié)語

      新高考背景下函數(shù)的運用依然廣泛,對于構(gòu)造函數(shù),需要打破原題中的思維束縛,靈活地運用構(gòu)造法,找準最能反映考題結(jié)構(gòu)特點的函數(shù),以便使問題得到快速的解決.這就要求學生在平時的學習中要善于積累,大膽嘗試,將“構(gòu)造”擺心間,這樣面對復(fù)雜的壓軸題時才能做到“不畏浮云遮望眼”.

      當a=1時,g(x)≥g(1)=0,故a=1符合題意.

      當0

      綜上所述,a的取值范圍是[1,+∞).

      方法2(必要性探路+換主元) 令g(1)=a- 1+lna≥0,得a≥1.令t(a)=aex-1+ lna-lnx-1,因為ex-1>0,所以t(a)為[1,+∞)上的增函數(shù),故只須證明a=1時,g(x)=ex-1-lnx-1≥0.因為ex-1≥x,lnx≤x-1,所以g(x)≥0.

      上述思路是處理不等式恒成立問題的常見思路,但由于指對數(shù)同時出現(xiàn),使得構(gòu)造的含參函數(shù)最值經(jīng)常會出現(xiàn)隱零點的問題,計算量和思維量都較大.

      2 同構(gòu)法

      方法3(和型同構(gòu)1) 由于aex-1-1≥ lnx-lna恒成立,即eln aex-1≥lnx-lna+1,所以ex+ln a-1+x+lna-1≥eln x+lnx.因為y=et+t為增函數(shù),所以x+lna-1≥lnx恒成立.

      或ex+ln a-1+ln ex+ln a-1≥x+lnx,利用y= lnt+t的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為ex+ln a-1≥x恒成立,即x+lna-1-lnx≥0,由常見不等式x-1≥ lnx易得a的范圍.

      圖1

      上述思路需要學生能夠從指對數(shù)同時出現(xiàn)的式子中,觀察并構(gòu)造出同構(gòu),即同為和型或積型.這種思路對學生處理代數(shù)式的變形能力要求比較高.

      3 反函數(shù)法

      4 放縮法

      方法8(放縮法1) 因為x>0,a>0,所以 ex≥x+1,ex-1≥x,故aex-1≥ax(當x=1時取等號).又因為lnx≤x-1(當x=1時取等號),所以aex-1-lnx+lna-1≥ax-x+1+lna-1=(a-1)x+lna.

      ①a=1時,ex-1-lnx-1≥x-x+1+ ln 1-1=0,此時不等式恒成立;

      ②a>1時,aex-1-lnx+lna-1≥(a-1)x+lna,因為x>0,a>1,所以(a-1)x+ lna>0,即不等式恒成立;

      ③0

      所以,a≥1.

      方法9(放縮法2) 將aex-1-lnx+lna-1≥0變?yōu)閑x+ln a-1-lnx+lna-1≥0.因為ex+ln a-1≥x+lna(當x+lna=1時取等號),lnx-lna+1≤x-lna(當x=1時取等號),所以ex+ln a-1-lnx+ lna-1≥x+lna-(x-lna)=2lna.令2lna≥0,得a≥1.以下同方法8的③.

      采用指數(shù)和對數(shù)式同時放縮是非常大膽的嘗試,也有可能放縮過度.可以鼓勵學生只對指數(shù)或?qū)?shù)放縮.另外,放縮后參數(shù)范圍是否保持不變,如aex-1-lnx+lna-1≥0恒成立與ax-lnx+ lna-1≥0恒成立,理論上是否等價?不等價又如何處理?可進一步思考.

      5 凹凸轉(zhuǎn)換法

      ②當0

      所以,a≥1.

      ①令lna≥-lna,則由f(x)min≥g(x)max,故a≥1(此范圍可能偏小);

      ②當00,即不等式不成立.

      所以,a≥1.

      6 結(jié)語

      本題為指、對混合的不等式恒成立問題,解題思路非常廣泛,用所有處理指對混合式的方法基本都可以解決,可見此題非常經(jīng)典,擅長各種方法的學生都可以上手一試.

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