Simulink仿真在信號與系統(tǒng)理論教學(xué)中的應(yīng)用*

楊 宇 倪 雪 榮傳振 朱 瑩 陳 亮

（陸軍工程大學(xué) 通信工程學(xué)院 江蘇南京 210007）

“信號與系統(tǒng)”是電氣電子信息類本科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)字信號處理、通信原理等后續(xù)課程的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程。此課程中，相關(guān)理論包含大量的數(shù)學(xué)運算[1]和豐富的工程應(yīng)用，借助MATLAB/Simulink軟件仿真可以完成復(fù)雜的數(shù)值計算與分析，得到可視化的仿真結(jié)果，使得許多抽象的理論得以形象模擬，輔助完成教學(xué)中知識難點的解釋[2]，有助于加強對信號與系統(tǒng)理論的理解與應(yīng)用。

MATLAB（Matrix Laboratory，MATLAB）是由Math-Works公司推出的一款具有較強功能性和應(yīng)用性的仿真軟件。目前，其已成為信號處理、圖像處理、通信原理、自動控制等課程的常用仿真平臺。而Simulink是集成在MATLAB中的一種可視化軟件，主要采用圖形化模塊對系統(tǒng)進行模擬與仿真，具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰、仿真精細(xì)、顯示直觀、貼近實際、效率高等優(yōu)點，可實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析，故而被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、信號處理、自動控制的建模和仿真[3]。

本文選取“信號與系統(tǒng)”課程中的信號相加運算和線性時不變系統(tǒng)性質(zhì)兩個知識點，通過MATLAB Simulink 2018b對其進行仿真，直觀的仿真結(jié)果便于學(xué)生理解和掌握抽象的概念，同時也拓展了其知識。

一、線性時不變系統(tǒng)性質(zhì)的仿真

線性時不變（Linear and time invariant，LTI）系統(tǒng)具有線性和時不變性。這一特性既是教學(xué)過程中的一個重點，也是學(xué)習(xí)時的一個難點。在講授這個知識點時，除了理論講解，還要通過Simulink對RLC串聯(lián)電路的LTI性進行仿真，使學(xué)生對此性質(zhì)有了直觀印象，更有助于對其進行掌握和理解。

線性時不變系統(tǒng)主要有線性和時不變性，其線性包括齊次性和疊加性。設(shè)f（t）表示激勵，y（t）表示響應(yīng)，“→”表示系統(tǒng)的作用，則齊次性和疊加性可描述為：

齊次性：若f（t）→y（t），則kf（t）→ky（t），k為實常數(shù)。

疊加性：若f1（t）→y1（t），f2（t）→y2（t），則f1（t）+f2（t）→y1（t）+y2（t）。

綜上所述，線性性質(zhì)又可以表示為：

若f1（t）→y1（t），f2（t）→y2（t），則k1f1（t）+k2f2（t）→k1y1（t）+k2y2（t），k1和k2為實常數(shù)。

線性時不變系統(tǒng)的時不變性，可描述為：

若f（t）→y（t），則f（t-t0）→y（t-t0），t0為延時時間。

RLC串聯(lián)電路是由電容、電感、電阻和獨立電壓源串聯(lián)組成的電路，如圖1所示，其多應(yīng)用于電子諧波振蕩器、帶通或帶阻濾波器等電路中。本節(jié)通過Simulink仿真零狀態(tài)條件下RLC串聯(lián)電路的線性和時不變性。

圖1 RLC串聯(lián)電路

假設(shè)圖1電路中的開關(guān)在t＜0 false時一直處于斷開狀態(tài)，且電容和電感均無初始儲能，其中電阻R=5Ω，電容C=0.5F，電感L=1H。電壓源us（t）為輸入，電流i（t）為輸出。在t=0時開關(guān)閉合，則t＞0時，電路的數(shù)學(xué)模型為：

根據(jù)式（1），可建立此RLC電路的Simulink仿真模型，進而建立驗證RLC串聯(lián)電路線性時不變性的仿真模型，如圖2所示。在此模型中，通過step模塊生成單位階躍信號u（t）與u（t-6）分別作為兩個子系統(tǒng)的輸入，再利用Gain模塊和Add模塊生成2u（t）+4u（t-6）輸入到第三個子系統(tǒng)中，最后調(diào)用Scope模塊顯示三個子系統(tǒng)的輸入和輸出波形。

圖2 RLC串聯(lián)回路LTI性仿真模型

運行此模型后，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 RLC串聯(lián)電路LTI性仿真結(jié)果

圖3（a）和（b）是信號u（t）和u（t-6）的波形，圖3（d）和（e）是它們分別通過系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)，可以看出u（t-6）的響應(yīng)是將u（t）的響應(yīng)右移了6個單位，此仿真結(jié)果顯示了圖1電路具有時不變性。圖3（c）和（f）分別是信號2u（t）+4u（t-6）及其通過系統(tǒng)響應(yīng)的波形，可以看出響應(yīng)波形是將u（t）響應(yīng)的幅度放大2倍，再與u（t-6）響應(yīng)的幅度放大4倍后相加，故該電路具有線性。

二、信號相加運算的仿真

信號的相加運算是信號基本運算之一。本節(jié)利用信號的相加，通過Simulink仿真雙音多頻信號的編碼，拓展學(xué)生對基本運算的理解和認(rèn)識。

信號的相加是指兩信號在相同時刻的值相加，進而得到一個新的信號。設(shè)兩個信號分別為f1（t）和f2（t），它們相加的結(jié)果為y（t），則相加可表示為：

雙音多頻（Dual-tone multifrequency，DTMF）是由貝爾實驗室開發(fā)的一種用高低兩個頻率的信號合成電話撥號音的信令表示方法。DTMF是從高頻組（1209Hz、1336Hz、1447H）和低頻組（697Hz、770Hz、852Hz、941Hz）各選取一個頻率，可生成12種組合，表示12個電話按鍵信號。比如按鍵1的電話撥號音是由頻率為1209Hz與697Hz的兩個信號合成，而按鍵9的電話撥號音是由頻率為1447Hz與852Hz的兩個信號合成。

其中，f1和f2分別表示低頻和高頻，K1和K2分別表示低頻信號幅度和高頻信號幅度，且，頻率f1和f2的誤差要小于1.5%。根據(jù)式（2）選擇高頻正弦信號與低頻正弦信號相加，即可生成DTMF信號。本文利用Simulink生成DTMF信號的仿真模型時，通過正弦信號發(fā)生器產(chǎn)生低頻組信號和高頻組信號，從高頻組與低頻組中各選取一個信號，再利用加法器將兩者相加即可生成DTMF信號，最后利用Scope和spectrump analyzer分別顯示信號時域波形和振幅譜。圖4給出了產(chǎn)生“#”鍵DTMF信號的仿真模型，即選擇低頻組941Hz與高頻組1447Hz的正弦信號輸入加法器疊加，并根據(jù)式（2）在正弦信號發(fā)生器模塊中設(shè)置941Hz信號的幅度K1=4，1447Hz信號的幅度K2=5。

圖4 Simulink合成DTMF信號仿真模型

運行Simulink仿真模型后，仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。仿真結(jié)果顯示，生成的DTMF信號時域波形和頻譜分別為輸入高頻和低頻信號的時域波形疊加和頻譜疊加，分別如圖5第3幅圖和圖6第3幅圖所示。

圖5 Simulink生成“#”DTMF信號波形

圖6 Simulink生成“#”DTMF信號頻譜

通過切換圖4中高頻組與低頻組的開關(guān)，選取不同的高低頻率組合，即可獲得其他按鍵的信號波形和頻譜。此仿真直觀地從時域和頻域展示了信號相加運算的應(yīng)用。

結(jié)語

本文通過Simulink利用信號相加運算仿真了DTMF信號的生成，利用RLC串聯(lián)電路的s域模型驗證了其線性和時不變性。Simulink仿真的引入，將晦澀的理論知識具體化、形象化，在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性的同時，加深了學(xué)生對知識的理解與掌握，更提高了學(xué)生的動手能力和獨立解決問題的能力，達到了提高教學(xué)效果和學(xué)生學(xué)習(xí)效率的目的。