基于稀疏系統(tǒng)辨識的改進的零吸引LMS算法*

辛龍坤,孟 金,易勝宏,劉 挺

(重慶郵電大學 a.通信與信息工程學院;b.光電工程學院,重慶 400065)

0 引 言

近些年,自適應濾波算法已廣泛應用于通信信號處理[1]、聲回波信號抑制處理[2]和自適應降噪處理[3]等。Widrow[4]提出的最小均方(Least Mean Square,LMS)算法,因其結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定度高和易于實現(xiàn),被廣泛應用于系統(tǒng)辨識、回波抵消和自適應預測等。學者們研究發(fā)現(xiàn),許多信道具有稀疏性[5-6],其稀疏性指信道的大部分沖激響應為零或接近零,少部分沖激響應為有效值。常規(guī)的LMS算法并沒有結(jié)合這種稀疏特性,導致其穩(wěn)態(tài)均方差(Mean Square Deviation,MSD)和收斂速度并不好。因此,Chen等人[5]提出了將l1-norm懲罰引入LMS構(gòu)成零吸引LMS(Zero-attracting LMS,ZA-LMS)和重新加權(quán)零吸引LMS(Reweighting Zero-attracting LMS,RZA-LMS)算法,使算法在估計零沖激響應時,濾波器所估計的值更加接近稀疏信道的沖激響應值。但ZA-LMS算法沒有分辨信道沖激響應值的大小,對所有的信道沖激響應都采用同樣大小的零吸引權(quán)重,導致其MSD只比常規(guī)的LMS算法略好;RZALMS算法在估計信道中較小沖激響應時,其零吸引函數(shù)的權(quán)重值較大且不易調(diào)整,導致其MSD并未達到系統(tǒng)的最佳值。因此,Gu等人[6]提出將l0-norm懲罰與LMS算法結(jié)合構(gòu)成l0-LMS算法。該算法只對較小的沖激響應進行一個向零吸引的處理,在每一次迭代更新中濾波器的零系數(shù)與信道的零沖激響應的差值都較小,使其誤差信號值較小,從而對信道的較大沖激響應的估計更為合理。但該算法并沒有對較大的沖激響應進行適宜的處理,導致其收斂速度有待進一步提升。隨后,學者們提出了一種lp-LMS算法[7-9],該算法引入了lp-norm懲罰,通過調(diào)節(jié)參數(shù)p獲得了比l0-norm和l1-norm算法更好的MSD值,但是該算法存在有實時的除法、指數(shù)和指數(shù)冪運算[7],導致其復雜度相較于l0-norm和l1-norm算法成幾何增長,故該類型算法不在本文中考慮。

本文提出將一種先將RZA-LMS與l0-LMS算法相結(jié)合再進行改進的IZA-LMS(Improving ZA-LMS)算法。該算法先保留了RZA-LMS算法對較大沖激響應處理的零吸引函數(shù),以保留較快的收斂速度;再對l0-LMS算法對零沖激響應處理的零吸引函數(shù)進行改進,使所提算法比l0-LMS算法具有更快的收斂速度和更低的MSD。

1 系統(tǒng)辨識模型

本文的研究基于圖1給出的系統(tǒng)辨識模型[10],該模型指由一組已知的輸入信號X(n)經(jīng)過與稀疏信道的沖激響應H(n)=[h0h1…h(huán)L-1]T(L為信道的階數(shù))相乘,再加上環(huán)境噪聲信號n0(n),得到期望信號d(n);輸入信號X(n)與一個自適應濾波器的系數(shù)W(n)=[w0w1…wL-1]T相乘得到輸出信號y(n),再將期望信號d(n)與輸出信號y(n)作差得到誤差信號e(n),將根據(jù)該值對自適應濾波器的系數(shù)W(n)進行迭代更新,使濾波器的系數(shù)W(n)無限的逼近稀疏信道的沖激響應H(n)。

圖1 系統(tǒng)辨識模型

2 現(xiàn)存的稀疏LMS算法

2.1 ZA-LMS與RZA-LMS算法

稀疏自適應濾波算法的差異主要是迭代更新公式中的零吸引函數(shù)不同。由此,ZA-LMS算法的迭代更新公式如下:

式中:μ為步長因子,以調(diào)整每一次迭代更新的值;ρ為零吸引子權(quán)重,以調(diào)節(jié)零吸引函數(shù)值的大小;sgn[W(n)]為

雖然ZA-LMS算法的MSD值比LMS算法更低,但是它的零吸引函數(shù)對所有的沖激響應都采用了同樣大小的零吸引權(quán)重值,導致MSD并未達到系統(tǒng)的最佳值。因此,RZA-LMS算法被提出,其迭代更新公式如下:

式中:ρ為零吸引子權(quán)重;λ為區(qū)分參數(shù),以區(qū)分不同大小的沖激響應,使零吸引函數(shù)采用不同大小的零吸引權(quán)重值,得到比ZA-LMS算法更低的MSD值。但該算法估計較小的沖激響應時,其零吸引強度較小,導致濾波器估計的較小系數(shù)值與對應信道沖激響應的差值較大。

2.2 l0-LMS算法描述

l0-LMS算法的零吸引函數(shù)只對較小的沖激響應進行零吸引處理,其迭代更新公式為

式中:ρ為零吸引子權(quán)重;f0(W(n))為f0(W(n))=[f0(W0(n))f0(W1(n)) …f0(WL-1(n))]T;f0(Wi(n))為

式中:β為調(diào)諧參數(shù),以調(diào)整零吸引函數(shù)的值。該算法雖然對較小的沖激響應處理較為優(yōu)秀,獲得了比RZA-LMS算法更低的MSD值,但該算法并未對較大的沖激響應做任何處理,導致其收斂速度不及RZA-LMS算法。

3 所提的IZA-LMS算法

3.1 IZA-LMS算法的描述

本文提出將RZA-LMS與l0-LMS算法結(jié)合的IZA-LMS算法,該算法集成了RZA-LMS算法的快速收斂速度和比l0-LMS算法更低的MSD值。所提算法的迭代更新公式為

式中:μ為步長因子;f1(W(n))為f1(W(n))=[f1(W0(n))f1(W1(n)) …f1(WL-1(n))]T;f1(Wi(n))為

式中:ρ為零吸引權(quán)重;β為調(diào)諧參數(shù),以調(diào)整零吸引函數(shù)的值;λ為區(qū)分參數(shù),以區(qū)分不同大小的沖激響應后,使零吸引函數(shù)采用不同大小的零吸引權(quán)重值。

圖2所示,ZA-LMS的零吸引函數(shù)對所有的沖激響應都采用同樣大小的零吸引強度,導致MSD的性能不好;RZA-LMS的零吸引函數(shù)在對較小的沖激響應處理的零吸引強度較小,導致濾波器的估計系數(shù)與稀疏信道的較小沖激響應的差值較大;l0-LMS算法只對較小的沖激響應采取較大的零吸引強度,但是并未對較大的沖激響應進行處理,導致其收斂速度不足。而本文所提出的IZA-LMS算法對估計較大的沖激響應時采取較小的零吸引強度,以獲取較快的收斂速度;針對較小的沖激響應時采取較大的零吸引強度,以得到濾波器估計的系數(shù)與稀疏信道的沖激響應較小的差值。

圖2 幾種算法的零吸引函數(shù)

3.2 IZA-LMS算法的穩(wěn)態(tài)分析

圖1所示,考慮一個稀疏系統(tǒng)辨識模型,其期望信號d(n)為

輸出信號y(n)為

期望信號d(n)與輸出信號y(n)的差值誤差信號e(n)為

假設稀疏信道的沖激響應與估計濾波器的系數(shù)誤差為

由此,穩(wěn)態(tài)均方差MSD的計量準則如下:

式中:Tr(·)表示矩陣的跡。由此,穩(wěn)態(tài)均方差MSD的計算如下

將式(6)、(7)、(10)代入式(11),其濾波器的系數(shù)與稀疏信道沖激響應的誤差迭代更新為

由此,將式(14)代入式(13)可得穩(wěn)態(tài)均方差為

式中:為輸入信號X(n)的功率;為噪聲信號n0(n)的功率;L為信道的階數(shù)。IZA-LMS算法的MSD由步長因子、輸入信號功率、噪聲功率以及稀疏信道的沖激響應值所共同決定。根據(jù)式(15),當穩(wěn)態(tài)均方差趨于穩(wěn)定時,步長因子因滿足

即步長因子μ的取值范圍為

因此,當IZA-LMS算法的步長因子選取在上述范圍,算法可穩(wěn)定運行。

4 仿真分析

本文仿真主要基于圖1的稀疏系統(tǒng)辨識模型。為了便于對比上述算法的性能,設置功率為=1的高斯信號為輸入信號X(n),設置所有算法的步長因子μ=0.005,λ=10,信道的階數(shù)L=128,信噪比20 dB。由此,先確定了系統(tǒng)環(huán)境參數(shù),再進行算法的參數(shù)對比選擇。

4.1 算法參數(shù)的確定

上述算法的仿真參數(shù)如表1所示。

表1 算法的參數(shù)選擇

主要對表1中零吸引權(quán)重ρ和調(diào)諧參數(shù)β的最佳參數(shù)進行仿真,其具體的穩(wěn)態(tài)MSD仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 算法不同零吸引權(quán)重ρ的MSD曲線圖

圖4 算法不同調(diào)諧參數(shù)β的MSD曲線圖

由圖3可知,IZA-LMS算法的零吸引權(quán)重ρ的有效范圍遠比其他算法更廣且MSD值更低,ZALMS、RZA-LMS、l0-LMS和IZA-LMS算法的最佳零吸引權(quán)重分別為ρ=7.943 3×10-5、ρ=2.511 9×10-4、ρ=3.162 3×10-5和ρ=3.162 3×10-5。

由圖4可知,當調(diào)諧參數(shù)β值過大時,所提IZALMS算法的MSD性能都比基礎的LMS更好,而現(xiàn)存的l0-LMS的MSD性能比基礎的LMS都差,即所提出的IZA-LMS算法的調(diào)諧參數(shù)β的適用范圍比l0-LMS算法更廣和更具有吸引力。在后續(xù)仿真中,設置最佳的調(diào)諧參數(shù)為β=100。

4.2 步長因子的仿真對比

為了進一步確定算法的步長因子對算法性能的影響,采用4.1節(jié)中得到的各個算法的最佳零吸引權(quán)重值,并設置調(diào)諧參數(shù)β=100。圖5給出了上述參數(shù)的MSD仿真對比。

圖5 算法不同步長因子μ的MSD曲線圖

如圖5所示,當步長因子μ較小時,所有算法的MSD都并沒有達到最佳值,ZA-LMS、RZA-LMS、l0-LMS和IZA-LMS算法的最佳步長因子分別為μ=0.004 6、μ=0.005、μ=0.002 6和μ=0.002 9。

4.3 稀疏信道下的仿真對比

采用4.1節(jié)和4.2節(jié)中各個算法的最佳參數(shù),假設非零沖激響應有P個,仿真稀疏信道的非零沖激響應個數(shù)分別設置為4、8、16,與圖6的稀疏信道進行仿真對比。穩(wěn)態(tài)MSD的仿真如圖7所示,圖7的每個數(shù)據(jù)點都經(jīng)過了100次蒙特卡洛模擬。

圖6 多種稀疏信道的沖激響應

圖7 算法的MSD曲線仿真圖

由圖7可知,三種稀疏信道下,所提的IZA-LMS算法都保持著最低的穩(wěn)態(tài)MSD。當稀疏信道越稀疏時,IZA-LMS算法的穩(wěn)態(tài)MSD表現(xiàn)得越低,比現(xiàn)存的l0-LMS算法的MSD低5 dB。在辨識稀疏信道時,所提的IZA-LMS算法比ZA-LMS、RZA-LMS和l0-LMS算法更具有優(yōu)勢。

5 結(jié) 論

本文提出了一種RZA-LMS算法和l0-norm類型相結(jié)合的IZA-LMS算法,對該算法進行了理論穩(wěn)態(tài)MSD的分析,并給出了步長因子、零吸引權(quán)重和調(diào)諧參數(shù)的選擇。仿真結(jié)果證明了該算法不僅具有RZA-LMS算法的快速收斂特性,而且其穩(wěn)態(tài)MSD還比l0-LMS算法更低。