唐愛琪，楊 航，孫亞男

（廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

1 引言

近數(shù)十年，物理學(xué)家們一直都在尋找脫離禁閉狀態(tài)的夸克膠子物質(zhì)，但夸克膠子物質(zhì)存在需要非常嚴(yán)苛的條件，例如要在體系的溫度或者重子數(shù)密度要非常的高才可以存在。在地球，我們可能達(dá)到嚴(yán)苛條件的可能只有相對(duì)論重離子碰撞試驗(yàn)。在進(jìn)行重離子碰撞時(shí)，會(huì)產(chǎn)生處于熱平衡的物質(zhì)稱它為“夸克-膠子等離子體”(QGP)，即QGP 產(chǎn)生于碰撞初期。又因?yàn)?，體系本身會(huì)發(fā)生膨脹，而導(dǎo)致體系的溫度下降，因此QGP 會(huì)因溫度的降低而演化為強(qiáng)子氣體凍出，從而導(dǎo)致我們最終探測(cè)器探測(cè)到的都是末態(tài)的強(qiáng)子，即我們是無(wú)法直接觀測(cè)到QGP 的！在重離子碰撞試驗(yàn)中，我們無(wú)法之間觀測(cè)到夸克膠子等離子體，我們觀察到的是末態(tài)的強(qiáng)子氣體。在實(shí)驗(yàn)上就只能去分析這些末態(tài)的粒子，當(dāng)然也需要依靠可靠的理論數(shù)據(jù)計(jì)算。對(duì)碰撞早期物質(zhì)狀態(tài)敏感的末態(tài)粒子稱為“QGP 的探針”。[1]本文我們重點(diǎn)利用的探針為：重夸克偶素。由于“重夸克偶素”的質(zhì)量比較大，相對(duì)論效應(yīng)比較弱，所以，通過(guò)非相對(duì)論下的薛定諤方程，我們可以很好的去研究“重夸克偶素”性質(zhì)，通過(guò)求解薛定諤方程，我們可以得到“重夸克偶素”的束縛能和本征能。因此，構(gòu)建出能夠很好描述“重夸克偶素”性質(zhì)的重夸克勢(shì)能模型對(duì)研究重夸克偶素的物理性質(zhì)是非常重要的。本文將利用由Karsch，Mehr 和Satz 等人引入、郭云教授改進(jìn)的的重夸克勢(shì)能模型（以下簡(jiǎn)稱“改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型”）為代表，來(lái)進(jìn)行重夸克勢(shì)能模型中非微擾貢獻(xiàn)重要性的定量研究。

2 改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型簡(jiǎn)述

2.1 原始KMS 重夸克勢(shì)能模型推導(dǎo)及介紹

由于組成重夸克偶素的夸克的質(zhì)量較大，相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度比較小，因此，當(dāng)粗暴的假設(shè)夸克與反夸克之間的相互作用力是一個(gè)簡(jiǎn)單的靜態(tài)勢(shì)時(shí)，就可以應(yīng)用非相對(duì)論來(lái)近似。

第一個(gè)著名的勢(shì)模型是Cornell 勢(shì)：

其中，αs是強(qiáng)相互作用的耦合常數(shù)，σ是弦強(qiáng)度，r 是夸克與反夸克之間的距離。零溫度下的Cornell勢(shì)由微擾部分和非微擾部分的唯象模型σr兩部分構(gòu)成。1988 年，由F.Karsch,M.T.Mehr 和H.Satz 開創(chuàng)性的模仿零溫度下Cornell 勢(shì)，引入了有限溫度下的簡(jiǎn)單的勢(shì)能模型，稱為原始的KMS 重夸克勢(shì)能模型。

其中德拜質(zhì)量mD是與溫度有關(guān)的函數(shù)，我們可以看到在有限的溫度下，勢(shì)能（2-2）式表示的重夸克勢(shì)能為指數(shù)的形式。且通過(guò)與格點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，Karsch 等發(fā)現(xiàn)，原始的KMS 重夸克勢(shì)能模型是能夠與格點(diǎn)數(shù)據(jù)中的自由能數(shù)據(jù)擬合良好。

當(dāng)?shù)掳葙|(zhì)量mD→0時(shí)，則有

我們發(fā)現(xiàn)。此時(shí)的勢(shì)能公式與零溫度時(shí)的Conell 式的形式一模一樣！

2.2 改進(jìn)拓展的KARSCH-MEHR-SATZ 重夸克勢(shì)能模型的介紹與探索

在2007 年，M.Laine 等人首次提出重夸克勢(shì)能模型有虛部并將有限溫度下的重夸克勢(shì)能模型表示成復(fù)值的形式后，KMS 重夸克勢(shì)能模型也在不斷的發(fā)展、變化。實(shí)際上，2.1 中提到的（2-2）式就是原始的KMS重夸克勢(shì)能模型，它可以去定性的描述格點(diǎn)數(shù)據(jù)，但引起物理學(xué)家思考的是：重夸克偶素的質(zhì)量并不都是足夠大的，如粲夸克偶素或底夸克偶素，它們?cè)诜窍鄬?duì)論的極限下并不能使用微擾勢(shì)能去描述其間的相互作用，所以，一個(gè)包含非微擾項(xiàng)的勢(shì)能形式脫穎而出了。為描述非微擾的影響，2019 年，郭云教授等借助E.Megias等人提及的二維膠子凝聚的貢獻(xiàn)，嘗試提出解決的方法：在微擾（延遲）膠子傳播子中加入了一個(gè)新的唯象式。[錯(cuò)誤!未定義書簽。]通過(guò)傅里葉變換即可得到擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能模型的實(shí)部具體形式如下：

同理，擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能模型虛部具體形式如下：

其中:

即VKMS=ReV+iImV，為擴(kuò)展的KMS 勢(shì)能模型。

那么擴(kuò)展的KMS 勢(shì)能模型得到的數(shù)據(jù)能否在格點(diǎn)數(shù)據(jù)范圍內(nèi)呢？2017 年，Y.Burnier 和A.Rothkopf 發(fā)表了擁有淬火QCD 格點(diǎn)數(shù)據(jù)的文章，與擴(kuò)展的KMS 勢(shì)能模型擬合情況如圖1、圖2：

圖1 淬火QCD格點(diǎn)數(shù)據(jù)（藍(lán)點(diǎn)）和擴(kuò)展KMS勢(shì)能模型中的實(shí)部ReV的比較，其中，ReV由紅實(shí)曲線表示，只考慮微擾貢獻(xiàn)的由黑虛曲線表示。[1]

圖2 淬火QCD格點(diǎn)數(shù)據(jù)（藍(lán)點(diǎn)）和擴(kuò)展KMS勢(shì)能模型中的實(shí)部ImV的比較，其中，ImV由紅實(shí)曲線表示，只考慮微擾貢獻(xiàn)的由黑虛曲線表示。[2]

通過(guò)圖1 和圖2 可以發(fā)現(xiàn)：擴(kuò)展KMS 重夸克勢(shì)能模型的實(shí)部部分與格點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合的很好，且當(dāng)距離較大時(shí)的行為明顯是夸克禁閉的行為；但擴(kuò)展KMS 重夸克勢(shì)能模型的虛部部分在隨著r 的增大，發(fā)生集聚增大的變化并超過(guò)了格點(diǎn)數(shù)據(jù)。雖擴(kuò)展的KMS 模型虛部擬合效果不如人意，但仍比只考慮微擾貢獻(xiàn)有了明顯進(jìn)步，這也提醒我們，目前擴(kuò)展的KMS 勢(shì)能模型，特別是虛部部分仍然需要進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)。

幸運(yùn)的是，在對(duì)擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能模型與淬火QCD 格點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合情況并不滿意后，為了更好的符合格點(diǎn)數(shù)據(jù)的虛部部分，郭云教授等繼續(xù)又對(duì)擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能模型進(jìn)行了再一次的改進(jìn)，改進(jìn)思路在非微擾項(xiàng)中在二維膠子傳播子中繼續(xù)加入新的貢獻(xiàn)，并同樣再進(jìn)行傅里葉變換，即可得到改進(jìn)拓展KMS重夸克勢(shì)能模型。

具體形式如下：

同理，改進(jìn)擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能的虛部具體形式如下：

其中:

又，考慮到夸克的質(zhì)量mQ有限，為提高解得的夸克態(tài)波函數(shù)的精度，選擇加入一個(gè)與成比例而與自旋無(wú)關(guān)的一個(gè)修正值。即，為改進(jìn)擴(kuò)展的KMS 重夸克勢(shì)能模型最終形式，如（2-12）式。同樣與淬火QCD 格點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)在實(shí)部擬合依然很好的情況下，虛部部分的擬合也有了很大的改進(jìn)[2]。

現(xiàn)在，我們通過(guò)將（2-9）式帶入薛定諤方程，即可求出重夸克偶素的本征能，我們將利用mathmatica程序，對(duì)改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型帶入薛定諤方程進(jìn)行計(jì)算以獲得重夸克偶素的本征值。

我們可以看到（2-12）式包含微擾項(xiàng)和非微擾項(xiàng)，為了去探索改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型中非微擾貢獻(xiàn)重要性，我們選擇將σ=0時(shí)的改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型，如（2-13）式，并同樣利用mathmatica程序?qū)⑵鋷胙Χㄖ@方程以獲得無(wú)非微擾時(shí)重夸克偶素的本征值。

當(dāng)σ=0時(shí)，

通過(guò)改重變溫度和夸克偶素的質(zhì)量可以得到兩種情況下對(duì)應(yīng)不同溫度、不同質(zhì)量的相應(yīng)本征能。通過(guò)的兩種情況對(duì)比，我們可以得到，當(dāng)重夸克偶素的質(zhì)量達(dá)到多少時(shí)，非微擾不再影響本征能的值，達(dá)到定量研究改進(jìn)拓展的KMS 重夸克勢(shì)能模型中非微擾貢獻(xiàn)重要性的目的

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

我們利用mathmatic程序，對(duì)改進(jìn)拓展的KMS重夸克勢(shì)能模型進(jìn)行計(jì)算，并計(jì)算了多種溫度下不同質(zhì)量的下的本征能，利用數(shù)據(jù)所畫圖像如圖3所示。

圖3 黑色曲線為溫度0.192*1.1GeV時(shí)，其中黑色虛線代表σ=0時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化，黑色實(shí)線代表σ=0.215時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化；紅色曲線為溫度0.192*5.0GeV時(shí)，其中紅色虛線曲線代表σ=0時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化，紅色實(shí)線代表σ=0.215時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化；藍(lán)色曲線為溫度0.192*10.0GeV時(shí)，其中藍(lán)色虛線代表σ=0時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化，藍(lán)色實(shí)線代表σ=0.215時(shí)本征能隨質(zhì)量的變化。

4 結(jié)論

通過(guò)圖3 的橫向的對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)在同一溫度下，隨著重夸克質(zhì)量的升高非微擾部分對(duì)通過(guò)重夸克勢(shì)能模型得到的本征能的影響逐漸降低，當(dāng)重夸克質(zhì)量一定程度時(shí)(如溫度為0.192*1.1GeV，重夸克質(zhì)量為50GeV 時(shí)），非微擾部分基本不能再影響本征能的值。

即，我們可以得到結(jié)論：當(dāng)重夸克質(zhì)量一定程度時(shí)(如溫度為0.192*1.1GeV，重夸克質(zhì)量為50GeV 時(shí)），非微擾部分不能再影響重夸克本征能的值。

而我們知道，實(shí)際上，像b夸克偶素態(tài)這樣的最大的夸克質(zhì)量也僅為4.7GeV，顯然在現(xiàn)實(shí)中，重夸克勢(shì)能模型中的非微擾貢獻(xiàn)是非常重要、不能被忽略的！