王娜

【摘要】為進一步提升三角函數(shù)單元教學中教師的教學質(zhì)量和學生的學習效果，文章基于APOS理論，以三角函數(shù)單元中的重難點知識“弧度制”為例，按照APOS理論框架下“活動、程序、對象、圖式”四個階段展開循序漸進的教學.根據(jù)教學完成后對學生進行的課后測試結(jié)果可知，APOS理論下的教學方法對于提高學生知識掌握能力有著較為重要的作用，故有必要對該理論及其方法做進一步的研究和推廣應用.

【關鍵詞】APOS理論；三角函數(shù)；數(shù)學教學

引 言

近年來，隨著核心素養(yǎng)等新興教育理念的不斷滲透，中學數(shù)學教學迎來了一定的創(chuàng)新發(fā)展，但在這一進程中仍存在較多的難題，其中三角函數(shù)單元的教學就是一個典型.三角函數(shù)單元的抽象性較突出，且是高考中的一個主要內(nèi)容，其教學難度頗高，以往的教學模式難以確保學生掌握其精髓.為有效解決這個問題，教師就需要引入APOS理論，基于該理論對教學方法進行創(chuàng)新，確保學生能夠更好地掌握此章節(jié)知識，全面提升數(shù)學能力.

一、APOS理論概述

APOS理論是美國數(shù)學家杜賓斯基在自反抽象理論上進一步研究得出的.該理論指出，學生想要真正掌握數(shù)學概念的本質(zhì)，就必須在學習過程中逐步建立適當?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，才能達到預期目標.具體來看，建立適當心智結(jié)構(gòu)的過程主要包括以下四個階段：第一階段（Action）：此階段又稱為“活動階段”，即教師讓學生通過參加各種實踐或思維活動初步了解數(shù)學概念的起源，對數(shù)學概念進行初步感知；第二階段（Process）：此階段又稱為“過程階段”，即當學生熟悉前一階段的活動后，這種活動就內(nèi)化為一種心理操作，形成一種類似于條件反射的行為；第三階段（Object）：又稱為“對象階段”，此階段主要是對已掌握的概念進行壓縮和解構(gòu)，對應“學以致用”；第四階段（Schema）：是“圖式階段”，即學生將前面所學內(nèi)容進行整合，構(gòu)成一個知識體系，并準確把握其外延和相關概念的區(qū)別與聯(lián)系.

二、APOS理論下的三角函數(shù)單元教學策略———以“弧度制”為例

（一）課前準備階段

為確保課堂教學的高效性，課前準備是必不可少的.在此階段的工作中，教師主要應結(jié)合學生情況對教學內(nèi)容進行分析.學生在以往的學習中以“角度制”內(nèi)容為主，且這些內(nèi)容已經(jīng)在學生大腦中“先入為主”，這導致很多學生在理解“弧度制”這一新知識時感到困難.因此，如何引入“弧度制”這一概念就是教學的難點，教師也應當圍繞這一難點問題展開教學.

（二）活動階段

由于大多數(shù)學生對于弧度制較為陌生，因此，在活動階段，教師要通過設置合理的探究問題讓學生一步步了解弧度制的本質(zhì)，即“用角所對應的弧長與半徑的比來衡量一個角的大小”，此時引出弧度制的概念便水到渠成.在此環(huán)節(jié)中，教師列舉的案例應當本著從特殊到一般的順序，且確保這些案例是可操作的，不能急于求成.

此環(huán)節(jié)的案例列舉如下.

首先，由教師在黑板上畫出幾何圖形，如圖1所示.

根據(jù)此圖，教師向?qū)W生提問：“除了通過角度數(shù)來衡量角α的大小，能否用其他方式來表示該角的大??？用劣弧AB的長度是否可行？”學生在思考后會回答：“不能，因為劣弧AB的長度會隨圓半徑的增大而增大，是不確定的數(shù)值.”由此，教師進一步指出：“剛才同學們的回答很正確，接下來我們換一個角度思考.就剛才同學們的結(jié)論，我們能否用弧AB的長度與圓半徑的比值來描述角α的值呢？”由此，教師在黑板上畫出另一個圖形（如圖2所示）.

在學生總結(jié)出任意角條件下該比值的計算公式后，教師即可引入“弧度制”的概念，指出剛才所做的工作即是弧度制發(fā)展過程中的一部分，然后對弧度制的起源和發(fā)展以及弧度制的優(yōu)勢進行簡要講解，以加深學生對于弧度制的理解.

（三）過程階段

在過程階段，其主要目的是讓學生對弧度制的概念有更為發(fā)散的理解，從而為后續(xù)角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換學習打好基礎.此環(huán)節(jié)教師主要應讓學生重復已有的操作過程，逐步加深對弧度制的理解.具體來看，此環(huán)節(jié)可通過以下案例逐步深入.

首先，教師提問：“剛才我們已經(jīng)初步了解了弧度制的概念，我們在以往的學習中接觸過一些常見的角度，如30°，45°，60°，90°和180°等，那么你們能否快速寫出這些角度對應的弧度值嗎？”對于該問題，學生的反應速度較快，能夠快速寫出正確答案.而后，教師繼續(xù)提問：“大家的答案都是正確的.接下來我們加大難度，哪名同學可以作圖表示出1弧度所代表的角度？”由此，教師引導學生作圖表示，學生可大致畫出圖形（如圖3所示）.

根據(jù)此圖，教師即可提出弧度制的定義方式，先說出該圖中的數(shù)量關系“該角度對應的弧長為1個半徑”，在此基礎上，按照上述環(huán)節(jié)進一步作出2弧度和3弧度所對應的角度值，讓學生直觀理解要求弧度值，只需已知弧長和半徑，二者之比即為所求.

（四）對象階段

在弧度制教學的“對象階段”，其主要目的是讓學生理解角度和弧度之間的轉(zhuǎn)換關系，讓學生掌握將弧度制看作一個數(shù)學對象進行換算的操作方法.為達到這一目的，教師可通過以下案例進行教學.

（五）圖式階段

圖式階段主要是讓學生將所學到的知識及時應用到實際問題解決當中，通過這種方式加深學生對所學知識的記憶和理解，避免機械記憶帶來的低效率或是遺忘等問題.在這一階段，教師需要引入實際問題讓學生將所學知識予以應用.

具體來看，在此環(huán)節(jié)中，教師可應用以下案例進行圖式階段的教學.

當學生推導出上述答案后，教師要趁熱打鐵，讓學生將所推導出的公式進行實際應用.因此，教師提問：“大家推導出的結(jié)果是正確的.下面讓我們來看這樣一道題：若已知某扇形的圓心角為2rad，且半徑為2，請同學們利用剛才推導出的公式計算該扇形的弧長和面積.”由此，學生可直接將相關數(shù)據(jù)代入推導出的公式當中，快速算出最終答案.從實際情況來看，雖然教師提出的這個問題難度較低，但其對于加深學生對所學知識的記憶和理解有著突出的作用.此時，學生對于本節(jié)課所學的“弧度制”的相關內(nèi)容已經(jīng)更為熟知，能夠?qū)⑦@些內(nèi)容作為一個知識點納入自己既有的知識體系當中.在認知層面上，多數(shù)學生已經(jīng)進入初步的圖式階段.當然，以上階段的教學還不能完全滿足要求，為此，教師在課程結(jié)束后還要布置適當?shù)恼n后作業(yè)，讓學生在解決三角函數(shù)的相關問題過程中運用弧度制知識，使其進一步加深對弧度制的理解.

三、APOS理論下的三角函數(shù)單元教學實施效果

為驗證基于APOS理論的三角函數(shù)單元教學實施效果，在本節(jié)關于“弧度制”的課程講解結(jié)束后，教師可布置一定數(shù)量的課后習題，這些習題要涵蓋活動階段、程序階段、對象階段和圖式階段所學習的相關知識點，在學生自主解答完這些習題后，教師進行批改.

由于本次APOS理論僅面向一個教學班進行了實踐，因此同時收集另外一個平行班的課后測試結(jié)果進行了對比分析，分析結(jié)果如表1所示.

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)變化可知，實驗組在APOS的四個階段中，前兩個階段的數(shù)據(jù)較為平穩(wěn)，從第三階段開始呈現(xiàn)遞減趨勢，這表明大部分學生對于本節(jié)所學知識的掌握程度可達到程序階段，而從程序階段向?qū)ο箅A段的轉(zhuǎn)變對于一部分數(shù)學基礎較差的學生而言存在較大難度.從另一角度分析，實驗組在各個階段的得分率均明顯高于對照組，這初步證明了基于APOS理論進行教學能夠取得更大的成效.

為進一步印證學生基于APOS理論方法的學習取得了更大的進步，筆者隨機抽查了三名學生針對課后作業(yè)第一題“請簡單說明一下什么是弧度制”的答案，抽查發(fā)現(xiàn)，三名學生對于此題給出的答案存在一定的差異，學生甲回答：“把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，記作1rad.”學生乙回答：“1弧度是作為單位來度量角的單位制.”學生丙回答：“把圓分成等長于圓半徑的弧的所對角.”相對而言，學生甲的回答最接近準確的定義方式，而學生乙和丙的回答不夠嚴謹、規(guī)范，但也從自己的角度指出對弧度制的認識.整體來看，通過本次教學，大多數(shù)學生對于弧度制的概念都有了較為深刻的理解和認知，這對于其在三角函數(shù)的學習上有一定的推動作用，同時印證了本次基于APOS理論開展課堂教學的有效性.

結(jié) 語

APOS理論對于三角函數(shù)單元教學有著積極的指導價值，這一理論不僅深度契合學生學習過程的客觀規(guī)律，也為教師教學提供了更具實效性的方案.通過應用APOS的理念和方法開展教學，教師的教學效率和學生的學習質(zhì)量均得到顯著提升，學生課后作業(yè)的成績可印證這一結(jié)論.由此可見，應用APOS理論的現(xiàn)實意義較為突出，可在今后的中學數(shù)學教學工作中進一步推廣.

【參考文獻】

[1]施琦.“APOS”理論下幾何概念教學的實踐探索：以蘇教版數(shù)學第一學段為例[J].小學教學研究，2022（13）：36-38.

[2]張云輝，周遠方.APOS理論指導下的概念起始課教學：以函數(shù)概念起始課教學實踐為例[J].中國數(shù)學教育，2022（6）：51-54.

[3]曹毅.基于APOS理論的“函數(shù)的概念”教學設計[J].中學教研（數(shù)學），2022（2）：6-8.