應(yīng)宇軒 黃瑋, 馬玉娥 彭帆

*(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

?(長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院,西安 710061)

引言

若材料在空間上由重復(fù)的且周期性的代表性單元(單胞)組成,則稱之為周期性結(jié)構(gòu)[1].多孔結(jié)構(gòu)是一類由隨機(jī)或周期性的微觀結(jié)構(gòu)組成的輕質(zhì)結(jié)構(gòu),其材料主要包括金屬、高分子以及陶瓷3 大類[2].隨機(jī)多孔結(jié)構(gòu)又可稱為泡沫結(jié)構(gòu),周期性多孔結(jié)構(gòu)常包括蜂窩結(jié)構(gòu)、波紋結(jié)構(gòu)等.因多孔結(jié)構(gòu)獨(dú)特多樣的性能特點(diǎn),逐漸成為了諸多領(lǐng)域?qū)W者研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn).多孔結(jié)構(gòu)具有隔熱、輕質(zhì)、吸音、相對(duì)密度低、比強(qiáng)度高、可變形等優(yōu)異的性能,在航空航天、柔性電子器件、能量吸收、隔音和組裝框架等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[3].

斷裂破壞問題的預(yù)測(cè)一直以來都是學(xué)術(shù)界和工程界關(guān)注的難題.由于內(nèi)部存在相互貫通或封閉的孔洞和不同的外部加載模式,周期性多孔結(jié)構(gòu)的斷裂行為更加具有不確定性.Hayes等[4]探討了單胞孔洞為正方形的周期性多孔合金在復(fù)雜加載模式下的斷裂失效行為,杜映洪[5]給出了分層蜂窩周期性多孔結(jié)構(gòu)在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的斷裂模式,Jelitto等[6]探究了泡沫多孔材料斷裂韌性、裂紋擴(kuò)展與孔隙率、加載方式的關(guān)系,均說明了多孔材料斷裂時(shí)的裂紋擴(kuò)展路徑會(huì)受到孔洞影響,且隨著外部加載模式的改變,裂紋擴(kuò)展行為與裂紋數(shù)量也發(fā)生改變.因此可以發(fā)現(xiàn),周期性多孔結(jié)構(gòu)在復(fù)雜力學(xué)環(huán)境下,會(huì)呈現(xiàn)出復(fù)雜的力學(xué)響應(yīng)與失效模式[3].經(jīng)典斷裂力學(xué)理論難以解決裂紋形核以及擴(kuò)展方向等問題[7-8],因此迫切需要尋找合適的斷裂問題數(shù)值模擬方法.

傳統(tǒng)有限元框架下模擬裂紋擴(kuò)展的數(shù)值分析方法主要有單元?jiǎng)h除法[9]、界面單元法[10]、擴(kuò)展有限元(XFEM)[11-12]等.單元?jiǎng)h除法將滿足條件的單元應(yīng)力置0,但難以模擬裂紋分岔問題.界面單元法通過設(shè)置內(nèi)聚力單元模擬裂紋擴(kuò)展,但具有較強(qiáng)的網(wǎng)格依賴性.擴(kuò)展有限元法通過擴(kuò)充形函數(shù)使裂紋可以在網(wǎng)格內(nèi)擴(kuò)展,但較難處理三維問題[13].本文所采用的相場(chǎng)(phase-field)斷裂模型是一種彌散式裂紋模型.該方法基于傳統(tǒng)Griffith[14]理論,通過能量平衡理論研究裂紋的擴(kuò)展行為.Francfort等[15]在該理論基礎(chǔ)上提出了斷裂變分準(zhǔn)則,Bourdin等[16]通過引入彌散的相邊界來表征裂紋的尖銳邊界,引入序參量(即相場(chǎng))來得到空間中描述損傷的標(biāo)量場(chǎng),并經(jīng)過相場(chǎng)方程控制序參量的演化來顯式追蹤裂紋擴(kuò)展路徑,極大地簡(jiǎn)化了算法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度.目前,相場(chǎng)斷裂方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于脆性斷裂[17]、塑性斷裂[18-19]、動(dòng)態(tài)斷裂[20]、疲勞裂紋擴(kuò)展[21]、各向異性材料斷裂[22]、多場(chǎng)耦合[23]等問題.該方法在三維模擬方面也體現(xiàn)出了優(yōu)勢(shì)[24].對(duì)于復(fù)合材料、周期性點(diǎn)陣、周期性多孔結(jié)構(gòu)等可能出現(xiàn)的裂紋軌跡難以預(yù)測(cè)、多裂紋交匯問題,相場(chǎng)法具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)[25].

基于多尺度分析方法和均勻化理論[26],周期性結(jié)構(gòu)宏觀模型的力學(xué)行為可以通過分析細(xì)觀尺度的代表性體積單元(representative volume element,RVE)模型的力學(xué)性能來表征,細(xì)觀力學(xué)分析方法如圖1 所示.在多尺度分析過程中,需要滿足基于均勻化理論的細(xì)-宏觀能量等價(jià)條件(hill-mandel 條件)[27].此外,需要給RVE 模型施加周期性邊界條件,來保證RVE 邊界處的變形、應(yīng)力連續(xù),由宏觀模型向微細(xì)觀模型傳遞信息[28].

圖1 細(xì)觀力學(xué)分析示意圖Fig.1 Mesomechanics analysis schematic

盡管多孔結(jié)構(gòu)在單軸、雙軸或剪切載荷下的力學(xué)響應(yīng)已經(jīng)被廣泛研究[29-30],但在實(shí)際情況中,周期性多孔結(jié)構(gòu)往往承受多軸復(fù)雜載荷,目前對(duì)于該方面斷裂問題的研究較少.此外,以往的大多數(shù)周期性邊界條件只是控制RVE 模型中對(duì)稱邊界的位移,但不能保證作用在RVE 模型上的多軸宏觀應(yīng)力的比值恒定不變.

本文基于ABAQUS 有限元軟件平臺(tái)建立了周期性多孔結(jié)構(gòu)的RVE 模型,施加以多軸加載比例為控制參數(shù)的周期性邊界條件,實(shí)現(xiàn)了對(duì)于RVE 模型的比例加載,結(jié)合相場(chǎng)斷裂方法從而研究周期性多孔結(jié)構(gòu)在復(fù)雜多軸加載狀態(tài)下的斷裂失效行為.

1 相場(chǎng)斷裂方法

1.1 斷裂變分準(zhǔn)則

首先在本文中定義φ∈[0,1] 的標(biāo)量來定義相場(chǎng)變量表示裂紋拓?fù)?當(dāng)φ=0時(shí)表示材料完好,φ=1時(shí)表示材料完全破壞,引入一維桿件的彌散裂紋模型與相場(chǎng)函數(shù)[31],如圖2(a)和圖2(b)所示,其裂紋表面密度函數(shù)為

圖2 一維桿件的彌散裂紋與相場(chǎng)函數(shù)Fig.2 Diffused crack and phase-field functions in 1D rods

由此推導(dǎo)出二維和三維的表面密度函數(shù)

式中,l0代表裂紋的彌散寬度.

斷裂變分原理認(rèn)為彈性體 Ω 的勢(shì)能 ΠΩ由彈性應(yīng)變能Estr和斷裂表面能Wfrac組成,其表達(dá)式為

式中,ψe為彈性應(yīng)變能密度,ε(u)為應(yīng)變張量,Gc為臨界能量釋放率.

由于在損傷過程中應(yīng)變能會(huì)減少,故引入二次退化函數(shù)

式中,k是一個(gè)很小的參數(shù),可以防止φ=1 時(shí)剛度矩陣奇異.本文取k=1.0×10-7,因此有

1.2 相場(chǎng)控制方程

圖3 彌散裂紋與彈性體受力情況,左側(cè)為尖裂紋,右側(cè)為彌散裂紋Fig.3 Diffused crack and elastomeric stresses,with sharp cracks on the left and diffused crack on the right

系統(tǒng)的總勢(shì)能 Π=ΠΩ-Wext,其對(duì)φ和u求變分后可以得到

式中,n為法線向量,σ和u分別為柯西應(yīng)力張量和位移張量.根據(jù)變分原理,式(7)應(yīng)滿足 δΠ=0,因此得到相場(chǎng)與位移場(chǎng)耦合的形式為

1.3 彈性應(yīng)變能的拉壓分解

考慮到材料中只有拉伸載荷會(huì)引起裂紋擴(kuò)展,若不分離應(yīng)變能中的拉應(yīng)力和壓應(yīng)力部分,會(huì)產(chǎn)生裂紋偽分岔現(xiàn)象[32].首先對(duì)應(yīng)變張量進(jìn)行譜分解

式中,ε+為拉應(yīng)變張量,ε-為壓應(yīng)變張量,εi為主應(yīng)變值,ni為主應(yīng)變值的方向.m代表空間維數(shù),尖括號(hào)算子定義為:〈x〉+=(x+|x|)/2,〈x〉-=(x-|x|)/2.由此,彈性應(yīng)變能密度分解為

式中,λ和μ為拉梅常數(shù).考慮到剛度退化僅作用于拉伸應(yīng)變能,則 ψe可表示為

1.4 相場(chǎng)斷裂模型的分步算法

相場(chǎng)控制方程組往往是非線性的,若通過Newton 迭代法直接求解,在ABAQUS 隱式求解中容易造成不收斂.因此,可以對(duì)控制方程進(jìn)行解耦,使位移場(chǎng)方程和相場(chǎng)演化方程交錯(cuò)迭代求解.本文用一層UEL 計(jì)算相場(chǎng),一層UMAT 計(jì)算位移場(chǎng)并完成可視化[33].

首先推導(dǎo)式(9)中方程的弱形式

對(duì)位移場(chǎng)和相場(chǎng)變量進(jìn)行離散可得

式中,n是每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)數(shù),Nu和Nφ分別為單元的位移場(chǎng)矩陣和相場(chǎng)形狀函數(shù),和分別為結(jié)點(diǎn)i的位移場(chǎng)形狀函數(shù)矩陣和相場(chǎng)形狀函數(shù),其表達(dá)式如下所示

式中,Ni為結(jié)點(diǎn)i的形狀函數(shù).相應(yīng)地可以得到u和φ的梯度表達(dá)式為

式中,Ni,x和Ni,y為結(jié)點(diǎn)i處的形狀函數(shù)分別對(duì)x和y的導(dǎo)數(shù).將上述離散后的值代入弱形式平衡方程(13)中,可以分別得到位移場(chǎng)和相場(chǎng)的右端殘余向量為

為了能夠獲得穩(wěn)定的隱式求解公式,采用Newton-Raphson 迭代法,對(duì)位移場(chǎng)和相場(chǎng)進(jìn)行解耦求解,表達(dá)式如下

式中,C0為彈性體的初始剛度矩陣.

2 多軸比例加載的周期性邊界條件

在尺度轉(zhuǎn)換的分析過程中,常用體積平均應(yīng)變和體積平均應(yīng)力來描述RVE 模型的各項(xiàng)宏觀特性.在本文中,以作用在RVE 模型上的名義應(yīng)力作為宏觀量.首先,RVE 模型的宏觀和細(xì)觀第一Piola-Kirchhoff 應(yīng)力張量表示為PM和Pm,其宏觀和細(xì)觀變形張量表示為FM和Fm

式中,V0和Ω為RVE 模型的體積和域.通過式(25),可以實(shí)現(xiàn)尺度轉(zhuǎn)換下對(duì)應(yīng)參量的轉(zhuǎn)換,使RVE 模型的宏觀名義應(yīng)力可用于表征宏觀模型的承載能力.

2.1 周期性邊界條件

如圖4 所示,在二維笛卡爾坐標(biāo)系下,x1和x2分別表示水平方向和豎直方向,RVE 模型的尺寸為2l1×2l2.考慮RVE 模型處于多軸加載狀態(tài)[34],P11,P22和P12分別為作用在RVE 模型上的水平、豎直方向的宏觀名義應(yīng)力和面內(nèi)剪切名義應(yīng)力.

圖4 基于多軸加載的二維RVE 模型Fig.4 2D RVE model based on multiaxial loading condition

在施加雙軸以及面內(nèi)剪切載荷的工況下,RVE模型的宏觀變形張量可以寫為

式中,λ11和λ22分別是RVE 模型水平、豎直方向的宏觀變形量,λ12是面內(nèi)剪切的宏觀變形量.ei(i=1,2,3)是當(dāng)前變形下的笛卡爾坐標(biāo)系基向量,Ei(i=1,2,3)是未變形時(shí)的笛卡爾坐標(biāo)系基向量.

RVE 模型的廣義周期性邊界條件表示為

式中,uA和uB是RVE 模型中任意兩對(duì)稱邊界上節(jié)點(diǎn)對(duì)的當(dāng)前位移,即圖4 中用紅色部分標(biāo)出邊界A和邊界B,或用藍(lán)色標(biāo)出的邊界A和邊界B;XA和XB是RVE 模型中對(duì)稱邊界上節(jié)點(diǎn)對(duì)的初始位置;HM是宏觀應(yīng)變張量,I則是單位張量.

根據(jù)Hill-Mandel 的宏、細(xì)觀能量守恒條件,整個(gè)RVE 模型的宏觀應(yīng)變能密度應(yīng)等于該模型中所有單元的平均應(yīng)變能密度,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

靜力加載下,忽略體力和慣性的作用,RVE 模型在多軸加載下的宏觀總功變化率可以表示為

式中,A是二維RVE 模型的面積,P為RVE 模型的宏觀應(yīng)力張量,是宏觀變形變化率梯度張量,為宏觀變形率.

2.2 比例加載周期性邊界條件的數(shù)值實(shí)現(xiàn)

引入虛擬節(jié)點(diǎn),在虛擬節(jié)點(diǎn)上施加相應(yīng)的位移載荷,可以將周期性邊界條件施加到RVE 模型上.基于均勻化思想,通過能量守恒將RVE 模型的宏觀應(yīng)力、應(yīng)變與虛擬節(jié)點(diǎn)的自由度、反力關(guān)聯(lián)起來.

如式(26)所示,在多軸加載條件下,RVE 模型的宏觀變形梯度張量FM存在3 個(gè)非零分量.在二維平面內(nèi),每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以提供兩個(gè)自由度,因此本文需要引入兩個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)ghostnode1和ghostnode2.

首先,考慮RVE 模型在水平和豎直方向的變形能與作用在虛擬節(jié)點(diǎn)ghostnode1 的外力做功應(yīng)滿足能量相等的條件,用變化率的形式可以表示為

式中,q1,q2和p1,p2分別是虛擬節(jié)點(diǎn)ghostnode1在水平(x1)方向和豎直(x2)方向的位移與反力.上面的公式意味著變換前后的內(nèi)積不變,因此兩者應(yīng)滿足正交變換

在式(32)中,令p1=0,可以得到

從而可以得到虛擬節(jié)點(diǎn)ghostnode1 上的非零反力p2的表達(dá)式為

然后引入剪切應(yīng)變能,考慮RVE 模型的總變形能與作用在虛擬節(jié)點(diǎn)ghostnode2 的外力做功應(yīng)滿足守恒的條件,同樣用變化率的形式可以表示為

式中,q3,q4和p3,p4分別是虛擬節(jié)點(diǎn)ghostnode2在水平方向和豎直方向的位移與反力.同理,通過正交變換可以得到下式

1.2方法 對(duì)照組采用常規(guī)小兒肺炎對(duì)癥治療,具體措施為:幫助患兒取合適體位促進(jìn)痰液快速排出體外,確?；純汉粑〞?對(duì)患兒采取抗感染治療,靜脈滴注30-40萬U/kg/d的青霉素鈉與50mg/kg/d的頭孢唑啉,同時(shí)服用復(fù)合維B、維C與小兒止咳顆粒,體溫超38.5℃患兒需使用藥物退熱。研究組在對(duì)照組基礎(chǔ)上加用鹽酸氨溴索(江蘇漢晨藥業(yè)有限公司,國藥準(zhǔn)字H20066523)與鹽酸丙卡特羅(四川大冢制藥有限公司,國藥準(zhǔn)字H20093290)治療,用法用量:鹽酸氨溴索10-30mg/次,根據(jù)年齡調(diào)整劑量,3次/d;鹽酸丙卡特羅12.5-25μg/次,根據(jù)年齡調(diào)整劑量,2次/d,共治療1周。

在式(37)中,令p3=0,則有

此時(shí),作用在虛擬節(jié)點(diǎn)ghostnode2 的非零反力p4為

通過式(33)和式(38)的逆變換,可以得到

綜合式(41)和式(42),對(duì)虛擬節(jié)點(diǎn)自由度重新編號(hào),可以得到關(guān)聯(lián)RVE 模型宏觀變形率與虛擬節(jié)點(diǎn)位移變化率的轉(zhuǎn)換矩陣T

同理,可得RVE 模型宏觀名義應(yīng)力與虛擬節(jié)點(diǎn)反力的轉(zhuǎn)換方程

式中,q1,q2和p1,p2分別是虛擬節(jié)點(diǎn)ghostnode1在水平方向和豎直方向的位移和反力,q3和p3分別是虛擬節(jié)點(diǎn)ghostnode2 在水平方向的位移和反力.

以RVE 模型在豎直方向的宏觀名義應(yīng)力P22作為參考應(yīng)力,則可以用兩個(gè)應(yīng)力比參數(shù)來描述作用在RVE 模型上3 個(gè)宏觀應(yīng)力之間的關(guān)系

將式(45)代入式(34)和式(39),與 α1和α2相關(guān)的三角函數(shù)可以表示為

由式(43)可以得到RVE 模型在右邊界(x1=l1)的節(jié)點(diǎn)位移方程為

同理,RVE 模型在上邊界(x2=l2)的節(jié)點(diǎn)位移方程可以表達(dá)為

本文的數(shù)值仿真工作基于ABAQUS 通用有限元分析軟件平臺(tái)(版本:6.14)開展,比例加載的周期性邊界條件通過編寫ABAQUS 的用戶子程序(user subroutine) 實(shí)現(xiàn).在數(shù)值模擬中,只在虛擬節(jié)點(diǎn)ghostnode2 的水平(x1)方向施加位移載荷q3,則該方向的節(jié)點(diǎn)反力p3為非零值.當(dāng)多軸加載的應(yīng)力比參數(shù)已確定,通過式(49)即可求解得到RVE 模型在豎直(x2)方向的宏觀名義應(yīng)力

然后,通過宏觀應(yīng)力比關(guān)系就可得到加載過程中作用在RVE 模型上的其他宏觀名義應(yīng)力.

3 多軸比例加載下的周期性多孔結(jié)果斷裂行為研究

3.1 周期性多孔結(jié)構(gòu)的RVE 模型

針對(duì)周期性多孔結(jié)構(gòu),本文建立其二維RVE 模型,其中含孔單胞的數(shù)量為 2×2,尺寸為5 mm×5 mm,孔洞半徑R為 1.0mm,RVE 模型的幾何構(gòu)型如圖5 所示.其有限元模型采用四邊形平面應(yīng)變單元(CPE4)劃分網(wǎng)格,單元數(shù)為115 200,節(jié)點(diǎn)數(shù)為116 637,模型中對(duì)稱邊界上的節(jié)點(diǎn)數(shù)均為241 個(gè).

圖5 周期性多孔結(jié)構(gòu)RVE 模型的幾何構(gòu)型(單位:mm)Fig.5 Geometric configuration of the RVE model for periodic porous structures(unit:mm)

RVE 模型的裂紋彌散寬度l0=2h,其中h為模型網(wǎng)格的最小尺寸.對(duì)本文建立的模型,h=13 μm,l0=26 μm.

本文計(jì)算所用的材料拉梅彈性參數(shù)分別為λ=121.15 kN/mm2,μ=80.77 kN/mm2,臨界能量釋放率Gc=2.7 N/mm[35].計(jì)算過程中加載步長(zhǎng)固定為Δu=5 μm.

3.2 與 8×8 常規(guī)邊界條件模型的計(jì)算結(jié)果比較

為了驗(yàn)證采用比例加載周期性邊界條件后所表征的斷裂行為的正確性,本文建立了一個(gè)施加常規(guī)邊界條件的 8×8 周期性多孔結(jié)構(gòu)模型,模型下端約束豎直方向的位移,上端施加位移載荷.并與2×2的RVE 模型在單軸拉伸條件下斷裂行為的數(shù)值模擬結(jié)果相比較.

8×8周期性多孔結(jié)構(gòu)的邊界條件與幾何構(gòu)型如圖6 所示,模型下端約束豎直方向的位移,上端施加位移載荷;其孔洞半徑R為 1.0mm,有限元模型的單元數(shù)為204 800,節(jié)點(diǎn)數(shù)為210498,l0=80μm,采用的材料參數(shù)與 2×2 RVE 模型一致.

圖6 8×8 多孔模型的單軸拉伸邊界條件Fig.6 Boundary conditions for uniaxial stretch of 8×8 periodic porous model

對(duì)于2×2 RVE 模型,施加x2方向單軸拉伸載荷時(shí),應(yīng)力比 ρ1=ρ2=0.在加載過程中,作用在虛擬節(jié)點(diǎn)ghostnode2 上的非零反力p3的峰值為p3-max=86 791 N,通過式(49)可以計(jì)算得到RVE 模型在x2方向宏觀名義應(yīng)力的極值P22-max為867.91 MPa,這即是周期性多孔結(jié)構(gòu)在單軸拉伸條件下的極限強(qiáng)度.

為了驗(yàn)證 2×2 RVE 模型網(wǎng)格獨(dú)立性,本文在原有115 200單元數(shù)模型的基礎(chǔ)上,分別建立了單元數(shù)為80000和156 800的稀疏網(wǎng)格和加密網(wǎng)格模型,后兩者的最小單元尺寸分別為h=15.7 μm和h=11.2 μm,裂紋特征寬度參數(shù)依然取為l0=2h.3 組不同單元數(shù)的模型在單軸拉伸載荷下的名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖7 所示.可以發(fā)現(xiàn),3 組模型的曲線吻合度較高,極限載荷值相差極小.因此綜合考慮模型計(jì)算精度和計(jì)算成本,本文選擇單元數(shù)為115 200的 2×2 RVE模型進(jìn)行后續(xù)研究與討論.

圖7 單軸拉伸載荷下單元數(shù)分別為80000,115 200和156 800的周期性多孔結(jié)構(gòu)的2×2 RVE 模型名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線的比較Fig.7 Comparison of nominal stress-strain curves of the RVE model with 80000,115 200and 156 800elements under tensile loading condition

此外,Miehe等[32]在應(yīng)用斷裂相場(chǎng)方法時(shí),也對(duì)模型的網(wǎng)格獨(dú)立性開展了相似討論,同樣發(fā)現(xiàn)模型網(wǎng)格的疏密程度對(duì)于得到的載荷-位移曲線影響程度較小.

如圖8 所示,在單軸拉伸載荷作用下,基于2×2 RVE 模型與基于 8×8 常規(guī)模型得到的名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線吻合較好.可以發(fā)現(xiàn),兩條曲線在斷裂失效時(shí)刻的承載極限P22-max和應(yīng)變值 ε22都幾乎一致.

圖8 單軸拉伸載荷下周期性多孔結(jié)構(gòu)的 2×2 RVE 模型與 8×8 模型的名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線的比較Fig.8 Comparison of nominal stress-strain curves of the 2×2 RVE model and the 8×8 periodic porous model under uniaxial tensile loading condition

圖9 分別為周期性多孔結(jié)構(gòu)的 2×2 RVE 模型與 8×8 常規(guī)模型在施加豎直(x2)方向單軸拉伸載荷后的漸進(jìn)斷裂相場(chǎng)云圖.在相同的加載條件下,比較圖9(a)和圖9(d)、圖9(b)和圖9(e)、圖9(c)和圖9(f) 的斷裂相場(chǎng)云圖發(fā)現(xiàn),周期性多孔結(jié)構(gòu)的2×2 RVE 模型與 8×8 常規(guī)模型均是在孔邊水平位置萌生裂紋,并且裂紋均沿水平方向擴(kuò)展(φ=1 的路徑).在相同的應(yīng)變值下,兩種模型的裂紋擴(kuò)展模式基本一致.圖9(f)中模型的破壞程度不完全一致是由于,在本文所給的常規(guī)單軸拉伸載荷作用下,受邊界條件的影響,8×8 模型內(nèi)部孔洞的應(yīng)力分布與模型邊緣孔洞的應(yīng)力分布有一定的差別,模型內(nèi)部孔洞的應(yīng)力狀態(tài)更接近RVE 模型的應(yīng)力狀態(tài).8×8模型邊緣孔洞的應(yīng)力集中稍大,因此孔邊裂紋的擴(kuò)展會(huì)稍快于中間位置的孔洞.從宏觀上來看,可以認(rèn)為周期性多孔結(jié)構(gòu)的 8×8 常規(guī)模型與 2×2 RVE 模型的裂紋擴(kuò)展模式基本一致,且本文圖8 中兩組模型的名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線吻合較好.因此,采用RVE 模型研究周期性多孔結(jié)構(gòu)在復(fù)雜加載下的力學(xué)響應(yīng)及斷裂行為是有效可行的.

圖9 單軸拉伸載荷下的周期性多孔結(jié)構(gòu)的 2×2 RVE 模型與 8×8 模型的斷裂相場(chǎng)云圖Fig.9 Phase-field fracture contours of the 2×2 RVE model and 8×8 model for periodic porous structure under uniaxial tensile loading

綜上所述,本文采用基于多軸比例加載的周期性邊界條件的RVE 模型,可以正確有效模擬周期性結(jié)構(gòu)在復(fù)雜載荷作用下的力學(xué)響應(yīng),從而評(píng)估結(jié)構(gòu)的宏觀力學(xué)性能.通過典型算例驗(yàn)證,表明該多尺度分析方法與相場(chǎng)斷裂方法相結(jié)合用以研究周期性多孔結(jié)構(gòu)在多軸加載下的損傷斷裂行為具有可行性和可靠性.

3.3 雙軸比例加載下周期性多孔結(jié)構(gòu)的斷裂行為

首先考慮周期性多孔結(jié)構(gòu)在雙軸載荷作用下的斷裂行為,即令剪切應(yīng)力比 ρ2=0.以RVE 模型在豎直方向的拉伸載荷為主應(yīng)力,研究水平方向載荷的引入對(duì)多孔結(jié)構(gòu)的裂紋萌生、擴(kuò)展以及承載能力的影響.這里選取雙軸應(yīng)力比 ρ1=-1,-0.5,0,0.5,1 ;當(dāng) ρ1<0時(shí),表明在水平方向施加的是壓縮載荷.

表1 給出了當(dāng) ρ2=0時(shí),周期性多孔結(jié)構(gòu)的2×2 RVE 模型在不同雙軸應(yīng)力比 ρ1下的豎直方向的拉伸承載極限P22-max和斷裂相場(chǎng)云圖.可以發(fā)現(xiàn),RVE 模型在承受一個(gè)方向的拉伸載荷時(shí),另一個(gè)方向的拉伸載荷會(huì)提高結(jié)構(gòu)的承載能力,而另一個(gè)方向的壓縮載荷則會(huì)促進(jìn)裂紋的擴(kuò)展,降低結(jié)構(gòu)的承載能力.

表1 雙軸比例加載下的周期性多孔結(jié)構(gòu)的承載極限 P22-max 與斷裂相場(chǎng)云圖Table 1 Extreme load P22-max and phase-field fracture contours for the RVE model under biaxial proportional loading condition

值得注意的是,當(dāng) ρ1<1 時(shí),孔邊裂紋擴(kuò)展路徑保持水平.當(dāng) ρ1=1.0時(shí),模型表現(xiàn)出十字正交型裂紋擴(kuò)展模式.這是由于多孔結(jié)構(gòu)的RVE 模型具有中心對(duì)稱性,在雙軸等值拉伸載荷作用下,模型在兩個(gè)方向產(chǎn)生等量的變形,水平和豎直方向的孔邊應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)相同.因此,當(dāng)雙軸應(yīng)力比 ρ1=1.0時(shí),孔邊裂紋在水平和豎直方向同時(shí)萌生并同步擴(kuò)展.

3.4 多軸比例加載下周期性多孔結(jié)構(gòu)的斷裂行為

在3.3 節(jié)的基礎(chǔ)上,引入面內(nèi)剪切應(yīng)力,在周期性邊界條件模型中改變剪切應(yīng)力比 ρ2的取值,討論周期性多孔結(jié)構(gòu)在同時(shí)承受雙軸和剪切的復(fù)合加載下的斷裂行為.由于在面內(nèi)剪切方向上,順時(shí)針和逆時(shí)針的剪切載荷具有對(duì)稱性,為了減少計(jì)算成本,本文的P12只選取為順時(shí)針方向,并且仍以豎直方向的拉伸載荷P22為主應(yīng)力.這里,ρ2的考察范圍為[0,1],取值分別為 ρ2=0.25,0.5,0.75,1.0.

表2 給出了周期性多孔結(jié)構(gòu)的2×2 RVE 模型在不同多軸比例加載工況下的斷裂相場(chǎng)云圖.觀察表2 后可以發(fā)現(xiàn),在不同的雙軸應(yīng)力比 ρ1和剪切應(yīng)力比 ρ2組合范圍內(nèi),RVE 模型的裂紋萌生和擴(kuò)展模式存在一定的規(guī)律性.為此,歸納5 種不同的裂紋擴(kuò)展模式的表征符號(hào)和漸進(jìn)破壞的相場(chǎng)演化云圖,如表3 所示.

表2 多軸比例加載下的周期性多孔結(jié)構(gòu)的斷裂相場(chǎng)云圖Table 2 Phase-field fracture contours of periodic porous structure model under multiaxial proportional loading

表3 5 種不同裂紋擴(kuò)展模式的表征符號(hào)和漸進(jìn)破壞的斷裂相場(chǎng)云圖Table 3 Representative symbols and progressive phase-field fracture contours for the five distinguished crack propagation modes

從多孔結(jié)構(gòu)的斷裂失效模式來看,當(dāng) ρ1<0且ρ2較小時(shí),裂紋從孔兩邊對(duì)稱萌生,初始擴(kuò)展路徑與水平軸成一定的夾角,在擴(kuò)展過程中與相鄰孔邊裂紋相互靠近并最終匯合成為S 型單裂紋;當(dāng) ρ1>0且ρ2較大時(shí),孔邊裂紋萌生點(diǎn)、初始擴(kuò)展方向與水平軸的夾角進(jìn)一步增大并趨向于45°,裂紋擴(kuò)展方向隨載荷的增加逐漸轉(zhuǎn)向水平,最終擴(kuò)展至水平相鄰孔邊形成雙弧線型裂紋.

Sarac等[36]對(duì)錯(cuò)位排列的金屬玻璃異質(zhì)周期性多孔結(jié)構(gòu)施加單軸拉伸載荷,并認(rèn)為孔洞附近同時(shí)存在拉應(yīng)力和剪應(yīng)力,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示,水平相鄰的孔洞之間呈現(xiàn)雙弧線型的裂紋,并逐漸擴(kuò)展到相鄰的孔洞位置.雖材料不同,該實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文多孔結(jié)構(gòu)在相似載荷工況下的模擬結(jié)果較一致,可以認(rèn)為采用本文所提出方法得到的模擬結(jié)果是有效可信的.

圖10 錯(cuò)位排列的金屬玻璃異質(zhì)周期性多孔結(jié)構(gòu)在單軸拉伸載荷下的斷裂行為[36]Fig.10 Fracture behaviour of MG heterogeneous periodic porous structures under uniaxial tensile loading[36]

對(duì)于S 型和雙弧線型裂紋模式來說,隨著 ρ1和ρ2的增大,裂紋萌生、擴(kuò)展與水平方向的夾角均逐漸增大.當(dāng)雙軸應(yīng)力比 ρ1=1.0時(shí),施加面內(nèi)剪切載荷后,多孔結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出45°斜裂紋擴(kuò)展模式,而且剪切應(yīng)力的增大對(duì)45°斜裂紋的擴(kuò)展路徑并無顯著影響.

圖11 給出了在不同多軸加載比例下,周期性多孔結(jié)構(gòu)在豎直方向的拉伸承載極限P22-max隨應(yīng)力比ρ1和ρ2變化的曲線.曲線上的不同標(biāo)記點(diǎn)符號(hào)對(duì)應(yīng)于表3 中相應(yīng)的裂紋擴(kuò)展模式,并以黃色“×”符號(hào)表示裂紋擴(kuò)展模式的轉(zhuǎn)變點(diǎn).

從圖11 中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)雙軸應(yīng)力比 ρ1固定時(shí),隨著剪切應(yīng)力比 ρ2的增加,多孔結(jié)構(gòu)在豎直方向的拉伸承載極限顯著降低;而且,ρ1越大,承載極限下降的幅度越明顯,說明本文所研究的周期性多孔結(jié)構(gòu)的抗剪切性能較弱.

圖11 周期性多孔結(jié)構(gòu)在豎直方向的承載極限 P22-max 隨應(yīng)力比ρ1和ρ2 變化的曲線:(a)保持應(yīng)力比 ρ2 不變,(b)保持應(yīng)力比 ρ1 不變,(c)局部放大圖Fig.11 Changing curves of 2-directional extreme load P22-max withρ1 and ρ2 for periodic porous structures:(a) keep ρ2 unchanged,(b) keepρ1 unchanged and(c) partial enlarged graph

當(dāng)0<ρ2≤0.5 時(shí),隨著 ρ1由負(fù)向正增加,即橫向載荷由壓縮向拉伸狀態(tài)轉(zhuǎn)變,多孔結(jié)構(gòu)在豎直方向的拉伸承載能力呈先增加后減少的趨勢(shì);而當(dāng)0.5<ρ2≤1.0時(shí),結(jié)構(gòu)的承載極限隨 ρ1的增加而降低;說明:隨著剪切載荷的增加,其對(duì)多孔結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度的影響逐漸起到主導(dǎo)作用.

此外,當(dāng) ρ1=1.0,ρ2=0,即多孔結(jié)構(gòu)承受雙軸等量拉伸載荷時(shí),其極限承載強(qiáng)度達(dá)到最大值.

圖12 總結(jié)了周期性多孔結(jié)構(gòu)在復(fù)雜多軸比例加載范圍內(nèi)的斷裂相圖.根據(jù)表3 中所列出的5 種裂紋擴(kuò)展模式,斷裂相圖總共被劃分為5 個(gè)區(qū)域,并用黃色虛線表示斷裂模式轉(zhuǎn)變的相邊界,圖12(b)、圖12(c)和圖12(d)分別為相圖局部區(qū)域的放大圖.

圖12 周期性多孔結(jié)構(gòu)在不同多軸加載條件下的裂紋擴(kuò)展模式相圖Fig.12 Phase diagram of crack propagation mode for periodic porous structure under different multiaxial proportional loading

在雙軸和剪切載荷同時(shí)作用下,周期性多孔結(jié)構(gòu)的裂紋擴(kuò)展模式主要呈現(xiàn)為S 型與雙弧線型,且這兩種擴(kuò)展模式的分界線(即相邊界)呈近似線性.當(dāng)剪切應(yīng)力比 ρ2≤0.03 時(shí),裂紋擴(kuò)展模式由S 型向水平裂紋過渡;當(dāng)雙軸應(yīng)力比 ρ1≥0.94 時(shí),裂紋擴(kuò)展模式由雙弧線型向45°斜裂紋過渡;在ρ1≥0.95 且ρ2≤0.04的很小區(qū)域內(nèi),裂紋擴(kuò)展模式呈現(xiàn)十字正交型.

觀察圖12 可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)剪切應(yīng)力比 ρ2趨近于0時(shí),面內(nèi)剪切應(yīng)力P12相對(duì)于豎直方向的拉伸應(yīng)力P22已經(jīng)很小,可以認(rèn)為RVE 模型退化為承受豎直和水平方向的雙軸比例加載,多孔結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出水平裂紋擴(kuò)展的失效模式;同理,當(dāng)雙軸應(yīng)力比 ρ1趨近于1 時(shí),模型承受水平和豎直方向的等量加載并耦合面內(nèi)剪切加載,多孔結(jié)構(gòu)展示出45°斜裂紋擴(kuò)展的失效模式;當(dāng)作用在模型上的多軸應(yīng)力趨近于等值狀態(tài)時(shí),結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出十字正交裂紋擴(kuò)展的失效模式.

4 結(jié)論

本文建立了周期性多孔結(jié)構(gòu)的RVE 模型,采用相場(chǎng)斷裂方法結(jié)合周期性邊界條件,通過引入兩個(gè)多軸應(yīng)力比控制參數(shù),實(shí)現(xiàn)模型在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的恒定比例加載,并探究其在多軸比例加載工況下的裂紋萌生、擴(kuò)展行為和承載極限等力學(xué)問題.數(shù)值仿真結(jié)果得到如下結(jié)論.

(1)采用細(xì)觀力學(xué)方法,建立RVE 模型,施加比例加載的周期性邊界條件,可以正確表征周期性結(jié)構(gòu)的宏觀力學(xué)性能.在此基礎(chǔ)上,與相場(chǎng)斷裂方法相結(jié)合,可以有效模擬周期性多孔結(jié)構(gòu)在復(fù)雜加載條件下的斷裂行為.

(2)周期性多孔結(jié)構(gòu)在雙軸加載狀態(tài)下,剪切應(yīng)力比 ρ2=0.結(jié)構(gòu)在承受單軸拉伸載荷基礎(chǔ)上,另一個(gè)方向的拉伸載荷會(huì)提高結(jié)構(gòu)的拉伸承載能力,壓縮載荷則會(huì)降低結(jié)構(gòu)的承載能力,且雙軸加載下裂紋擴(kuò)展路徑保持水平.當(dāng)雙軸應(yīng)力比 ρ1=1.0時(shí),多孔結(jié)構(gòu)表征出十字正交裂紋的斷裂模式,這是由結(jié)構(gòu)的幾何、載荷和邊界條件的對(duì)稱性導(dǎo)致的.

(3)周期性多孔結(jié)構(gòu)在同時(shí)承受復(fù)雜多軸比例加載條件下,剪切應(yīng)力比 ρ2>0.從承載極限來看,隨著面內(nèi)剪應(yīng)力的增加,結(jié)構(gòu)的極限拉伸強(qiáng)度顯著降低,而且雙軸應(yīng)力比 ρ1越大,強(qiáng)度極限下降幅度越大;當(dāng)0<ρ2≤0.5 時(shí),隨著 ρ1增加,多孔結(jié)構(gòu)的抗拉強(qiáng)度先提高再降低;當(dāng)0.5<ρ2≤1.0時(shí),結(jié)構(gòu)的抗拉強(qiáng)度隨著 ρ1的增加而持續(xù)下降,但下降幅度不大.從裂紋萌生與擴(kuò)展行為來看,周期性多孔結(jié)構(gòu)展現(xiàn)出S 型、雙弧線型和45°斜裂紋型3 種模式;對(duì)于前兩者,ρ1和ρ2的增大時(shí),裂紋擴(kuò)展后與水平方向的夾角逐漸增大;對(duì)于后者,ρ2的增大對(duì)其裂紋擴(kuò)展路徑并無顯著影響.