深究考題思想方法比機(jī)械刷題更重要

周建玲 朱文平 周毅鴻

［摘? 要］ 歷年高考數(shù)學(xué)試題，是教學(xué)研究的最好載體，值得數(shù)學(xué)教師和學(xué)生反復(fù)揣摩，深刻領(lǐng)悟其中的內(nèi)涵和精髓，發(fā)揮以一當(dāng)十的功效，深究考題思想方法比機(jī)械刷題重要得多.

［關(guān)鍵詞］ 深究；考題；思想方法

引言

做任何事情都需要思考，做數(shù)學(xué)問題更不例外！深思高考試題，有時(shí)會(huì)給我們帶來更多的收獲和啟示：引導(dǎo)學(xué)生厘清考題思路，讓學(xué)生學(xué)會(huì)深度思考，靈活運(yùn)用各種解法比機(jī)械刷題更重要.

真題再現(xiàn)

（2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)a，b是兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2<+

考點(diǎn)分析

本題題目簡(jiǎn)潔，第（1）問是基礎(chǔ)題，起點(diǎn)低，易入手，屬于送分題，能讓考生感到人文關(guān)懷！第（2）問考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于極值點(diǎn)偏移問題（或雙變量問題），需要等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)求解.看似簡(jiǎn)單，實(shí)則不然！能夠把這個(gè)問題思考得透徹、清楚的考生少之又少，是難題！

似這種利用函數(shù)的單調(diào)性（求導(dǎo)數(shù)）來證明不等式的問題，基本方法有：

（1）把證明f（x）>k轉(zhuǎn)化為證明f（x）>k；

（2）把證明f（x）>g（x）轉(zhuǎn)化為證明f（x）-g（x）>0；

（3）把證明f（x）>g（x）轉(zhuǎn)化為證明f（x）>g（x）；

（4）把證明f（x）>g（x）轉(zhuǎn)化為證明f（x）>h（x），h（x）>g（x）；

（5）改編不等式結(jié)構(gòu)，重新構(gòu)造函數(shù)證明不等式.

解題探究

對(duì)于第（1）問，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，凡是研究函數(shù)，首先應(yīng)關(guān)注其定義域！這也是學(xué)生易出錯(cuò)的地方.

因?yàn)閒（x）=x（1-lnx）（x>0）?f′（x）= -lnx，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減. 綜上所述，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減.

對(duì)于第（2）問，因?yàn)閍≠b，a>0，b>0，于是blna-alnb=a-b兩邊同時(shí)除以ab，得lna-lnb=-?（1+lna）=（1+lnb）?

1-ln

=

1-ln

，這樣等式兩邊的結(jié)構(gòu)形式一樣了，可以構(gòu)造函數(shù)f（x）=x（1-lnx）來解決問題——回到了題干，可以利用第（1）問的相關(guān)結(jié)論解決問題，這也是命題的巧妙之處.不妨設(shè)a>b>0，若令x=，x=，則x

考慮到函數(shù)f（x）=x（1-lnx）的極大值點(diǎn)x=1，聯(lián)想到x+x>2x是極值點(diǎn)偏移問題.處理極值點(diǎn)偏移問題通常用“三大法寶”：①運(yùn)用對(duì)稱性構(gòu)造新函數(shù)；②運(yùn)用差（比）換元（消元）；③運(yùn)用對(duì)數(shù)均值不等式或指數(shù)均值不等式.本題要采用的法寶是①②.

而較精準(zhǔn)地作出函數(shù)圖像，是探究導(dǎo)數(shù)解題思路解決問題的關(guān)鍵. 根據(jù)第（1）問，可用洛比達(dá)法則和極限思想考察圖像在區(qū)間端點(diǎn)的趨勢(shì)，從而作出f（x）=x（1-lnx）的草圖. 具體處理如下：

f（x）=x（1-lnx）=

=0，f（x）=x（1-lnx）=-∞，又f（e）=0，可得f（x）=x（1-lnx）的大致圖像如圖1所示.

由f（x）=f（x）（x≠x），結(jié)合圖可知，必有0

1. 問題探究一

下面先證明不等式的左邊x+x>2成立.

方法：法寶①（運(yùn)用對(duì)稱性構(gòu)造新函數(shù)解決極值點(diǎn)），即對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)→極值點(diǎn)偏移，其本質(zhì)是利用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造差函數(shù).

要證x+x>2，即證x>2-x.因?yàn)?1，此時(shí)x>1，2-x>1都在f（x）的同一單調(diào)遞減區(qū)間（1，+∞）上. 所以要證x>2-x，等價(jià)于證f（x）0，所以φ（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，所以φ（x）<φ（1）=0. 所以不等式x+x>2成立.

點(diǎn)評(píng)：極值點(diǎn)偏移問題，在知曉函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值點(diǎn)x后，常常構(gòu)造差函數(shù)F（x）=f（x+x）-f（x-x）或F（x）=f（x）-f（2x-x），通過求導(dǎo)F′（x）判斷F（x）的單調(diào)性，得出F（x）在某區(qū)間上的正負(fù)，從而推出f（x+x）與f（x-x）或f（x）與f（2x-x）的大小關(guān)系.

需要注意的是另一種轉(zhuǎn)化形式：x+x>2?x>2-x. 因?yàn)?

①當(dāng)2-e<2-x≤0?2≤x2，顯然成立.

②當(dāng)0<2-x<1?12-x，只需證明f（x）>f（2-x）. 又f（x）=f（x），所以由等量代換得f（x）>f（2-x）. 現(xiàn)構(gòu)造差函數(shù)φ（x）=f（x）-f（2-x）（10（10（1φ（1）=0. 所以不等式x+x>2成立.

點(diǎn)評(píng)：本問留x，難度較大，而且容易產(chǎn)生問題，注意2-x要分為（2-x）∈（2-e，0］和（2-x）∈（0，1）兩種情況進(jìn)行分類討論.教學(xué)時(shí)要給學(xué)生充足的自主學(xué)習(xí)的時(shí)間與機(jī)會(huì)，以對(duì)比兩種轉(zhuǎn)化方式的優(yōu)劣，這才是真正的教學(xué)思維與思考！因留的變量不同，則難度就不同，需要仔細(xì)揣摩！

2. 問題探究二

接下來，再證明不等式的右邊x+x

方法1：要證x+xf（e-x）即可. 因?yàn)閒（x）=f（x），所以由等量代換得f（x）>f（e-x）. 現(xiàn)構(gòu)造差函數(shù)φ（x）=f（x）-f（e-x）（00（0

因?yàn)棣铡洌▁）=f′（x）+f′（e-x），真數(shù)的最大值>1. 令φ′（x）=0?x=，因?yàn)?0，φ（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（x，1）時(shí)，φ′（x）<0，φ（x）單調(diào)遞減. 所以x=x是φ（x）的極大值點(diǎn).

以下探究φ（x）在x=0與x=1兩端點(diǎn)處的函數(shù)值. 因?yàn)棣眨▁）=0，φ（1）=f（1）-f（e-1）>0，所以φ（x）=f（x）-f（e-x）>0（0

點(diǎn)評(píng)：類似極值點(diǎn)偏移問題進(jìn)行處理，使得問題得以解決.

方法2：通過類比進(jìn)行對(duì)稱化構(gòu)造.

要證x+x

①由0

②接著只需研究e-1

現(xiàn)構(gòu)造差函數(shù)φ（x）=f（x）-f（e-x）（e-10，所以φ（x）在（e-1，e）上單調(diào)遞增，所以φ（x）<φ（e）=f（e）-f（0）=0.

綜上所述，x+x

點(diǎn)評(píng)：此法運(yùn)用的是“分類討論+函數(shù)構(gòu)造”.

方法3：法寶②（運(yùn)用差或比代換消元解決極值點(diǎn)）.

由f（x）=f（x）（x≠x），設(shè)=t，因?yàn)?1，將之代入上式有x（1-lnx）=x（1-lnx）?x（1-lnx）=tx（1-lnx-lnt）?lnx=.

要證x+xln（1+t）?>，由于兩邊結(jié)構(gòu)形式一樣，于是可以構(gòu)造函數(shù)g（t）=（t>1）?g′（t）=. 令φ（t）=1--lnt（t>1）?φ′（t）=<0，所以φ（t）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以φ（t）<φ（1）=0，所以g′（t）<0，所以g（t）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（t+1）. 不等式得證.

點(diǎn)評(píng)：本法變雙變量成單變量，達(dá)到消元的目的.

方法4：兩次轉(zhuǎn)化為相同結(jié)構(gòu)，再構(gòu)造新函數(shù).

因?yàn)?①.

又f（x）=f（x）?x（1-lnx）=x（1-lnx）?=②. 由①②式代換后有>?<③.

下面構(gòu)造函數(shù)g（x）=（0p（e）=1+1-2=0，所以g′（x）>0，所以g（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增，所以g（x）

方法5：一般放縮法.

由x（1-lnx）=x（1-lnx）（x≠x），又01，所以x（1-lnx）>x，所以x+x0，所以g（x）在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，所以g（x）

點(diǎn)評(píng)：巧妙借助對(duì)數(shù)的性質(zhì)適當(dāng)放縮，簡(jiǎn)潔、漂亮！

方法6：切線放縮一.

因?yàn)檫^點(diǎn)（e，0）的函數(shù)f（x）=x（1-lnx）的切線方程為y=-x+e，先作出f（x）及其切線的大致草圖（如圖2所示），現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)g（x）=（e-x）-x（1-lnx）（1g（e）=0，即e-x>x（1-lnx）?x（1-lnx）

下面只需證明f（x）=f（x）>x即可.

令h（x）=f（x）-x=x（1-lnx）-x=-xlnx>0（0x，所以x

方法7：切線放縮二.

如圖2所示，令t=f（x），y=t與切線的交點(diǎn)為x0，則t=-x+e?x=e-t，所以x

方法8：割線放縮法.

思路簡(jiǎn)單解析如下：設(shè)f（x）=f（x）=m，由圖3可知，0

接下來構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+x（1

由第（1）問知f（x）=x（1-lnx）的極大值點(diǎn)為x=1，過點(diǎn)（0，0）和（1，1）的直線方程為y=x，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，直線y=x與直線y=m的交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），則x

構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+x（10，所以h（x）在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，所以h（x）

方法9：切線、割線夾逼思想（簡(jiǎn)稱“切線夾、割線夾”）.

切割?yuàn)A逼思想（筷子型）的簡(jiǎn)單解析：由圖4可知，因?yàn)閤

綜上可知，2<+

結(jié)束語

本題主要考查學(xué)生構(gòu)造函數(shù)及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和實(shí)踐創(chuàng)新能力是一道很好的訓(xùn)練題，教師要善于總結(jié)此類問題的解決策略，強(qiáng)化通性通法，同時(shí)也要積極探索一些高妙的思想方法，以提升學(xué)生理性的思維能力、解題能力，而不是機(jī)械刷題，只有這樣才能在較短時(shí)間內(nèi)逐步發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

作者簡(jiǎn)介：周建玲（1974—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，市骨干教師，市學(xué)科名師培養(yǎng)對(duì)象，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究工作.