羅漢奎

（甘肅省皋蘭縣忠和學(xué)區(qū)，甘肅 蘭州 730200）

函數(shù)是整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的巨大難點(diǎn)，但也是培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀數(shù)學(xué)思維的最好知識(shí)點(diǎn)。函數(shù)與人們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P(guān)，是數(shù)學(xué)學(xué)科與實(shí)際生活相結(jié)合最緊密的部分之一。如何幫助學(xué)生從平面的數(shù)軸走向立體的坐標(biāo)軸，培養(yǎng)立體的數(shù)學(xué)邏輯思維值得教師深入思考研究。

一、學(xué)習(xí)函數(shù)的重要性

函數(shù)思想是初中學(xué)生提高思維能力的基點(diǎn)。在初中數(shù)學(xué)階段，數(shù)學(xué)概念、法則、公式和性質(zhì)等知識(shí)都是明顯地寫在教材中，可以直觀地學(xué)習(xí)背誦的知識(shí)。但是函數(shù)的學(xué)習(xí)方法和解題辦法卻是隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系里，是客觀存在的散亂知識(shí)點(diǎn)。甚至可以說函數(shù)學(xué)習(xí)不是知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，是思維模式的學(xué)習(xí)和知識(shí)邏輯體系的建立。例如“數(shù)形結(jié)合”“集合”“極限”等問題都與函數(shù)知識(shí)相關(guān)，基本的函數(shù)思想是學(xué)生形成良好認(rèn)知基礎(chǔ)的紐帶，是知識(shí)轉(zhuǎn)化成能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)、形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵。

學(xué)生只有領(lǐng)會(huì)了函數(shù)思想和方法才能有效地應(yīng)用知識(shí)，形成動(dòng)手實(shí)踐能力。在函數(shù)教學(xué)中不應(yīng)只重視講授表層知識(shí)，而應(yīng)該注重滲透基本函數(shù)思想和方法，讓學(xué)生真正理解和掌握所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)水平脫離初級(jí)階段。

函數(shù)在日常生活的各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮巨大作用。函數(shù)可以測(cè)量建筑物或山的高度，如果知道建筑物的位置與仰角之間的距離，就可以通過計(jì)算得到建筑物的高度。比如，函數(shù)可以應(yīng)用在游戲方面，在一些賽車游戲中就需要大量運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)，當(dāng)控制賽車運(yùn)動(dòng)的角度時(shí)，需要利用三角函數(shù)時(shí)刻計(jì)算賽車當(dāng)前的位置以及運(yùn)動(dòng)的距離。函數(shù)可以應(yīng)用在航空飛行領(lǐng)域，飛行工程師需要考慮到速度、距離和方向以及風(fēng)速和風(fēng)向的關(guān)系，在飛機(jī)飛行過程中需要利用三角函數(shù)調(diào)整飛機(jī)飛行方向。函數(shù)可以應(yīng)用在犯罪刑偵學(xué)領(lǐng)域，在犯罪學(xué)中，三角函數(shù)可以幫助計(jì)算彈丸的軌跡，估計(jì)可能在車禍中造成碰撞的原因或物體墜落方向及子彈射擊角度等。函數(shù)可以應(yīng)用在天文學(xué)領(lǐng)域，在天文學(xué)中往往會(huì)使用函數(shù)計(jì)算地球到恒星之間的距離。

函數(shù)教學(xué)建立的數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中具備深遠(yuǎn)影響，不具備函數(shù)思維的學(xué)生很難在初、高中的數(shù)學(xué)領(lǐng)域獲得優(yōu)秀的學(xué)習(xí)效果。所以在初中數(shù)學(xué)階段，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思維，讓學(xué)生學(xué)好函數(shù)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是把數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活相結(jié)合的基礎(chǔ)。

二、函數(shù)教學(xué)存在的問題

（一）函數(shù)概念理解不清

函數(shù)知識(shí)最主要的特征就是抽象，在小學(xué)階段學(xué)生所學(xué)的數(shù)的知識(shí)或運(yùn)算法則等都是具體的，有實(shí)際表現(xiàn)形式的知識(shí)，但是函數(shù)是需要想象力的抽象知識(shí)，因此在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生很難理解函數(shù)的相關(guān)知識(shí)和專業(yè)用詞。很多教師在實(shí)際教學(xué)時(shí)使用的教學(xué)方式比較落后，而教師本身的教學(xué)觀念也比較落后，導(dǎo)致了學(xué)生在這一部分學(xué)習(xí)難度加大。沒有良好的函數(shù)思維導(dǎo)致學(xué)生在這一知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)時(shí)自信心受挫，逃避、厭學(xué)情緒加深，嚴(yán)重影響學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)并影響學(xué)習(xí)興趣。

初中數(shù)學(xué)在應(yīng)試教育的影響下，往往以提升成績(jī)?yōu)榍疤?，在函?shù)學(xué)習(xí)過程中以解題技巧和公式為主要傳授和教導(dǎo)重點(diǎn)，導(dǎo)致了學(xué)生不能從根本上理解函數(shù)的意義和使用方法。甚至在一些可以同時(shí)使用函數(shù)和方程式的題目面前，主動(dòng)放棄函數(shù)方式而使用方程式的方法解決問題。

（二）初中高中知識(shí)分離

初中處于義務(wù)教育的終點(diǎn)，學(xué)生和家長(zhǎng)的目標(biāo)都在于如何在“中考”拔得頭籌，選擇心儀的高中，把大量的時(shí)間和精力用在了眼前知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系上，忽略了初、高中知識(shí)的連續(xù)性。把建立思維模式的精力用在了學(xué)習(xí)解題技巧上，這樣不僅影響了初中階段學(xué)生的興趣，也影響了升入高中后學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

（三）教師教學(xué)方式陳舊

在小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，教師往往通過生活化教學(xué)或創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境等方式讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)在日常生活中的廣泛性和應(yīng)用性，因此會(huì)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。但初中階段在中考的巨大壓力下，教師忽視了多元化教學(xué)方式對(duì)提高教學(xué)效果的益處。因此教師往往采用傳統(tǒng)教學(xué)方式開展教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生難以認(rèn)識(shí)到抽象的函數(shù)與實(shí)際生活的關(guān)系，也難以認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)函數(shù)和培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思維的重要性，嚴(yán)重影響學(xué)生學(xué)習(xí)效果并抑制學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力發(fā)展。

三、初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)策略

（一）注重學(xué)生的函數(shù)基礎(chǔ)

沒有牢固的基礎(chǔ)知識(shí)就不會(huì)有延伸的思考能力和實(shí)踐能力。所以在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，教師要深挖根本，了解到學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，讓學(xué)生充分了解函數(shù)的基本概念和性質(zhì)。這些概念理解得越深刻、越穩(wěn)固，從中領(lǐng)悟到的函數(shù)思維就越本質(zhì)、越真實(shí)，形成的思維方式、養(yǎng)成的思維習(xí)慣對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展就越有根本性影響。

（二）培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性

函數(shù)這一主題的知識(shí)點(diǎn)本身比較抽象，性質(zhì)語(yǔ)言晦澀難懂，使學(xué)生在學(xué)習(xí)理解的過程中有很多困難，這也導(dǎo)致了學(xué)生對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的興趣較低甚至有抵觸情緒。想讓學(xué)生學(xué)好函數(shù)首先要調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣。教師可以把函數(shù)和實(shí)際生活相結(jié)合，把變幻無(wú)常的抽象概念從具體的實(shí)際物體和行為中解放出來，首先讓學(xué)生有一個(gè)直觀的概念然后才能發(fā)揮想象進(jìn)行分析，從而獲得良好的教學(xué)效果。例如教師可以結(jié)合“成本問題”“經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)”等問題，從學(xué)生身邊的實(shí)際情況入手，利用函數(shù)知識(shí)對(duì)最終結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，使學(xué)生能把抽象的函數(shù)知識(shí)和具體的生活事例相結(jié)合，產(chǎn)生對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的基本興趣。在實(shí)際教學(xué)的過程中，教師還需要為學(xué)生創(chuàng)造良好的教學(xué)環(huán)境，營(yíng)造平等、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生能夠做到不懂就問，從根源上避免因?yàn)榛A(chǔ)知識(shí)不牢而產(chǎn)生的思維漏洞導(dǎo)致無(wú)法建立完善的思維方式。并且可以根據(jù)討論和學(xué)生自己提出函數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用事例的方式讓學(xué)生積極參加到課堂活動(dòng)中，并在交流分享中正確認(rèn)識(shí)函數(shù)的意義、體會(huì)函數(shù)的魅力。

在進(jìn)行函數(shù)教學(xué)時(shí)，教師可以使用多媒體或動(dòng)畫等方式進(jìn)行教學(xué)，播放與函數(shù)有關(guān)的視頻、圖片等，能促進(jìn)學(xué)生集中注意力并使學(xué)生更生動(dòng)、直接地觀察到函數(shù)的相關(guān)信息，有利于提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和效率。例如“圖形的變換”（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折），使用課件可以使學(xué)生在大腦中有更直觀、更理性的認(rèn)識(shí)。而二次函數(shù)圖像的變換就更需要使用多媒體的手段進(jìn)行教學(xué)。以“拋物線平移”來說，把y=-2（x-2）2+3 向左平移3 個(gè)單位再向下平移一個(gè)單位，教師可以用多媒體進(jìn)行分步展示，讓學(xué)生直觀地觀察到平移軌跡后自己總結(jié)規(guī)律，這樣可以樹立學(xué)生的信心，激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，還在無(wú)形中把難點(diǎn)化解。

此處,ρt(u)=u(τ-I(u<0))，其定義在Koenker和Bassett(1978)的研究中有詳細(xì)說明；I(u)<0為示性函數(shù)，當(dāng){u<1}時(shí)該函數(shù)取1，否則取0。上述目標(biāo)函數(shù)無(wú)法直接用微分求解，可以采用線性規(guī)劃的辦法求解得到估計(jì)值。分位數(shù)協(xié)整模型同樣需要關(guān)注在分位數(shù)下的變量之間是否具有協(xié)整關(guān)系。Xiao(2009)基于累加和殘差(cumsum residual)給出如下的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

（三）完善函數(shù)的概念和框架，構(gòu)建完整知識(shí)體系

函數(shù)教學(xué)過程是將學(xué)生從獲取靜態(tài)知識(shí)變?yōu)楂@取動(dòng)態(tài)知識(shí)的過程。初中生在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)過程中接觸的基本都是靜態(tài)知識(shí)，形成的知識(shí)體系也大多偏向于靜態(tài)，因此在動(dòng)態(tài)知識(shí)的學(xué)習(xí)上有一定難度，教師要重視從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的過渡。函數(shù)本身有解析式、圖形、表格、拋物線等多種多樣的表現(xiàn)方式，但表現(xiàn)方式不會(huì)影響函數(shù)的最終結(jié)果，這種相對(duì)獨(dú)立又相對(duì)統(tǒng)一的表現(xiàn)方式會(huì)加大學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。教師在教學(xué)過程中可以通過主題備課的方式，把整個(gè)函數(shù)板塊進(jìn)行樹立，形成框架，強(qiáng)化知識(shí)前后聯(lián)系，提高學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)知程度。

（四）結(jié)合日常生活，重視教學(xué)實(shí)踐化

由于函數(shù)體現(xiàn)的是變量和變量之間的關(guān)系，在初中階段學(xué)生很難記憶和思考。但是如果把函數(shù)的知識(shí)和日常生活結(jié)合起來就很容易讓學(xué)生產(chǎn)生具體的聯(lián)想和明白具體變量的意思。函數(shù)在日常生活中無(wú)處不在，即使是初中階段的簡(jiǎn)單函數(shù)也有很多實(shí)際例子。例如記賬行為，教師可以培養(yǎng)學(xué)生記賬的生活習(xí)慣，不僅可以清楚函數(shù)邏輯還能養(yǎng)成良好的金錢觀念。在記賬行為中，日期是一個(gè)變量，消費(fèi)的金錢是另一變量，在月底進(jìn)行總結(jié)的時(shí)候就可以用函數(shù)的思維和圖形獲得最終答案。又如在天氣明媚的情況下，教師可以通過開關(guān)教室門向?qū)W生提問：“老師開門的過程中，陽(yáng)光進(jìn)入教室的面積隨著開門角度變化而變化，這其中兩個(gè)變量都是什么？”在這兩個(gè)變量中，陽(yáng)光進(jìn)入教室的面積是因變量，而教室門拉開的角度是自變量，這樣就很容易了解函數(shù)的概念和性質(zhì)。這種淺顯、簡(jiǎn)單的問題會(huì)激發(fā)學(xué)生回答積極性和課堂參與度。通過這些簡(jiǎn)單的日常行為引導(dǎo)學(xué)生的函數(shù)思考能力會(huì)讓學(xué)生覺得函數(shù)并不遙遠(yuǎn)，也并不晦澀，從而對(duì)函數(shù)產(chǎn)生興趣，學(xué)會(huì)用函數(shù)思維思考問題。并且在引導(dǎo)過程中也鍛煉了學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力和實(shí)踐能力，以達(dá)到提高核心素養(yǎng)的最終教育目標(biāo)。

教師可以在教學(xué)過程中結(jié)合生活化實(shí)例進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到函數(shù)知識(shí)在生活中的用途，并將抽象的函數(shù)概念具體化，有效提高教學(xué)效果。例如在《二次函數(shù)》的教學(xué)過程中，教師可以創(chuàng)設(shè)購(gòu)物情境，并通過具體銷售方式提高學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解程度。比如，某購(gòu)物中心銷售品牌籃球，平均每天可售出20 個(gè)，每個(gè)可獲得利潤(rùn)50 元，夏季是運(yùn)動(dòng)旺季，購(gòu)物中心決定通過促銷的方式擴(kuò)大規(guī)模并提高銷售業(yè)績(jī)，經(jīng)問卷調(diào)查得出降價(jià)是購(gòu)物者最喜愛的促銷方式。在實(shí)施促銷過程中銷售者發(fā)現(xiàn)每個(gè)籃球每降價(jià)5 元可多售出3 個(gè)，請(qǐng)學(xué)生幫助銷售者計(jì)算每個(gè)籃球降價(jià)多少錢時(shí)可以達(dá)到盈利峰值并幫助銷售者制定合理促銷方案。教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思維進(jìn)行思考解題，在每個(gè)籃球降價(jià)X 元的情況下購(gòu)物中心每天可以多出售3X 個(gè)籃球，平均每天可售出數(shù)量為20+3X 個(gè)，每個(gè)可獲得利潤(rùn)為50-X 元，以商場(chǎng)每天盈利為A 的情況可以列出二次函數(shù)解析式A=（20+3X）（50-X），經(jīng)過計(jì)算學(xué)生可以幫助銷售者列出最合理的銷售方案，充分利用銷售旺季完成提高利潤(rùn)的經(jīng)營(yíng)目標(biāo)。

通過具體事例學(xué)生可以理解函數(shù)知識(shí)在生活中的運(yùn)用方式，并形成良好的函數(shù)思維和運(yùn)用函數(shù)思維解決實(shí)際問題的能力，有效提高教學(xué)效果和學(xué)生綜合素養(yǎng)。

（五）注重?cái)?shù)形結(jié)合的思想

借助與圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法，函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密的結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老也最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。初中數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可以分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形的聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，也是培養(yǎng)函數(shù)思想、建立立體邏輯思維的基礎(chǔ)。

函數(shù)的定義是：“函數(shù)是表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量?！边@就說明函數(shù)和圖形是不可分割、相互依存的關(guān)系。在研究函數(shù)的過程中仍然要依據(jù)函數(shù)的圖像，由圖像看性質(zhì)，由性質(zhì)看圖像，無(wú)論是函數(shù)的概念和性質(zhì)的教學(xué)都離不開圖像的身影，由此可見函數(shù)和它的圖像是不可分割的一個(gè)整體。

注重?cái)?shù)形結(jié)合的思想就是讓學(xué)生養(yǎng)成審題后先作圖的習(xí)慣。在函數(shù)概念學(xué)習(xí)中，可以借助于畫板、圖形計(jì)算器或電腦繪圖等現(xiàn)代教學(xué)工具，通過多媒體演繹函數(shù)的多種變化過程，使學(xué)生能直觀地發(fā)現(xiàn)函數(shù)的特質(zhì)從而發(fā)現(xiàn)函數(shù)的規(guī)律。在人的五感中，視覺刺激是最強(qiáng)烈的，直觀的視覺效果可以刺激學(xué)生，使其記憶更持久，理解更深刻。

（六）通過翻轉(zhuǎn)課堂等方式提高函數(shù)教學(xué)效果

初中階段學(xué)生已經(jīng)具備了良好的認(rèn)知理解能力和自主學(xué)習(xí)能力，因此教師可以通過“微課+翻轉(zhuǎn)課堂”的教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生良好的函數(shù)思維并提高教學(xué)效果。初中函數(shù)教學(xué)與其他教學(xué)內(nèi)容不同，函數(shù)是通過抽象的概念培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)合思想和思考模式。但由于學(xué)生認(rèn)知理解能力不同，對(duì)概念的理解和掌握程度不盡相同，通過課上的有限時(shí)間進(jìn)行反復(fù)講解不僅浪費(fèi)寶貴的課堂時(shí)間還會(huì)降低教學(xué)效率。教師可以通過“微課”講述函數(shù)基本概念讓學(xué)生在課前進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和思考，并帶著問題通過“翻轉(zhuǎn)課堂”進(jìn)行交流討論。通過小組間交流討論，學(xué)生可以從不同角度拓展思維方式并提高對(duì)函數(shù)概念的理解能力。通過教師的合理引導(dǎo)，學(xué)生可以形成良好的函數(shù)思維并提高運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決問題的能力，切實(shí)提高函數(shù)教學(xué)效果。

在進(jìn)行微課教學(xué)的過程中，教師可以通過簡(jiǎn)短且風(fēng)趣、幽默的教學(xué)語(yǔ)言激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生更易接受抽象、晦澀的函數(shù)概念。微課可以打破時(shí)間、空間和知識(shí)基礎(chǔ)限制，讓學(xué)生根據(jù)自身實(shí)際情況進(jìn)行多次觀看和反復(fù)學(xué)習(xí)，充分理解函數(shù)概念并形成良好的函數(shù)思維。

在構(gòu)建翻轉(zhuǎn)課堂的過程中，教師可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)分組并通過引導(dǎo)問題或生活實(shí)例讓學(xué)生進(jìn)行交流討論，在此過程中提高學(xué)生的合作交流能力，提高學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)認(rèn)識(shí)深度，并提高學(xué)生運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，有效提高函數(shù)教學(xué)效果。

優(yōu)秀教學(xué)方式多種多樣，教師可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況和所學(xué)函數(shù)內(nèi)容靈活運(yùn)用小組合作教學(xué)法、生活教學(xué)法、項(xiàng)目式教學(xué)法等教學(xué)方法，以提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)并培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思維為教學(xué)目標(biāo)開展教學(xué)活動(dòng)。

四、結(jié)語(yǔ)

鑒于函數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域和生活中的巨大作用，在提高核心素養(yǎng)的背景下，加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)勢(shì)在必行。初中函數(shù)包含了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，是平面思維到立體思維的轉(zhuǎn)變，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中比較困難。這就需要教師用多元化的教學(xué)方法刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生建立立體的數(shù)學(xué)思維，用單元化框架式的教學(xué)方式把函數(shù)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)梳理，注重前后知識(shí)的聯(lián)系和差異性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯能力，這樣才能在學(xué)習(xí)過程中達(dá)到事半功倍的效果，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中保持學(xué)習(xí)興趣和較高的學(xué)習(xí)積極性。