等效電源法巧析電路問(wèn)題

趙 明

重慶市巴蜀中學(xué)校，重慶 400013

在電源內(nèi)阻不能忽略的情況下，對(duì)于某些較為復(fù)雜的閉合電路，我們?cè)诜治鲭娐分心巢糠蛛娮璧碾娏?、電壓、功率等物理量的變化以及某些?shí)驗(yàn)中的誤差時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)函數(shù)求極值等數(shù)學(xué)技巧問(wèn)題，從而使問(wèn)題變得繁瑣，把物理問(wèn)題變成了數(shù)學(xué)問(wèn)題。本文利用等效電源[1]的思想處理電路問(wèn)題，可以節(jié)約大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)間，回歸物理問(wèn)題的本質(zhì)，使物理問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

1 兩類常見的等效電源問(wèn)題

由閉合電路歐姆定律E=U+Ir可知：當(dāng)I=0時(shí)，外電路斷開，電源電動(dòng)勢(shì)數(shù)值上等于此時(shí)的路端電壓，即E=U斷；當(dāng)U=0時(shí)，外電路短路，電路中的短路電流，可得。

因此，在把電路中的其他電阻和電源一起看成一個(gè)等效電源時(shí)，我們可以通過(guò)上面的方法得到下面兩類情況下等效電源的等效電動(dòng)勢(shì)E'和等效電阻r'，兩者之間滿足關(guān)系。

1.1 電源和一定值電阻R串聯(lián)組成等效電源

如圖1所示，此等效電源兩端ab斷開時(shí)，Uab=E，所以等效電動(dòng)勢(shì)E'=Uab=E。

圖1 等效電源1

1.2 電源和一定值電阻R并聯(lián)組成等效電源

圖2 等效電源2

2 滑動(dòng)變阻器的功率最大問(wèn)題

2.1 電源的最大輸出功率結(jié)論

如圖3所示，對(duì)于求解電源的輸出功率，我們通常的解法是，對(duì)于純電阻電路，結(jié)合閉合電路歐姆定律，有

圖3 變阻器與電源串聯(lián)時(shí)的電路圖

實(shí)際上，我們還可以用下面的方法得到更為一般的結(jié)論。

對(duì)任意電路，電源的輸出功率均有

從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，這是一個(gè)P外關(guān)于干路電流I的函數(shù)表達(dá)式，我們可以用數(shù)學(xué)均值不等式來(lái)求出電源輸出功率的最大值。

（1）對(duì)任意電路：

（2）純電阻電路：

當(dāng)R=r時(shí)，電源輸出功率最大。

實(shí)際應(yīng)用中，只需求解外電路中一部分變化電阻功率的最大值時(shí)，我們同樣可以結(jié)合上面的推導(dǎo)來(lái)分析。

2.2 變阻器和定值電阻串聯(lián)時(shí)的最大功率

如圖4所示，我們需要求解滑動(dòng)變阻器R的最大功率，不能直接用圖3所得結(jié)論，我們可以用等效電源法來(lái)處理。如圖4中的虛線所示，電源和R0串聯(lián)組成等效電源，等效電動(dòng)勢(shì)E'=E，等效內(nèi)阻r'=R0+r，此時(shí)滑動(dòng)變阻器為等效電源的外電路，則可直接用圖3所得電源的最大輸出功率結(jié)論。

圖4 變阻器與定值電阻串聯(lián)時(shí)的電路圖

當(dāng)R=r'=R0+r時(shí)，滑動(dòng)變阻器最大功率為

2.3 變阻器和定值電阻并聯(lián)時(shí)的最大功率

如圖5所示，當(dāng)滑動(dòng)變阻器和一定值電阻并聯(lián)時(shí)，求解滑動(dòng)變阻器的最大功率問(wèn)題將變得較為復(fù)雜。若用常規(guī)解析法處理，會(huì)出現(xiàn)較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題，其求解思路如下：

圖5 電路圖

通過(guò)上面的分析我們可以看出，常規(guī)解法往往需要用到復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)于數(shù)學(xué)能力要求較高。特別是前述2.3中當(dāng)滑動(dòng)變阻器與定值電阻并聯(lián)時(shí)涉及到的數(shù)學(xué)問(wèn)題計(jì)算尤為復(fù)雜，還需要用到均值不等式的思路才能得到最后結(jié)果，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生有很大的難度。

而等效電源法思路簡(jiǎn)單，計(jì)算容易，不易出錯(cuò)，學(xué)生在解題的時(shí)候所花時(shí)間也很少，相比于常規(guī)解法而言，等效電源法具有很大的優(yōu)越性。

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻中的誤差分析

3.1 實(shí)驗(yàn)電路中的兩種連接方式

誤差分析對(duì)于電路實(shí)驗(yàn)而言既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)所在。由于電表內(nèi)阻不能忽略，在測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)中存在不可避免的系統(tǒng)誤差。在實(shí)驗(yàn)中，我們通常有兩種電路連接方式，相對(duì)于待測(cè)電源而言，圖6為電流表外接，圖7為電流表內(nèi)接。不管采用哪種連接方式，若不考慮電表內(nèi)阻，改變滑動(dòng)變阻器阻值，只要得到兩組U、I值，都可以求出電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量值。

圖6 電流表外接電路圖

圖7 電流表內(nèi)接電路圖

通常我們可以用解析法或者圖像法對(duì)這兩種電路連接方式進(jìn)行結(jié)果的誤差分析，均可以得出下面結(jié)論：

（1）在圖6中，由于電壓表分流，電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量值均小于真實(shí)值，即 E測(cè)

（2）在圖7中，由于電流表分壓，內(nèi)阻的測(cè)量值大于真實(shí)值，即 E測(cè)=E真，r測(cè)>r真。

常規(guī)解析法對(duì)于數(shù)學(xué)計(jì)算能力要求較高，數(shù)學(xué)運(yùn)算復(fù)雜，容易出錯(cuò)。相比于常規(guī)法而言，圖像法較為簡(jiǎn)單，但學(xué)生在理解圖像中的兩個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)對(duì)實(shí)際電路經(jīng)常提出下面兩點(diǎn)疑問(wèn)。（圖8甲是電流表外接時(shí)電源的U-I圖像，圖8乙是電流表內(nèi)接時(shí)電源的U-I圖像。）

圖8 電源U-I圖

疑問(wèn)1圖8甲中的A點(diǎn)U=0，則外電路應(yīng)為短路，外電阻阻值應(yīng)該為零，但此時(shí)外電路為電流表和滑動(dòng)變阻器串聯(lián)。即使滑動(dòng)變阻器阻值調(diào)為零，電流表電阻也不能忽略，所以外電路電阻不可能為零，所以外電路不可能短路。

疑問(wèn)2圖8乙中的B點(diǎn)I=0，則外電路應(yīng)為斷路，外電阻阻值應(yīng)該為無(wú)窮大，但此時(shí)外電路為電壓表和滑動(dòng)變阻器并聯(lián)。不管怎么調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器阻值，即使滑動(dòng)變阻器阻值調(diào)為無(wú)窮大，電壓表電阻也不能忽略，所以外電阻阻值不可能為無(wú)窮大，所以外電路不可能斷路。

老師在回答此類問(wèn)題時(shí)一般解釋為這兩種情況屬于理想情況，可以有但實(shí)際實(shí)驗(yàn)中不能達(dá)到。這樣解釋從理論上可行，但因?yàn)檫@是屬于實(shí)驗(yàn)中的誤差分析，難免有點(diǎn)牽強(qiáng)，學(xué)生理解起來(lái)有一定難度。

下面我們用等效電源法[2]來(lái)處理此類誤差分析問(wèn)題。

3.2 電流表外接時(shí)誤差分析

如圖6中的虛線所示，電源和電壓表并聯(lián)組成等效電源，則可以不考慮電壓表分流。但實(shí)驗(yàn)所得測(cè)量值應(yīng)為等效電源的等效值，即實(shí)驗(yàn)所得測(cè)量值應(yīng)為等效電源的等效電動(dòng)勢(shì)E'和等效內(nèi)阻r'。

3.3 電流表內(nèi)接時(shí)誤差分析

如圖7中的虛線所示，電源和電流表串聯(lián)組成等效電源，則可以不考慮電流表分壓。但實(shí)驗(yàn)所得測(cè)量值應(yīng)為等效電源的等效值，即實(shí)驗(yàn)所得測(cè)量值應(yīng)為等效電源的等效電動(dòng)勢(shì)E'和等效內(nèi)阻r'。

由前面分析易得：E測(cè)=E'=E真，r測(cè)=r'=RA+r真。同樣易得出結(jié)論：E測(cè)=E真，r測(cè)>r真。

通過(guò)對(duì)3.2與3.3中兩種連接方式的誤差分析，我們可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)電源內(nèi)阻較小時(shí)，若采用電流表內(nèi)接，由于RA與r真接近，因此雖然電動(dòng)勢(shì)測(cè)量值不存在系統(tǒng)誤差，但是內(nèi)阻測(cè)量值的相對(duì)誤差很大；而若采用電流表外接，由于RV>>r真，雖然電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻測(cè)量值均存在系統(tǒng)誤差，但是相對(duì)誤差較小，所以我們?cè)趯?shí)際測(cè)量干電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻時(shí)，通常采用圖6的電路連接方法。但如果待測(cè)電源內(nèi)阻較大，RA<

通過(guò)上面的分析可知，我們?cè)谟玫刃щ娫捶ǚ治鰰r(shí)既避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，又避免了圖像法分析問(wèn)題時(shí)帶給學(xué)生的困惑，很好地解釋了該實(shí)驗(yàn)中的誤差分析問(wèn)題，學(xué)生理解起來(lái)更為容易。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)滑動(dòng)變阻器最大功率的求解及電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)中的誤差分析，我們可以看出，在分析電路中某些較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，相比于其他解法，等效電源法顯得更為簡(jiǎn)單，可以有效地幫助學(xué)生理解和思考問(wèn)題，解題思路更為清晰。因此，掌握等效電源的兩種常見形式，并合理運(yùn)用到電路問(wèn)題分析中去，往往可以把電路中的復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使電路中的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。讓學(xué)生可以充分利用物理的思維來(lái)解決電路問(wèn)題，而不是一味地追求數(shù)學(xué)上的難度，這也是物理教學(xué)中的基本觀點(diǎn)，使數(shù)學(xué)問(wèn)題物理化。