解小軍

江蘇省如皋市江安鎮(zhèn)濱江初級(jí)中學(xué) 226534

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備環(huán)節(jié)，通過從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過學(xué)習(xí)再應(yīng)用到具體問題中去，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整過程.數(shù)學(xué)建模的過程是講授數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，更是滲透數(shù)學(xué)思想和方法的過程，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)、分析猜想、理解驗(yàn)證等進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提升綜合素養(yǎng).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中建模思想的培養(yǎng)不到位，會(huì)讓學(xué)生陷入做題的題海戰(zhàn)術(shù)中，失去學(xué)習(xí)的樂趣，無法理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，部分學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)艱澀難懂，即使學(xué)會(huì)了基礎(chǔ)概念，理解了教師講解的例題，似乎也難以應(yīng)付試卷中的考題，更加難以解決生活中的具體問題，究其原因就在于他們沒有建立數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)模型的建立可以在學(xué)生解決問題的過程中，自覺地將數(shù)學(xué)模型與問題條件建立聯(lián)系，從而獲得解題路徑.

在“圓周角”一課的教學(xué)中，筆者從圓周角的定理出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，構(gòu)建“相同的弧所對(duì)的圓心角和圓周角度數(shù)之間的關(guān)系”，通過數(shù)學(xué)模型的建立使學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)，將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，從而應(yīng)用到實(shí)際問題中，并構(gòu)建起自我的知識(shí)結(jié)構(gòu).

背景問題

如圖1所示，圓O中的兩個(gè)圓周角∠ACB和∠ADB，請(qǐng)測(cè)量?jī)蓚€(gè)圓周角的大小，并比較它們的大小.通過變動(dòng)點(diǎn)C的位置，這時(shí)圓周角在發(fā)生變化嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢？

圖1

再量一量圓心角∠AOB的度數(shù)，你有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

設(shè)計(jì)說明圓周角的數(shù)學(xué)建模過程，首先讓學(xué)生自主動(dòng)手實(shí)踐，然后對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行觀察和分析，通過已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行猜想，最后進(jìn)行驗(yàn)證.

模型建立

（一）猜想模型

相同的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)相等，并且是這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半.

（二）驗(yàn)證猜想

問題1：這個(gè)猜想里有兩個(gè)問題，你認(rèn)為應(yīng)該先證明相同的弧的圓周角相等，還是先證明相同的弧所對(duì)的圓周角與圓心角的數(shù)量關(guān)系，說一說你的理由.

生1：我認(rèn)為應(yīng)該先證明相同的弧所對(duì)的圓心角與圓周角之間的數(shù)量關(guān)系，因?yàn)樽儎?dòng)C點(diǎn)將得到多個(gè)圓周角，但是圓心角只有一個(gè).因此，如果圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系不變，那么第一個(gè)猜想，相同的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)相等，自然就成立了.

設(shè)計(jì)說明通過設(shè)問讓學(xué)生進(jìn)行邏輯的推理和判斷，明晰驗(yàn)證的方向，解決主要矛盾并將問題進(jìn)行分解，滲透了數(shù)學(xué)辯證法的思想.

問題2：變動(dòng)C點(diǎn)將得到多個(gè)圓周角，為了能進(jìn)行有效驗(yàn)證，能否按照?qǐng)A心與圓周角之間的位置關(guān)系進(jìn)行分類，將圓周角分成幾種不同的情況？

生2：按照?qǐng)A周角與圓心的關(guān)系可以分為三種情況，分別是圓心在圓周角的內(nèi)部、外部和在圓周角的邊上.

設(shè)計(jì)說明通過問題2的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類歸納，滲透數(shù)學(xué)分類思想.學(xué)生在分析歸納中確定研究的步驟和過程，知曉大概的研究路徑，會(huì)使驗(yàn)證過程更加便捷.

問題3：圓心與圓周角的這三種情形，你打算先證明哪一種情形呢？說一說你的理由.

生3：我覺得先證明圓心在圓周角一條邊上的情形，因?yàn)檫@是一種特殊的情形，圓的直徑為AC，這種情形比較便于證明.

設(shè)計(jì)說明問題3的設(shè)計(jì)是確立首先研究的對(duì)象，從特殊的情況進(jìn)行研究，進(jìn)而再推廣到一般的情況，從而使驗(yàn)證的目標(biāo)更加清晰.

問題4：如圖2所示，若圓心在AC上（圓周角的一條邊），如何證明圓周角與圓心角的數(shù)量關(guān)系？

圖2

生4：圓周角的度數(shù)是圓心角的一半，那么我們可以利用等量轉(zhuǎn)化的思想，轉(zhuǎn)化為圓心角是圓周角的兩倍進(jìn)行求證.

問題5：如圖3所示，當(dāng)圓心在圓周角的里面，怎樣證明圓心角與圓周角的數(shù)量關(guān)系？

圖3

生5：剛才我們已經(jīng)證明了圓心在圓周角的邊上時(shí)，相同的弧所對(duì)的圓心角與圓周角之間的關(guān)系，所以我們可以通過過圓周角的頂點(diǎn)作直徑CD，將圓心角在圓周角里面的情況轉(zhuǎn)化為圓心在圓周角邊上的情況進(jìn)行證明.

問題6：如圖4所示，圓心O在圓周角的外面，如何證明相同的弧所對(duì)的圓心角與圓周角之間的關(guān)系？

圖4

生6：剛才圓心在圓周角的里面，我們通過一條輔助線進(jìn)行了證明，當(dāng)圓心在圓周角的外面時(shí)，我們還是通過這樣的方法，作一條過圓心的直徑CD，就將圓心與圓周角的位置轉(zhuǎn)換成了上述的情況，驗(yàn)證方法自然就找到了.

設(shè)計(jì)說明從問題4到問題6，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類驗(yàn)證，在推理驗(yàn)證的過程中，滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的方法，通過轉(zhuǎn)化與化歸思想化繁為簡(jiǎn)，進(jìn)行數(shù)學(xué)驗(yàn)證.

（三）建立模型

1.結(jié)論：根據(jù)剛才的驗(yàn)證我們發(fā)現(xiàn)無論圓心在圓周角的邊上、內(nèi)部還是外部，相同的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)都是圓心角的一半，因此相同的弧所對(duì)的圓周角相等.

2.問題：若兩個(gè)相同的圓或者兩個(gè)圓相等時(shí)，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角之間有什么樣的關(guān)系呢？?jī)蓚€(gè)相同的圓或者兩個(gè)圓相等時(shí)，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓周角之間又有什么樣的關(guān)系呢？

3.圓周角定理：在相同的圓或者相等的圓中，相同的弧或者相等的弧所對(duì)的圓周角相等，圓周角的度數(shù)是相同的弧所對(duì)的圓心角的一半.

模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型建立之后，還要通過具體的問題進(jìn)行模型的應(yīng)用，才能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的內(nèi)化.

案例1請(qǐng)問半圓所對(duì)的圓周角的度數(shù)是多少？你是怎么知道的？

案例2圓周角為90°時(shí)，它所對(duì)的弦一定是直徑嗎？說一說你的理由.

案例3如圖5，圓O上有A，B，C三點(diǎn)，若∠BAC為60°，那么∠BOC是多少度？若∠AOB為直角，那么∠ACB是多少度？

圖5

案例4如圖6，在圓O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E，∠BAC等于40°，∠AED等于75°，那么∠ABD是多少度？

圖6

案例5如圖7，圓O上有A，B，C，D四點(diǎn)，∠ADC與∠BDC都等于60°，請(qǐng)判斷ΔABC的形狀，并說明理由.

圖7

問題串的設(shè)計(jì)從圓周角定理的推論，到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，全面鞏固了學(xué)生上課所學(xué)的內(nèi)容，并從探究過程中抽象出模型，體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的思想，并進(jìn)行有效的運(yùn)用.通過問題的轉(zhuǎn)化教學(xué)，構(gòu)建出相同的弧所對(duì)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系.

教學(xué)反思

本課圓周角定理的數(shù)學(xué)從引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析和猜想，到驗(yàn)證以及鞏固應(yīng)用的過程，使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)建模思想.數(shù)學(xué)建模的過程在教學(xué)中是潛移默化、逐漸深入的過程，不是一朝一夕完成的，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)建模的教學(xué)應(yīng)關(guān)注以下幾個(gè)方面：

（一）堅(jiān)持以學(xué)生為主體

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)需要建立在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，不能脫離學(xué)生實(shí)際.教師要從學(xué)生熟悉的情境中設(shè)計(jì)問題，在探究活動(dòng)中建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力.

（二）精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)

數(shù)學(xué)建模思想是在數(shù)學(xué)活動(dòng)的探究中形成的，教師要通過精心設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在自主探究中體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過程，構(gòu)建數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，在實(shí)踐操作中增長(zhǎng)動(dòng)手實(shí)踐能力.數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)要圍繞教學(xué)目標(biāo)，從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)和探究，讓學(xué)生在觀察、分析和思考中鍛煉自身的思維能力，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成數(shù)學(xué)建模的意識(shí).

（三）重視升華認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)建模的過程是學(xué)生將知識(shí)內(nèi)化并輸出的過程，通過探究建立數(shù)學(xué)模型，再將數(shù)學(xué)模型進(jìn)行實(shí)際運(yùn)用，完成知識(shí)輸入和輸出的循環(huán)，真正實(shí)現(xiàn)知識(shí)的升華.教師在教學(xué)中要避免知識(shí)的直接呈現(xiàn)，要從學(xué)生熟悉的場(chǎng)景出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而驗(yàn)證猜想建立模型.學(xué)生在活動(dòng)的體驗(yàn)中會(huì)積累對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，深刻理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.

總之，在教學(xué)中教師要搭建數(shù)學(xué)活動(dòng)的平臺(tái)，以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，開展探究活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中獲得認(rèn)識(shí)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想，不斷提升學(xué)科核心素養(yǎng).