田社平, 喬樹通, 張 峰
(上海交通大學電子信息與電氣工程學院,上海 200240)
單位沖激響應反映了電路的性質。若已知電路的單位沖激響應,則可利用卷積積分的概念求解電路對任意激勵的零狀態(tài)響應[1-3]。在“電路理論”課程教學中,沖激響應、卷積積分皆被列為基本教學內容[4-5]。單位沖激響應是一人為定義的概念:單位沖激函數(shù)是理想的數(shù)學函數(shù),在物理世界很難構造這一理想的函數(shù)。實際中很難直接通過實驗直接測得(單位)沖激響應。在實際中,一些容易實現(xiàn)的信號,如(單位)階躍激勵、指數(shù)衰減激勵、正弦激勵等往往被用來作為電路的激勵[6-7]。如何利用這些非沖激激勵下的電路響應來計算電路的單位沖激響應,在理論上和實驗中都是一個值得加以研究的問題[8]。
在復頻域利用卷積定理可以容易計算單位沖激響應的拉氏變換。這一理論上簡便的方法在實現(xiàn)時須借助數(shù)字信號處理技術,系統(tǒng)無論是經濟成本還是復雜度都是比較高的。
本文提出一種沖激響應時域分析法,給出實現(xiàn)電路的設計方法。通過數(shù)值仿真和電路測試驗證了該方法的正確性。沖激響應時域分析法具有物理含義明確,設計過程簡明,實現(xiàn)成本低廉的特點。
對任意單一激勵的線性非時變動態(tài)系統(tǒng),假設系統(tǒng)的激勵為x(t)、響應為y(t),在單位沖激激勵下的響應為h(t),則系統(tǒng)的響應和激勵滿足[9]
卷積積分是較為復雜的數(shù)學運算,直接由式(1)求解h(t)是比較困難的。為求解h(t),可引入一個中間函數(shù)來簡化計算過程。假設該函數(shù)為g(t),將g(t)與式(1)兩邊進行卷積積分,得
令函數(shù)g(t)滿足
則由式(2)不難得到
對于給定激勵x(t)、響應y(t),如果能夠找到滿足式(3)的函數(shù)g(t),則由式(4)即可求得單位沖激響應h(t)。
利用卷積積分的性質,可求得常見激勵函數(shù)所對應的函數(shù)g(t)。
例1階躍激勵Aε(t),其中A為比例系數(shù)。由式(3),函數(shù)g(t)滿足
由卷積積分的微積分性質[9],得
由式(6)可得
亦即
可見,g(t)等于一階沖激偶函數(shù)除以一個比例系數(shù)。
例2指數(shù)衰減激勵Ae-αtε(t)(α>0)。由式(3),函數(shù)g(t)滿足
直接求解g(t)較為困難??衫孟铝袃墒介g接求解。
由式(10)、(11)可得
可見,g(t)滿足
例3正弦激勵Acos(ωt)ε(t)。由式(3),函數(shù)g(t)滿足
為求解g(t),先寫出如下等式
由式(15)、(16)可得
可見,g(t)滿足
類似地,可求出對應正弦激勵Asin(ωt)ε(t)的g(t)函數(shù)
上述求解結果利用卷積定理不難加以驗證。
以指數(shù)衰減激勵為例討論沖激響應測量電路的設計。假設系統(tǒng)的激勵為x(t)=Ae-αtε(t)、響應為y(t),由上面討論可知,系統(tǒng)的沖激響應
由式(20)可得測量系統(tǒng)實現(xiàn)框圖如圖1 所示。
圖1 系統(tǒng)沖激響應測試圖框
RC電路是典型的一階系統(tǒng),針對RC電路,設計出如圖2 所示的沖激響應測試電路,取電容電壓作為電路的響應。測試電路包含跟隨器、微分電路、加法電路、放大電路等,其中跟隨器起隔離作用,加法電路采用反相電路,放大電路也采用反相電路[10-11]。RC電路的激勵取x(t)=0.1e-0.2tε(t)V(見圖2 中的元件ui)。
圖2 一階RC電路沖激響應測試電路
微分電路采用具有高輸入阻抗的微分電路[10-12],工作電路如圖3 所示。由圖可知,傳遞函數(shù)
圖3 微分電路工作原理
可見,電路的輸入、輸出關系為
亦即該電路對輸入電壓信號起到了微分的作用。按圖2 所示電路元件參數(shù),微分電路的R3=R4=100 kΩ,C2=C3=1 μF,可知RC=0.1,即微分電路在實現(xiàn)微分功能的同時,還對輸入信號放大了0.1 倍。在反相加法電路,對微分輸出信號又放大了10 倍(圖中R5=2 kΩ,R6=20 kΩ)。
由于A=0.1,α=0.2,在反相加法電路,對RC電路的響應信號放大0.2 倍(R2=100 kΩ,R6=20 kΩ),在反相放大電路部分,其放大倍數(shù)為1/A=10(R9=10 kΩ,R10=100 kΩ)。
按圖2 所示電路中RC電路的參數(shù)(R1=200 kΩ,C1=10 μF),可知,此RC電路的沖激響應為
為驗證圖2 電路的正確性,采用Multisim軟件[13]進行實驗仿真,仿真結果如圖4 所示。由圖可知,沖激響應仿真結果與沖激響應的理論結果幾乎完全重合,初步驗證了圖2 電路的正確性。
圖4 RC電路沖激響應仿真結果
按圖2 電路設計,搭建電路進行測量。采用AD713AQ四運放,該運放具有低輸入偏置電流、輸入失調電流和輸入電壓噪聲。微分電路中的電容采用聚丙烯薄膜電容[14]。電路中所有電阻選用1/8W、1%金屬膜電阻。激勵信號通過數(shù)模轉換系統(tǒng)自動生成。實測沖激響應結果如圖5 所示。
圖5 RC電路沖激響應實測結果
由圖5 可知,所得結果與理論結果吻合,在響應的開始階段,曲線上出現(xiàn)“毛刺”。產生這一現(xiàn)象的主要原因:
(1)激勵信號通過數(shù)模轉換系統(tǒng)產生,它不是理想的光滑曲線。
(2)微分電路中的運放、電容不是理想元件,當被微分信號變化較為劇烈時,電路會產生自激振蕩,從而產生“毛刺”[15]。
事實上,對RC電路的電容電壓響應進行分析,可求得電容電壓響應
對式(24)兩邊求導,得
可見,在t=0 時刻,uC1(t)的變化率最大,隨著時間的延長,其變化率逐步降低,自激振蕩現(xiàn)象消失,響應曲線變得光滑。
RLC電路是典型的二階系統(tǒng),針對RLC電路,設計出如圖6 所示的測試仿真電路,取電容電壓作為電路的響應。電路參數(shù)分別取R1=1 Ω,L1=1 H,C1=1 F。電路的激勵、測試電路部分與圖2 電路相同。
圖6 RLC電路沖激響應測試電路
由RLC電路的元件參數(shù),可求得電路沖激響應
采用Multisim軟件對圖6 電路進行實驗仿真,仿真結果如圖7 所示。由圖7 可知,該結果與式(25)所示理論結果完全吻合。
圖7 RLC電路沖激響應仿真結果
按照圖6 電路的設計,搭建電路進行測量。取RLC電路的元件參數(shù):R1=20 kΩ,L1=1 mH,C1=10 μF。經過理論分析,可求得電容C1的電壓沖激響應
實測沖激響應結果如圖8 所示。由圖8 可知,所得結果與理論結果吻合。與一階RC電路沖激響應測量結果類似,在響應的開始階段,曲線上也有“毛刺”出現(xiàn)?!懊獭碑a生的原因與上面分析類似。
圖8 RLC電路沖激響應實測結果
基于卷積積分的概念和性質,提出一種電路沖激響應的時域分析方法。針對一、二階電路設計沖激響應測量電路。實驗、仿真結果表明,本文方法可以準確測量系統(tǒng)的沖激響應。
所提沖激響應測量方法實現(xiàn)了從時域直接對單位沖激響應的測量,概念簡單,物理含義明確,且電路實現(xiàn)簡單、成本低。