于蓉蓉 惠小健 章培軍 劉小剛 尚云艷

西京學(xué)院理學(xué)院 陜西西安 710123

1 “線性代數(shù)”的課程教學(xué)現(xiàn)狀

“線性代數(shù)”作為理工與經(jīng)管類(lèi)學(xué)生必修的一門(mén)公共基礎(chǔ)課，它具有較強(qiáng)理論性、抽象性、邏輯性。

這門(mén)課程的學(xué)習(xí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、抽象思維能力、空間構(gòu)建能力、邏輯推理能力等多方面有很大學(xué)習(xí)意義。線性代數(shù)涵蓋會(huì)計(jì)學(xué)、市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)、計(jì)算機(jī)、機(jī)械制造、智能制造、土木工程等專(zhuān)業(yè)。隨著新課改對(duì)高校教育的影響，線性代數(shù)與各個(gè)學(xué)科專(zhuān)業(yè)的緊密結(jié)合改革理念備受關(guān)注。近年來(lái)，陳向勇等[1]從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)策略、教學(xué)方法等多角度研究出發(fā)，對(duì)不同專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的“線性代數(shù)”課程教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比分析，提出了不同專(zhuān)業(yè)人才培養(yǎng)的教學(xué)改革措施。王芳[2]通過(guò)精心地設(shè)計(jì)教學(xué)案例，研究“線性代數(shù)”課堂教學(xué)與專(zhuān)業(yè)相結(jié)合的教學(xué)模式，積極探索創(chuàng)新的教學(xué)內(nèi)容。

西京學(xué)院在電子信息工程、物聯(lián)網(wǎng)工程、數(shù)據(jù)科學(xué)、土木工程、工程造價(jià)、機(jī)械制造、智能制造、電氣、應(yīng)用化學(xué)、會(huì)計(jì)、審計(jì)、電子商務(wù)、市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)等專(zhuān)業(yè)設(shè)置了“線性代數(shù)”課程。從以上專(zhuān)業(yè)的學(xué)生所用的教材內(nèi)容來(lái)進(jìn)行教學(xué)現(xiàn)狀分析(表1)。

表1 理工經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)教學(xué)授課情況比較

從表1中可以看出，“線性代數(shù)”課程在理工與經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)存在教學(xué)內(nèi)容與授課班級(jí)較多的情況下，在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)課程的學(xué)時(shí)量很少，所以“線性代數(shù)”作為專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程只能側(cè)重于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念的理解、基本計(jì)算方法的掌握，在應(yīng)用理論與實(shí)際結(jié)合的能力方面還是需要一些實(shí)踐環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)。在課堂上存在計(jì)算量大、抽象強(qiáng)的知識(shí)，對(duì)于學(xué)生的空間想象與抽象思維能力方面有很大挑戰(zhàn)。本文分析了線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀過(guò)程中存在的問(wèn)題，提出應(yīng)用BOPPPS教學(xué)模式去探索教學(xué)理念過(guò)程中，能夠?qū)⒛壳暗慕虒W(xué)問(wèn)題加以解決，提升教與學(xué)的效果，不斷更新教學(xué)方法。在改革中對(duì)教學(xué)模式進(jìn)行創(chuàng)新，注重培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)參與到課堂學(xué)習(xí)的能力，構(gòu)建高效的課堂內(nèi)容設(shè)計(jì)。

2 基于雨課堂和學(xué)堂云的BOPPPS的課堂教學(xué)模式

2020年至今，國(guó)家高度重視教師課堂教學(xué)，從多個(gè)方面構(gòu)建教學(xué)平臺(tái)，豐富教學(xué)資源，鼓勵(lì)一線教師主動(dòng)對(duì)課程教學(xué)進(jìn)行改革創(chuàng)新，積極探索新的教學(xué)模式應(yīng)用到課堂教學(xué)，從而提升教學(xué)成果[3]。在開(kāi)展教學(xué)改革的過(guò)程中，數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐環(huán)節(jié)需要教師借助于現(xiàn)代化的教學(xué)方式，應(yīng)用新的教學(xué)模式來(lái)提升學(xué)生自主探究能力、思考問(wèn)題能力和創(chuàng)新能力。

2.1 BOPPPS教學(xué)模型介紹

加拿大式教育教學(xué)模型主要特征是導(dǎo)學(xué)互動(dòng)，導(dǎo)向以課程教學(xué)目標(biāo)為引領(lǐng)、以學(xué)生為教學(xué)主體地位的一種閉環(huán)教學(xué)模型[4]。這種模式包含教學(xué)過(guò)程六項(xiàng)要素，并強(qiáng)調(diào)構(gòu)成教學(xué)的六個(gè)環(huán)節(jié)的合理應(yīng)用，用開(kāi)頭字母縮寫(xiě)代稱(chēng)為BOPPPS，按順序結(jié)構(gòu)分為六個(gè)環(huán)節(jié)，依次為導(dǎo)入(Bridge-in)、目標(biāo)(Objective)、前測(cè)(Pre-assessment)、參與式學(xué)習(xí)(Participatory-learning)、后測(cè)(Post-assessment)、總結(jié)(Summary)。王之元等[5]根據(jù)Bridge-in、Objective、Pre-assessment、Participatory-learning、Post-assessment、Summary教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)模型，從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律入手，提高學(xué)生參與課堂測(cè)驗(yàn)、課堂討論的積極性，使學(xué)生能夠深刻領(lǐng)會(huì)和掌握所學(xué)知識(shí)。

2.2 雨課堂與學(xué)堂云相結(jié)合下的BOPPPS教學(xué)模型應(yīng)用

隨著各種網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)在課程教學(xué)中的應(yīng)用，劉美澤等人[6]提出雨課堂+騰訊會(huì)議+QQ班級(jí)群的混合式教學(xué)模式，構(gòu)建實(shí)時(shí)互動(dòng)教學(xué)環(huán)境來(lái)優(yōu)化教學(xué)質(zhì)量。應(yīng)用現(xiàn)代化教學(xué)工具雨課堂，能將課前、課中和課后各個(gè)環(huán)節(jié)聯(lián)系在一起，為學(xué)生建立起課堂教學(xué)內(nèi)容與課外知識(shí)的橋梁。在課前進(jìn)行學(xué)習(xí)資料發(fā)布、課堂測(cè)評(píng)、學(xué)情分析統(tǒng)計(jì)、學(xué)習(xí)過(guò)程指導(dǎo)、學(xué)習(xí)過(guò)程評(píng)價(jià)、作業(yè)信息發(fā)布公告；課堂中利用雨課堂和學(xué)員互動(dòng)，通過(guò)實(shí)時(shí)發(fā)布彈幕、留言，課中設(shè)置填空題、選擇題、主觀題，以投影的方式將授課內(nèi)容直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生；在課后利用學(xué)堂云的討論圖文模塊留言答疑，課堂實(shí)錄和重難點(diǎn)視頻分享，發(fā)布課后討論題、章節(jié)測(cè)試、班級(jí)管理、課堂內(nèi)容設(shè)計(jì)、學(xué)習(xí)成績(jī)的匯總分析、教學(xué)反饋等。最重要的是在學(xué)堂云平臺(tái)能將教師與學(xué)生所實(shí)施的教或?qū)W的活動(dòng)都完整地儲(chǔ)存在平臺(tái)上，為整個(gè)教學(xué)過(guò)程提供完整的教學(xué)數(shù)據(jù)，將整個(gè)數(shù)據(jù)過(guò)程數(shù)據(jù)化、可視化，有利于教師為教學(xué)評(píng)價(jià)建立指標(biāo)體系，改進(jìn)自身教學(xué)質(zhì)量，提供參考數(shù)據(jù)。表2中給出BOPPPS模型應(yīng)用下的現(xiàn)代化智慧工具的實(shí)施方案。

表2 雨課堂與學(xué)堂云下的BOPPPS模型實(shí)施策略

3 BOPPPS教學(xué)模式下“線性代數(shù)”課堂教學(xué)方法改革理念

“線性代數(shù)”課程課時(shí)比較短，一般設(shè)置為32學(xué)時(shí)或48學(xué)時(shí)，但是每個(gè)章節(jié)中概念、性質(zhì)以及定理比較多，公式也比較復(fù)雜，具有高度的規(guī)范性和概括性，數(shù)字符號(hào)的使用也有嚴(yán)格的規(guī)范性?，F(xiàn)在的教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容受課時(shí)限制，往往對(duì)概念、原理和模型的實(shí)際意義講的甚少。首先，弄清楚線性代數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從知識(shí)的布局去合理引用教學(xué)方法，應(yīng)用BOPPPS模型的六個(gè)環(huán)節(jié)，從而有效地促進(jìn)師生、生生之間的互動(dòng)交流，為課程教學(xué)持續(xù)改進(jìn)提供數(shù)據(jù)參考。

線性代數(shù)的知識(shí)體系主要從以下幾個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)建：

(1)導(dǎo)入：設(shè)置問(wèn)題進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，引入每節(jié)課程的教學(xué)主題。比如在講解矩陣概念時(shí)提到日常交通工具乘坐的航班路線，通過(guò)把航班路線關(guān)系用數(shù)字表示出來(lái)更直觀，進(jìn)而引入多個(gè)航班圖以數(shù)表的形式展示給大家，為引入矩陣定義打下基礎(chǔ)；講解行列式、初等變換的概念時(shí)需要引入線性方程組的求解過(guò)程，從熟悉的高斯消元法來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。通過(guò)雨課堂導(dǎo)入實(shí)際問(wèn)題的案例，與學(xué)生實(shí)際的生活或?qū)W習(xí)場(chǎng)景相結(jié)合，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性。

(2)學(xué)習(xí)目標(biāo)：每節(jié)課的重難點(diǎn)、學(xué)習(xí)內(nèi)容梳理出和后續(xù)章節(jié)的關(guān)聯(lián)，給學(xué)生建立知識(shí)結(jié)構(gòu)的思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生形成自我評(píng)價(jià)體系的學(xué)習(xí)目標(biāo)，對(duì)知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化處理。比如講解初等變化與線性方程組這一章節(jié)時(shí)，注意先講解初等變換為線性方程組求解過(guò)程打基礎(chǔ)，矩陣的秩的講解是為解的判定做鋪墊，后續(xù)理解線性方程組的無(wú)窮多解時(shí)需要學(xué)習(xí)向量組的線性相關(guān)性等內(nèi)容。

(3)預(yù)評(píng)估(前測(cè))：每個(gè)章節(jié)以學(xué)堂云發(fā)布測(cè)試為主，對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握進(jìn)行測(cè)試，形成學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和理解情況的反饋機(jī)制，及時(shí)更新教學(xué)目標(biāo)。比如在進(jìn)行行列式定義的講解時(shí)，在雨課堂發(fā)布主觀題有關(guān)二元線性方程組或三元線性方程組的求解計(jì)算問(wèn)題，檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的回顧和掌握程度，強(qiáng)調(diào)學(xué)生高斯消元步驟。

(4)參與式學(xué)習(xí)：按學(xué)生在雨課堂所回答主觀題、客觀題、填空題等數(shù)據(jù)，以及分層次提問(wèn)所進(jìn)行的小組討論，讓學(xué)生鍛煉思考、協(xié)作能力并進(jìn)行理解知識(shí)的固化。比如在講解完初等變換初等矩陣的知識(shí)后，學(xué)生接觸了高階方陣的逆矩陣的求解新方法——也就是用初等變換去做，雨課堂發(fā)布三階方陣逆矩陣的計(jì)算后觀察學(xué)生的掌握程度，讓學(xué)生展示四階方陣的逆矩陣的求法。

(5)后測(cè)：針對(duì)課堂上重難點(diǎn)和易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，在學(xué)堂云平臺(tái)設(shè)置作業(yè)練習(xí)，進(jìn)一步強(qiáng)化重難點(diǎn)知識(shí)，進(jìn)一步調(diào)整教學(xué)目標(biāo)。比如在學(xué)堂云第二章進(jìn)行線性方程組的求解過(guò)程，需要學(xué)生完成本章25道題目的內(nèi)容，有關(guān)求解過(guò)程的規(guī)范性(包含初等變換、解的判定、求解過(guò)程、解與解之間的關(guān)系等)。

(6)總結(jié)：根據(jù)學(xué)堂云的數(shù)據(jù)，掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋，總結(jié)教學(xué)內(nèi)容，并引出下一次課程的內(nèi)容，注意前后知識(shí)的銜接。比如在向量組的線性相關(guān)性與向量秩的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集后，讓學(xué)生理解極大無(wú)關(guān)向量組、矩陣與向量組的關(guān)系后引出線性方程組解的判定與結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步讓學(xué)生掌握線性方程組出現(xiàn)無(wú)窮多解的情況。

在應(yīng)用這六個(gè)環(huán)節(jié)過(guò)程中，通過(guò)強(qiáng)化線性代數(shù)的理論概念時(shí)，具體實(shí)施教學(xué)過(guò)程中綜合應(yīng)用多種方法。

首先，比如在開(kāi)展反對(duì)稱(chēng)矩陣、單位矩陣、對(duì)角矩陣、正交矩陣以及相似矩陣等概念的教學(xué)時(shí)，通過(guò)對(duì)比式對(duì)矩陣的差異和相似性進(jìn)行歸類(lèi)分析，從而形成深刻理解和認(rèn)識(shí)。其次，線性代數(shù)中存在比較多的抽象概念和計(jì)算性質(zhì)，比如，在線性方程組這章，重視知識(shí)結(jié)構(gòu)的搭建以及解結(jié)構(gòu)的判定條件，讓學(xué)生從本質(zhì)上理解極大無(wú)關(guān)組的概念，梳理前后章節(jié)的邏輯關(guān)系。最后，在六個(gè)環(huán)節(jié)的后測(cè)環(huán)節(jié)中學(xué)堂云平臺(tái)增加了MAPLE程序的實(shí)踐操作環(huán)節(jié)，運(yùn)用以矩陣為工具的程序語(yǔ)言，對(duì)線性代數(shù)中出現(xiàn)的方陣的行列式、逆矩陣、線性方程組等很多的煩瑣計(jì)算過(guò)程，在MAPLE程序中只需要簡(jiǎn)單的命令就可以得出結(jié)果。例如MAPLE命令窗口輸入det(A)、inverse(A)、genmatrix(eq，[x1，x2，x3]，‘flag’)等分別可以求出矩陣A的行列式、逆矩陣、增廣矩陣。應(yīng)用學(xué)堂云平臺(tái)可以增加實(shí)踐環(huán)節(jié)，把數(shù)學(xué)軟件作為輔助工具引入線性代數(shù)的教學(xué)中，不僅提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)去解決煩瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力。

4 總結(jié)

在數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)置的過(guò)程中，融合線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)等多個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn)，讓平時(shí)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲得優(yōu)良名次的學(xué)生，可以多學(xué)些內(nèi)容。通過(guò)這種模式的設(shè)置，篩選出有潛力的學(xué)生去參加全國(guó)的比賽，引導(dǎo)學(xué)生去形成好的探究式的學(xué)習(xí)能力，為進(jìn)一步深造學(xué)習(xí)做好鋪墊。在教學(xué)任務(wù)完成后，進(jìn)行下一次教學(xué)時(shí)，需要注意不同專(zhuān)業(yè)、不同班級(jí)的教學(xué)差異性，應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體章節(jié)的教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)用好BOPPPS模型的六個(gè)組成環(huán)節(jié)，針對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行靈活的配置使用，解決教學(xué)效果差、課堂活動(dòng)僵化的局面。教學(xué)過(guò)程中，教師可以根據(jù)環(huán)節(jié)合并，采用線上線下相結(jié)合的形式，豐富教學(xué)相長(zhǎng)的發(fā)展空間，依助于現(xiàn)代化的工具可以更好地做好教學(xué)反饋，進(jìn)一步做好教學(xué)評(píng)價(jià)，改進(jìn)教學(xué)效果。