第6章 一次函數(shù)

組稿團(tuán)隊(duì)：南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)

領(lǐng)銜人：丁建生

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，而一次函數(shù)是最基本的一種常見函數(shù)。同學(xué)們要想學(xué)懂、學(xué)通、學(xué)透這一章內(nèi)容，就應(yīng)該從數(shù)學(xué)思想方法的角度去學(xué)習(xí)概念、性質(zhì)及應(yīng)用，恰似我們登山時(shí)，只有站在高處，才能看到更美麗的風(fēng)景。只有理解并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，我們才能真正體會(huì)到知識(shí)間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

一、用對(duì)應(yīng)思想來理解函數(shù)概念

對(duì)應(yīng)思想是指在兩類事物（集合）之間建立某種聯(lián)系（或某種規(guī)律）的思維方法。教材中關(guān)于函數(shù)的定義本身就帶有“對(duì)應(yīng)”二字，強(qiáng)調(diào)y對(duì)應(yīng)著x。如y=x2中，每一個(gè)x，都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，顯然y是x的函數(shù)，反過來x不是y的函數(shù)，如y=1時(shí)，x有兩個(gè)值1或-1。

函數(shù)中反映兩個(gè)變量“對(duì)應(yīng)”的方式有列表、圖像、表達(dá)式等三種，這就決定了函數(shù)的三種表示形式，即列表法、圖像法、表達(dá)式法。

另外，函數(shù)的自變量是有取值范圍的。如對(duì)于函數(shù)y=20-2x，x的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但我們?nèi)绻x予式子實(shí)際背景“等腰三角形周長(zhǎng)為20cm，底邊y與腰x之間的表達(dá)式為y=20-2x”，這時(shí)x的取值范圍就變成了5＜x＜10，對(duì)應(yīng)的y的取值范圍為0＜y＜10。因此，自變量取值范圍應(yīng)是函數(shù)定義的一部分，否則就無法“對(duì)應(yīng)”了。

二、用數(shù)形結(jié)合思想來掌握函數(shù)性質(zhì)

數(shù)形結(jié)合是指將數(shù)與形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究、解決問題的一種思想方法。在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以用有序數(shù)對(duì)（a，b）來表示函數(shù)圖像上的點(diǎn)P（形），根據(jù)函數(shù)表達(dá)式（數(shù)），通過列表、描點(diǎn)、連線，就能畫出函數(shù)的圖像。在一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）中，k的值決定了函數(shù)的傾斜方向和增減性；b的值決定了直線與y軸交點(diǎn)的位置；k和b一起確定了直線的位置（經(jīng)過哪些象限）。反過來，根據(jù)直線（形）的增減性和位置，就能知道k、b的符號(hào)。

在本章乃至今后各種函數(shù)的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要能看圖、識(shí)圖、用圖，在圖形中尋找、收集明顯或隱含的信息，將數(shù)與形結(jié)合起來，正確且迅速地解決相關(guān)問題，進(jìn)一步理解并掌握函數(shù)的性質(zhì)。

三、用待定系數(shù)法確定函數(shù)表達(dá)式

待定系數(shù)法本質(zhì)上就是根據(jù)條件建立關(guān)于待定系數(shù)（字母）的方程（組），進(jìn)而求出系數(shù)（字母）。如一次函數(shù)的自變量的取值范圍是-3≤x≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5≤y≤-2，求這個(gè)函數(shù)表達(dá)式。解決此問題首先設(shè)一次函數(shù)為y=kx+b，根據(jù)自變量和函數(shù)值的取值范圍以及一次函數(shù)的增減性，應(yīng)分兩種情況列出關(guān)于k、b的方程（組）：（1）當(dāng)x=-3，y=-5；x=6，y=-2時(shí)，得-3k+b=-5，6x+b=-2；（2）當(dāng)x=-3，y=-2；x=6，y=-5時(shí)，得-3k+b=-2，6x+b=-5。解兩個(gè)方程組即可分別求出k、b，進(jìn)而求出函數(shù)表達(dá)式。

四、用建模思想來解決函數(shù)應(yīng)用問題

我們?cè)谘芯棵恳粋€(gè)函數(shù)時(shí)，都是按照“函數(shù)定義→函數(shù)圖像與性質(zhì)→函數(shù)應(yīng)用”的思路進(jìn)行的。在解決一次函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，我們要樹立建模意識(shí)，經(jīng)歷“實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→一次函數(shù)問題”的過程。

例如，有A、B、C三種寬帶收費(fèi)方式（如表1）。問：選取哪種方式能節(jié)省上網(wǎng)費(fèi)用？

在比較并選擇方案時(shí)，我們往往需要從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行分析，而對(duì)于涉及變量的問題，常用函數(shù)來解決。在收費(fèi)方式A、B中，上網(wǎng)時(shí)間是影響上網(wǎng)費(fèi)用的變量；在方式C中，上網(wǎng)費(fèi)用是常量。設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為xh，方案A、B、C的收費(fèi)金額分別為y1、y2、y3。如果我們選取A的上網(wǎng)方式，當(dāng)0≤x≤25時(shí)，y1=30；當(dāng)x＞25時(shí)，y1=30+0.05×60（x-25）=3x-45。如果我們選取B的上網(wǎng)方式，當(dāng)0≤x≤50時(shí)，y2=50；當(dāng)x＞50時(shí)，y2=50+0.08×60（x-50）=4.8x-190。如果我們選取C的上網(wǎng)方式，在x≥0的條件下，y3=120。此時(shí)我們?cè)俜智闆r討論y1、y2、y3的大小關(guān)系，得出最省錢的情況。這樣的計(jì)算過程會(huì)很煩瑣，但是如果我們根據(jù)函數(shù)表達(dá)式在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y1、y2、y3的圖像，那么答案就很直觀了。同學(xué)們可以自己嘗試畫一下。

五、用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化來融合“三個(gè)一次”

我們?cè)趯W(xué)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)要用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想來審視一次函數(shù)與二元一次方程（組）、一元一次方程和一元一次不等式之間的關(guān)系。

例如，對(duì)于2x+y-1=0，若我們從方程的角度看，它就是二元一次方程，有無數(shù)個(gè)解；若從函數(shù)的角度看，該式子可改寫為“標(biāo)準(zhǔn)”的一次函數(shù)形式y(tǒng)=-2x+1，直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)；若從兩者的聯(lián)系角度看，它們本質(zhì)上是一樣的，方程的任何一個(gè)解就是圖像上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，而圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程的解。因此，二元一次方程組的解就是對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，這就是為什么求兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)就轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式組成的方程組的解。再如，已知一次函數(shù)y=-2x+1，當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0（y=0或y＜0）？我們不難列出不等式-2x+1＞0（-2x+1=0或-2x+1＜0），此時(shí)一次函數(shù)的問題就變成了解不等式問題。反過來，從函數(shù)角度看，解不等式-2x+1＞0（-2x+1=0或-2x+1＜0）就相當(dāng)于求一次函數(shù)y=-2x+1的函數(shù)值大于0（等于0或者小于0）時(shí)自變量x的取值范圍。在掌握了一次函數(shù)與方程和不等式之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化后，我們?cè)僭囈辉囘@一道題：若關(guān)于x的一次函數(shù)y1=（a2+1）x+m與y2=a2x-2n交于點(diǎn)（1，3），求不等式（a2+1）x+m＜a2x-2n的解集。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們要不斷領(lǐng)悟、提煉、總結(jié)知識(shí)背后蘊(yùn)含的方法，這樣才能看到更美麗的數(shù)學(xué)“風(fēng)景”。

（作者單位：南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)）