沈勇 董家齊 何宏達(dá) 潘衛(wèi) 郝廣周

1)(核工業(yè)西南物理研究院,成都 610041)

2)(浙江大學(xué)聚變理論與模擬中心,杭州 310027)

為了探索等離子體磁流體力學(xué)(MHD)不穩(wěn)定性的導(dǎo)體壁效應(yīng)以及壁設(shè)計(jì)思想,研究了基于HL-2A 托卡馬克偏濾器位形的、自由邊界和多種形式的理想導(dǎo)體壁條件下的等離子體MHD 不穩(wěn)定性與裝置MHD 運(yùn)行β 極限.在穩(wěn)定性計(jì)算中,考慮的是n=1 扭曲模,該模對(duì)托卡馬克等離子體MHD 不穩(wěn)定性有決定性的影響.研究著眼于驗(yàn)證多種形狀導(dǎo)體壁抑制內(nèi)、外扭曲模的有效性,觀察運(yùn)行β 極限的變化,并討論分析相關(guān)物理.研究發(fā)現(xiàn)在離等離子體適當(dāng)距離處放置一個(gè)理想導(dǎo)體壁,可有效抑制外扭曲模.在壁與等離子體表面的平均距離相同、且足夠小的條件下,圓截面壁并不一定是最佳選擇,設(shè)置一個(gè)經(jīng)過(guò)優(yōu)化的多邊形導(dǎo)體壁能更有效地抑制MHD 不穩(wěn)定性,它使本裝置的理想MHD 運(yùn)行β 極限βN 提高到2.73,比自由邊界條件下(即假設(shè)壁設(shè)置在無(wú)窮遠(yuǎn)處的)裝置的運(yùn)行β 極限值(～ 2.56)提高了約6.5%.這暗示需要根據(jù)有拉長(zhǎng)、有變形的等離子體的極向截面形狀,優(yōu)化制作一個(gè)離等離子體表面平均距離盡可能近的多邊形導(dǎo)體壁,才能取得抑制外扭曲模、提高β 極限的最佳效果.

1 引言

為了實(shí)現(xiàn)聚變點(diǎn)火目標(biāo),建成一個(gè)經(jīng)濟(jì)、小巧的受控聚變反應(yīng)堆,第一步工作需要實(shí)現(xiàn)高β托卡馬克穩(wěn)態(tài)運(yùn)行[1?4].這里定義其中,P是等離子體壓強(qiáng),B是環(huán)向磁場(chǎng),a是等離子體柱小半徑,μ0代表真空磁導(dǎo)率,r是積分變量.但是,由于磁流體力學(xué)(MHD)不穩(wěn)定性作用,托卡馬克所能達(dá)到的最大β值受限,因此研究MHD不穩(wěn)定性成為一個(gè)重要課題[5,6].內(nèi)、外扭曲模是托卡馬克中最危險(xiǎn)的理想磁流體不穩(wěn)定擾動(dòng),與先進(jìn)托卡馬克運(yùn)行的關(guān)系非常密切[7?10].因?yàn)榕c氣球模[11,12]、撕裂模[13]等相比較,扭曲模對(duì)等離子體運(yùn)行β極限施加了更加嚴(yán)格的限制[14].

一般用歸一化等離子體電流來(lái)對(duì)最大穩(wěn)定β進(jìn)行定標(biāo),稱(chēng)為T(mén)royon 定標(biāo)[15,16],定標(biāo)關(guān)系式為β(max)Cβ/(I/aB),其中I表示等離子體電流(單位:MA).小半徑a與磁場(chǎng)B的單位分別是m和T.通過(guò)優(yōu)化等離子體剖面使等離子體發(fā)生形變[1],以及優(yōu)化穩(wěn)定性、輸運(yùn)和優(yōu)化偏濾器運(yùn)行等措施[17]可提高運(yùn)行β,實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)放電[2].有些放電如HL-2A 裝置彈丸注入中空電流型放電的β低,但存在中心負(fù)磁剪切位形和內(nèi)部輸運(yùn)壘[18,19].2006 年,Garofaro等[20]討論了通過(guò)內(nèi)部輸運(yùn)壘和中心負(fù)磁磁剪切來(lái)實(shí)現(xiàn)可持續(xù)的高β放電.在上述問(wèn)題中,人們關(guān)注的重點(diǎn)是改進(jìn)MHD 穩(wěn)定性[21?23].大量的研究結(jié)果還表明,如果在離等離子體中心1.5 倍小半徑遠(yuǎn)處放置一個(gè)導(dǎo)電壁,從而使n=1 扭曲模穩(wěn)定化的話,則此扭曲模極限比氣球模極限更小;當(dāng)壁的放置距離更短時(shí),預(yù)計(jì)可提高運(yùn)行β極限.許多實(shí)驗(yàn)的部分真空容器都能滿(mǎn)足這個(gè)條件,盡管這些容器顯然不是理想導(dǎo)體壁,而是有電阻的.作為抑制MHD 不穩(wěn)定性的一個(gè)選項(xiàng),人們對(duì)電阻壁抑制MHD 不穩(wěn)定性的作用進(jìn)行了大量研究[6,24?27],其結(jié)果實(shí)際上可以無(wú)限漸近理想壁下的結(jié)果.

文獻(xiàn)[28]研究了基于自由邊界的HL-2A 裝置理想MHD 運(yùn)行β極限.據(jù)分析,本裝置的歸一化理想運(yùn)行β極限約為2.56.在HL-2A 裝置的升級(jí)改造中,曾有一種考慮是在鄰近等離子體外側(cè)放置一個(gè)銅殼.由于有限電阻壁的存在,輔以等離子體旋轉(zhuǎn)和反饋控制等手段,能有效地抑制等離子體中外扭曲模的發(fā)展,從而提高裝置運(yùn)行中可達(dá)到的最大運(yùn)行β值.而理想導(dǎo)體壁是電阻壁的理想情形,在電阻壁模發(fā)展的開(kāi)始階段,以及在采取反饋控制措施后等離子體所能達(dá)到的最好狀態(tài),都與理想導(dǎo)體壁條件下的等離子體的發(fā)展?fàn)顩r近乎相同.所以,研究理想導(dǎo)體壁條件下等離子體及其扭曲模的發(fā)展有重要意義,可為裝置的改造比如兼作導(dǎo)體壁的托卡馬克真空室壁的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論借鑒,并為隨后的實(shí)驗(yàn)安排提供有價(jià)值的參考參數(shù).基于此,本文對(duì)HL-2A 裝置的理想壁條件下的MHD不穩(wěn)定性和運(yùn)行β極限進(jìn)行了模擬研究.研究著眼于驗(yàn)證多種形狀導(dǎo)體壁抑制內(nèi)、外扭曲模的有效性,觀察運(yùn)行β極限的變化,并討論分析相關(guān)物理.

2 導(dǎo)體壁概略設(shè)計(jì)及MHD 不穩(wěn)定性模擬

2.1 導(dǎo)體壁概略設(shè)計(jì)

我們選用HL-2A 裝置的一炮典型的偏濾器放電,即第2895 次放電的位形參數(shù)作為基準(zhǔn)參考數(shù)據(jù),設(shè)置了自由邊界(即等離子體外沒(méi)有導(dǎo)體壁)和理想導(dǎo)體壁(共有4 種)這兩種條件.通過(guò)調(diào)整偏濾器線圈電流值,利用EFIT 代碼[29,30],計(jì)算軸安全因子q0約小于 1和約大于 1 時(shí)的放電平衡位形,即分別取q00.95和 1.05、而βp取不同值時(shí)的放電位形.然后利用GATO 代碼[31]計(jì)算每種平衡的MHD 不穩(wěn)定性,包括計(jì)算線性增長(zhǎng)率等MHD參數(shù).以MHD 平衡與穩(wěn)定性數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),展開(kāi)本文的研究工作.這里所設(shè)計(jì)的導(dǎo)體壁形狀及其與等離子體的位置關(guān)系如圖1 所示.

圖1 (a)HL-2A 托卡馬克極向截面圖,包括等離子體分界面(紅線),限制器(黑線),HL-2A 真空室壁(深藍(lán)線),以及擬設(shè)新導(dǎo)體壁(淡藍(lán)線);預(yù)設(shè)4 種導(dǎo)體壁,概略圖包含(b)原壁,(c)圓截面壁,(d)多邊形壁,以及(e)優(yōu)化多邊形壁Fig.1.(a)Scheme of the poloidal cross-section of HL-2A Tokamak,including plasma separatrix(red line),limiter(black line),HL-2A vacuum chamber wall(dark blue line),and proposed new conductive wall(light blue line).Four kinds of conductive walls are preset,and the sketch is as follows:(b)Original wall,(c)circular section wall,(d)polygonal wall,and(e)optimized polygonal wall.

圖1(a)是HL-2A 托卡馬克與等離子體極向截面圖,分別展示了HL-2A 真空室壁、限制器(limiter)和等離子體分界面(plasma separatrix)幾何位形,給出了擬設(shè)新導(dǎo)體壁幾何位置示意圖.隨后給出了擬預(yù)設(shè)的4 種壁,即以HL-2A 真空空室壁用作導(dǎo)體壁,圓截面壁,距等離子體表面平均距離較近的多邊形壁,以及平均距離更小、與圓截面壁接近的、優(yōu)化了的多邊形導(dǎo)體壁,分別如圖1(b)—(e)所示.本文將對(duì)比分析自由邊界與有壁等離子體,特別地,將對(duì)4 種形式理想導(dǎo)體壁在扭曲模穩(wěn)定化中的作用及其機(jī)理進(jìn)行研究.

2.2 扭曲模結(jié)構(gòu)

在HL-2A 裝置實(shí)驗(yàn)中,正常的L 模放電參數(shù)一般為軸安全因子q0大約在 1.0左右,極向比壓βp約為 0.2到 1.5 之間.需要特別說(shuō)明的是,為突出扭曲模形態(tài)與理想導(dǎo)體壁效應(yīng),本文研究中βp取值比常規(guī)實(shí)驗(yàn)放電中的要大,概略設(shè)計(jì)的壁在幾何尺寸方面與裝置壁可能也會(huì)有些差異.在計(jì)算運(yùn)行β極限時(shí),雖然實(shí)際實(shí)驗(yàn)中尚不能達(dá)到如此高的“上限”比壓,但仍需要取盡可能大的βp值.這里先試取q01.05,βp0.45,等離子體主要參數(shù)為:等離子體電流Ip0.245MA,環(huán)向場(chǎng)Bt2.13 T,等離子體大半徑R≈1.65m,小半徑r≈0.4 m,利用第2895 次放電的基本的磁探針信號(hào)值以及偏濾器線圈、垂直場(chǎng)和水平線圈的電流值,用EFIT 進(jìn)行平衡計(jì)算,得到一個(gè)正常的偏濾器位形,如圖2(a)所示.這里,偏濾器線圈電流值如下:上部線圈電流都取 0,下部線圈電流IMP1,IMP2,IMP3和IMC分別取20.00,22.78,22.78 和2.00 kA,垂直場(chǎng)線圈電流IVF(A)取25.8 kA,水平場(chǎng)線圈電流IRF取 0.2 kA.隨后,再取q01.05和βp2 時(shí),保持等離子體電流和環(huán)向磁場(chǎng)不變,調(diào)整上述偏濾器線圈電流及垂直場(chǎng)和水平場(chǎng)線圈電流值,計(jì)算所得平衡位形如圖2(b)所示.由于βp值較大,所以磁軸中心較明顯地向外側(cè)偏移,但這對(duì)我們的分析工作沒(méi)有明顯影響.這也是一個(gè)典型的偏濾器型位形,在隨后用GATO 代碼進(jìn)行的穩(wěn)定性計(jì)算中,得到βp2 時(shí)的安全因子剖面如圖2(c)所示.

圖2 q0=1.05,(a)βp=0.45時(shí)與(b)βp=2.00時(shí)的平衡位形;(c)βp=2 時(shí),GATO 計(jì)算的安全因子(q)剖面(由圖2(a)與圖2(b)對(duì)比得知,βp 越大,等離子體Shafranov 位移越大)Fig.2.Whenq0=1.05,the equilibrium configuration of(a)βp=0.45and(b)βp=2.00,and(c)the safety factor(q)profile calculated by GATO atβp=2(According to the comparison between Fig.2(a)and Fig.2(b),the larger theβp,the larger the plasma Shafranov displacement).

利用類(lèi)似方法處理q00.95,βp0.45 和2.00的情況,可用EFIT 計(jì)算得到相應(yīng)的MHD 平衡位形,然后用GATO 計(jì)算相應(yīng)平衡的MHD 不穩(wěn)定性,結(jié)果見(jiàn)圖3.圖3 表示當(dāng)q00.95時(shí),βp0.45和2.00 時(shí)扭曲模的極向投影與對(duì)應(yīng)模徑向擾動(dòng)X ≡ξ·?ψ/|?ψ|的傅里葉分解圖,其中ξ代表等離子體擾動(dòng),ψ是極向磁通量.由圖3(a)—(d)可見(jiàn),q0＜1 時(shí),最強(qiáng)的擾動(dòng)位移出現(xiàn)在等離子體中心.最不穩(wěn)定的是m=1 內(nèi)扭曲模,其對(duì)擾動(dòng)的貢獻(xiàn)占支配地位.圖3(c)和圖3(d)進(jìn)一步表明,當(dāng)βp2.5時(shí),m2,3,4,···各分支模都較充分地發(fā)展起來(lái)了,除了等離子體芯部不穩(wěn)定外,等離子體邊緣部分也變得不穩(wěn)定.圖3(d)顯示出諧波n1,m2對(duì)應(yīng)的是內(nèi)模,而諧波m7 對(duì)應(yīng)邊緣不穩(wěn)定模.

圖3 q0=0.95時(shí),較低βp與較高βp時(shí)模的極向投影與對(duì)應(yīng)模徑向擾動(dòng)X 的傅里葉分解結(jié)果(a),(b)βp=0.45;(c),(d)βp=2.5Fig.3.Whenq0=0.95,the poloidal projection of the mode and the Fourier decomposition of the radial perturbation of the corresponding modeX at lowerβpand higherβp:(a),(b)βp=0.45;(c),(d)βp=2.5 .

同樣地,可以計(jì)算自由邊界條件下,參數(shù)q01.05,βp0.45,2.0,2.3和 2.5 時(shí)的MHD 平衡及其不穩(wěn)定性,如圖4 所示.從圖4(a)和圖4(c)及對(duì)應(yīng)的特征值λ(≡(iγ)2/-γ2/)(γA是阿爾芬時(shí)間的倒數(shù))可見(jiàn),在βp0.45和 2.00 時(shí),等離子體是穩(wěn)定的,但在q2 磁面處有些許擾動(dòng).從圖4(b)和圖4(d)的傅里葉分析結(jié)果圖來(lái)看,這些擾動(dòng)只局限于該磁面的很窄區(qū)域,且屬于內(nèi)模;這樣,在增長(zhǎng)率γ很小時(shí),內(nèi)模不會(huì)造成等離子體不穩(wěn)定.由圖4(e)可見(jiàn),當(dāng)βp2.3 時(shí),等離子體不穩(wěn)定,因?yàn)槠涮卣髦祙λ|≡＞10-4.當(dāng)βp2.5時(shí),等離子體也是不穩(wěn)定的,且其增長(zhǎng)率相對(duì)βp2.3的來(lái)說(shuō)更大.從圖4(f)和圖4(h)所示相應(yīng)模的傅里葉分析結(jié)果來(lái)看,不穩(wěn)定性模式是n1,m1,2,3,4,5,···的多諧波扭曲模.隨著βp的繼續(xù)增大,增長(zhǎng)率越來(lái)越高,等離子體的宏觀不穩(wěn)定性越來(lái)越嚴(yán)重,必須對(duì)外扭曲模加以抑制,否則放電將很快發(fā)生大破裂.

圖4 q0=1.05,自由邊界條件下,模位移矢量在極向平面的投影及擾動(dòng)位移徑向分量X 的傅里葉分解結(jié)果圖(a),(b)βp=0.45,q95=4.37,λ=-0.4492×10-7;(c),(d)βp=2,q95=5.35,λ=-0.1247×10-6;(e),(f)βp=2.3,q95=5.67,λ=-0.1198×10-3;(g),(h)βp=2.5,q95=5.80,λ=-0.4774×10-3Fig.4.Whenq0=1.05,the projection of the mode displacement vector on the poloidal plane and the radial component of Fourier decomposition of the perturbationX :(a),(b)βp=0.45,q95=4.37,λ=-0.4492×10-7;(c),(d)βp=2,q95=5.35,λ=-0.1247×10-6;(e),(f)βp=2.3,q95=5.67,λ=-0.1198×10-3;(g),(h)βp=2.5,q95=5.80,λ=-0.4774×10-3 .

然后,我們?cè)陔x等離子體適當(dāng)近距離處放置一個(gè)優(yōu)化了形狀的導(dǎo)體壁,并假定這是一個(gè)完全導(dǎo)電的理想導(dǎo)體壁.當(dāng)q01.05 時(shí),在優(yōu)化理想導(dǎo)體壁條件下,等離子體與壁的位置關(guān)系如圖5(a)所示.當(dāng)βp2.3和 2.5 時(shí),擾動(dòng)位移在極向平面的投影和徑向擾動(dòng)X的傅里葉分解圖分別如圖5(b)—(d)所示.根據(jù)圖4 與圖5 的數(shù)值結(jié)果對(duì)比,我們發(fā)現(xiàn)在自由邊界條件與理想導(dǎo)體壁條件下,等離子體安全因子剖面與最后一個(gè)閉合磁面安全因子的95%值(即q95值)是相近的.這說(shuō)明不管是否放置導(dǎo)體壁,同等參數(shù)條件下的等離子體其形狀和磁面結(jié)構(gòu)都是相似的.首先比較圖4(e)和圖5(b),發(fā)現(xiàn)在βp2.3 時(shí)放置理想導(dǎo)體壁后,等離子體由不穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)橥耆€(wěn)定狀態(tài),其外扭曲模被抑制到不致破壞等離子體宏觀穩(wěn)定性的程度.

圖5 (a)優(yōu)化理想導(dǎo)體壁條件下等離子體與壁的位置關(guān)系;(b)βp=2.3,q95=5.67,λ=-0.1418×10-5和(c)βp=2.5,q95=5.8,λ=-0.4985×10-4時(shí),擾動(dòng)位移在極向平面的投影;(d)βp=2.5,q0=1.05 情形下徑向擾動(dòng)X 的傅里葉分解圖Fig.5.(a)Under the condition of the ideal optimized conductive wall,the position relationship between plasma and wall;(b)the projection of perturbation displacement on the polar plane whenβp=2.3,q95=5.67,λ=-0.1418×10-5and(c)βp=2.5,q95=5.8,λ=-0.4985×10-4;(d)Fourier decomposition diagram of radial perturbationX whenβp=2.5,q0=1.05 .

進(jìn)一步比較圖4(e)和圖5(b),以及圖4(g)和圖5(c),發(fā)現(xiàn)放置理想導(dǎo)體壁后,特征值絕對(duì)值|λ|各降低了90%,即不穩(wěn)定性增長(zhǎng)率已經(jīng)降低到無(wú)壁時(shí)的30%左右,可見(jiàn)在高βp時(shí),理想導(dǎo)體壁對(duì)外扭曲模的穩(wěn)定作用是十分顯著的.比較圖4(f)和圖5(d)可見(jiàn),有壁條件下扭曲模擾動(dòng)中,各次諧波(m1,2,3,4,···)的振幅也降低了約30%,說(shuō)明MHD 不穩(wěn)定性擾動(dòng)受到明顯抑制.

2.3 導(dǎo)體壁作用與扭曲模狀態(tài)變化

為研究導(dǎo)體壁與扭曲模狀態(tài)變化的關(guān)系,選取βp2.5這種高βp案例進(jìn)行對(duì)比分析,以展現(xiàn)各種概略設(shè)計(jì)導(dǎo)體壁對(duì)扭曲模的抑制作用.

圖6 給出了自由邊界與各種壁條件下等離子體的幾何位置及位形,同時(shí)給出q00.95與 1.05 時(shí)模的極向截面投影及計(jì)算的模特征值λ.觀察該圖,發(fā)現(xiàn)壁對(duì)內(nèi)扭曲模幾乎沒(méi)有抑制作用.事實(shí)上,將圖6(b2)—(e2)分別與圖6(a2)進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),q00.95時(shí),最主要的不穩(wěn)定性就是m1內(nèi)扭曲模,各案例的特征值絕對(duì)值|λ|～O(10-3),等離子體均始終處于不穩(wěn)定狀態(tài).導(dǎo)體壁的存在,僅使增長(zhǎng)率僅有微小降低,這來(lái)自于導(dǎo)體壁對(duì)外扭曲模的部分抑制,而(q00.95 時(shí))對(duì)不穩(wěn)定性貢獻(xiàn)最大的內(nèi)扭曲模幾乎沒(méi)有受到抑制.

圖6 自由邊界與各種壁條件下等離子體的幾何位置及位形,其中(a1)自由邊界位形,(b1)原壁位形,(c1)圓截面壁位形,(d1)多邊形壁位形,(e1)優(yōu)化壁位形;在各種位形下,q0=0.95(圖(a2)—(e2))與1.05(圖(a3)—(e3))時(shí)模的極向截面投影和對(duì)應(yīng)的模特征值λ,其中(a2)λ=-0.2162×10-2;(a3)λ=-0.4774×10-3;(b2)λ=-0.2162×10-2;(b3)λ=-0.4315×10-3 ;(c2)λ=-0.1846×10-2;(c3)λ=-0.1991×10-3;(d2)λ=-0.1761×10-2;(d3)λ=-0.7246×10-4;(e2)λ=-0.1727×10-2;(e3)λ=-0.4985×10-4Fig.6.Geometry and configuration of plasma under free boundary and various wall conditions:(a1)Free boundary configuration;(b1)original wall configuration;(c1)circular section wall configuration;(d1)polygonal wall configuration;(e1)optimized wall configuration.For each configuration,the poloidal projection of the mode is given respectively atq0=0.95(panel(a2)—(e2))and 1.05(panel(a3)—(e3)),and the corresponding mode eigenvaluesλ are given under the projection diagrams:(a2)λ=-0.2162×10-2;(a3)λ=-0.4774×10-3;(b2)λ=-0.2162×10-2;(b3)λ=-0.4315×10-3;(c2)λ=-0.1846×10-2 ;(c3)λ=-0.1991× 10-3;(d2)λ=-0.1761×10-2;(d3)λ=-0.7246×10-4;(e2)λ=-0.1727×10-2;(e3)λ=-0.4985×10-4 .

理想壁抑制外扭曲模的效果卻是明顯的.在自由邊界位形下,如圖6(a3)所示,當(dāng)q01.05 時(shí),特征值λ-0.4774×10-3,等離子體處于MHD 不穩(wěn)定狀態(tài).當(dāng)將原壁看作導(dǎo)體壁時(shí),如圖6(b3)所示,特征值λ-0.4315×10-3,增長(zhǎng)率有極微弱的減少,等離子體仍是不穩(wěn)定的.這是由于壁距離等離子體表面太遠(yuǎn),壁的存在對(duì)等離子體MHD 不穩(wěn)定性?xún)H有微弱影響.如圖6(d3)所示,當(dāng)設(shè)置靠近等離子體的多邊形壁在q0＞1 時(shí)的特征值為-0.7246×10-4,等離子體達(dá)到臨界穩(wěn)定,體現(xiàn)出壁對(duì)外扭曲模有明顯抑制作用,說(shuō)明當(dāng)βp很大(如本例中βp2.5)時(shí),這種多邊形壁的作用可使等離子體從自由邊界位形時(shí)的不穩(wěn)定變?yōu)榕R界穩(wěn)定.進(jìn)一步優(yōu)化壁的位置,使壁離等離子體邊界的平均距離更近,應(yīng)用由此所得到的優(yōu)化壁,如圖6(e3)所示,結(jié)果特征值λ-0.4985×10-4,相較于多邊形壁,此時(shí)增長(zhǎng)率降低幅度更大,說(shuō)明其有更好的穩(wěn)定化效果.而當(dāng)取圓截面壁時(shí),如圖6(c3)所示,計(jì)算的特征值λ-0.1991×10-3,扭曲模增長(zhǎng)率減小明顯,但等離子體仍處于不穩(wěn)定狀態(tài);說(shuō)明圓截面壁不是最佳選擇.這是由于這里選定的常規(guī)等離子體極向截面不是圓形截面.從平均距離來(lái)看,多邊形狀更貼近等離子體極向截面形式.多邊形狀還有利于等離子體的拉長(zhǎng)與形變,后者可進(jìn)一步改善MHD 不穩(wěn)定性,提高運(yùn)行β.

3 MHD 不穩(wěn)定性強(qiáng)度分析

表1 和表2 分別列出當(dāng)q00.95和 1.05 時(shí),在各種邊界條件(包括自由邊界和各種理想導(dǎo)體壁條件)下計(jì)算的MHD 不穩(wěn)定性特征值λ.其中,圓截面壁與一般多邊形壁條件下的結(jié)果只給出了部分值.表1與表2 中列出的是GATO 計(jì)算的相應(yīng)q0和βp值下的模特征值若特征值|λ|≤10-5時(shí),視為穩(wěn)定;|λ|＞10-4時(shí),視為不穩(wěn)定;10-5＜|λ|≤10-4時(shí),視為臨界穩(wěn)定.

表1 q0=0.95 時(shí),自由邊界條件下以及各種形狀理想壁條件下計(jì)算的模特征值Table 1.Eigenvalues calculated under free boundary and ideal wall conditions whenq0=0.95 .

綜合分析表1 和表2,有四個(gè)重要結(jié)果.一是q0的作用:當(dāng)βp?2.14,q01.05 時(shí),所有案例中的等離子體都是MHD 穩(wěn)定;而當(dāng)q00.95 時(shí),等離子體卻始終處于MHD 不穩(wěn)定狀態(tài).這是由于q0＜1時(shí),等離子體存在不穩(wěn)定的內(nèi)扭曲模.當(dāng)q0＞1時(shí),內(nèi)扭曲模被穩(wěn)定化,而βp較低時(shí)外扭曲模也不強(qiáng),不足以引起等離子體MHD 不穩(wěn)定性.二是βp的作 用:當(dāng)βp進(jìn)一步增高到?2.39 時(shí),q00.95與 1.05 這兩種案例的自由邊界等離子體增長(zhǎng)率都急劇增加,使等離子體處于強(qiáng)的不穩(wěn)定狀態(tài).三是壁的作用:分析表1 可見(jiàn),當(dāng)q00.95,βp?2.14時(shí),不穩(wěn)定性主要為內(nèi)扭曲模,理想壁對(duì)增長(zhǎng)率的降低作用極小;當(dāng)βp＞2.14 時(shí),壁對(duì)穩(wěn)定化作用效果有所顯現(xiàn),但也不大.再次說(shuō)明導(dǎo)體壁對(duì)內(nèi)扭曲模幾乎沒(méi)有抑制作用.當(dāng)q0＞1 時(shí),安置導(dǎo)體壁后,不穩(wěn)定性增長(zhǎng)率都受到抑制,特別是當(dāng)壁離等離子體表面的平均距離越小,壁的穩(wěn)定化作用越強(qiáng).四是在導(dǎo)體壁的作用下,等離子體運(yùn)行β極限會(huì)有所提高.下面著重分析第四點(diǎn).

表2 q0=1.05 時(shí),各種條件下計(jì)算的模特征值Table 2.Eigenvalues calculated under different conditions whenq0=1.05 .

托卡馬克運(yùn)行β極限取值原則是選取以外扭曲模為主的MHD 不穩(wěn)定性增長(zhǎng)率 ?10-5,同時(shí)以?xún)?nèi)扭曲模為主的MHD 不穩(wěn)定性開(kāi)始急速增長(zhǎng)處的β值.圖7 給出GATO 計(jì)算的特征值(歸一化增長(zhǎng)率)隨βp的變化關(guān)系.可見(jiàn),在自由邊界條件或優(yōu)化壁條件下,q00.95 時(shí)的特征值絕對(duì)值均為|λ|＞10-4,表明等離子體始終是不穩(wěn)定的.不穩(wěn)定性的根本來(lái)源是n1,m1 內(nèi)扭曲模.安置理想導(dǎo)體壁仍不能使之穩(wěn)定化.但q01.05 時(shí),安置導(dǎo)體壁前后扭曲模變化情況就不同了.

圖7 模特征值絕對(duì)值|λ|(歸一化增長(zhǎng)率)隨βp 的變化關(guān)系圖(a)自由邊界位形條件;(b)優(yōu)化壁條件Fig.7.Absolute value of mode eigenvalue(|λ|)variation withβp :(a)Free boundary configuration;(b)the condition of optimized wall.

在自由邊界條件下,當(dāng)βp較低(?2.14)時(shí),外扭曲模被完全抑制,等離子體呈MHD 穩(wěn)定.當(dāng)βp＞2.14后,外扭曲模增長(zhǎng)起來(lái),特征值|λ|超過(guò)10-5,等離子體進(jìn)入MHD 不穩(wěn)定狀態(tài);而在此時(shí),圖7(a)虛線所示的q00.95 參數(shù)下內(nèi)扭曲模也開(kāi)始快速增長(zhǎng).因此,運(yùn)行βp臨界值為βp,N2.14,對(duì)應(yīng)運(yùn)行β極限βN2.56[28].另一方面,安置優(yōu)化導(dǎo)體壁后,在βp?2.39時(shí),在q01.05 下優(yōu)化壁的存在可使等離子體穩(wěn)定化.當(dāng)βp＞2.39 后,未被充分抑制的外扭曲模開(kāi)始加強(qiáng),特征值|λ|＞10-5,使等離子體進(jìn)入MHD 不穩(wěn)定狀態(tài).同時(shí),如圖7(b)虛線所示,此時(shí)在q00.95 參數(shù)下的內(nèi)扭曲模增長(zhǎng)率也開(kāi)始快速增大.這樣,通過(guò)計(jì)算得到,此處βp,N2.39,運(yùn)行β極限βN≈2.73;βN值較自由邊界條件時(shí)(即假設(shè)壁設(shè)置在無(wú)窮遠(yuǎn)處)提高了約6.5%.

綜上所述,如果在等離子體外適當(dāng)距離處放置一個(gè)理想導(dǎo)體壁,那么特征值(相應(yīng)地,等離子體MHD 不穩(wěn)定性線性增長(zhǎng)率)明顯降低,外扭曲模受到部分抑制.不穩(wěn)定性增長(zhǎng)率降低率的大小與理想壁的形狀和位置有著密切的關(guān)系.導(dǎo)體壁要明顯發(fā)揮作用的條件是:壁必須放置在離等離子體中心達(dá)小半徑的 1.5 倍遠(yuǎn)處之內(nèi).HL-2A 原壁整體上基本不滿(mǎn)足這個(gè)條件.但該壁的左右兩側(cè)離等離子體較近,處于 1.5 倍小半徑的范圍內(nèi),故在考慮原壁為導(dǎo)體壁后,增長(zhǎng)率還是有一點(diǎn)點(diǎn)降低.

理想導(dǎo)體壁抑制扭曲模具有一定規(guī)律.從βp?2開(kāi)始,隨著βp的增加,加壁后增長(zhǎng)率降低的比例在增大,這也許是由于βp越大,則等離子體小半徑越大(這不僅能從平衡位形的對(duì)比中看出來(lái),還可以從EFIT 運(yùn)行結(jié)果文件中給出的小半徑數(shù)據(jù)直接對(duì)比得出).安放導(dǎo)體壁的一個(gè)好處在于可以使當(dāng)βp達(dá)到較高(βp?2)以后,不穩(wěn)定性的發(fā)展速度變得慢一些,從而為用反饋手段控制不穩(wěn)定性爭(zhēng)取時(shí)間,所以從這方面看,加導(dǎo)體壁對(duì)q0＜1 的放電還是有一定意義.對(duì)q0＞1,發(fā)現(xiàn)有破裂趨勢(shì)可采用反饋控制,如調(diào)整電流剖面等使外扭曲模穩(wěn)定化.

4 壁作用物理相關(guān)問(wèn)題討論

我們從等離子體基礎(chǔ)理論[23]出發(fā),討論導(dǎo)體壁作用物理相關(guān)問(wèn)題.等離子體擾動(dòng)勢(shì)能可以寫(xiě)成如下表達(dá)式:

其中,ξ指等離子體擾動(dòng)位移,k是波數(shù),P0是平衡壓強(qiáng),B0代表平衡磁場(chǎng),J0代表平衡電流密度,γ代表比熱比,μ是磁導(dǎo)率,“*”號(hào)代表取復(fù)共軛.被積函數(shù)的前三項(xiàng)分別代表彎曲磁力線、壓縮流體及磁場(chǎng)、單獨(dú)壓縮流體這三者所導(dǎo)致的勢(shì)能增量,都為正值,起穩(wěn)定作用.第5 項(xiàng)是由壓強(qiáng)梯度和曲率聯(lián)合驅(qū)動(dòng)的不穩(wěn)定擾動(dòng).而第4 項(xiàng),就是由平行電流(因而B(niǎo)θ)所驅(qū)動(dòng)的解穩(wěn)項(xiàng),由此項(xiàng)產(chǎn)生的不穩(wěn)定擾動(dòng)通常稱(chēng)為扭曲模.分析此項(xiàng)可以發(fā)現(xiàn),扭曲模擾動(dòng)勢(shì)能是二階小量,與擾動(dòng)磁場(chǎng)的垂直分量B1⊥(Bθ)有關(guān),而與擾動(dòng)磁場(chǎng)的平行分量B1//無(wú)關(guān).如果能使擾動(dòng)磁場(chǎng)的垂直分量變?yōu)?0,則扭曲模就被穩(wěn)定化,因?yàn)榇藭r(shí)(1)式中的第四項(xiàng)已經(jīng)變?yōu)?0 .

我們所研究的等離子體的邊界之外有一層真空區(qū),然后被一個(gè)導(dǎo)體殼包圍.在真空區(qū),存在著擾動(dòng)磁場(chǎng)BV1,滿(mǎn)足如下方程

其外邊界條件是真空-導(dǎo)電殼條件:

其中,nW代表壁法向單位矢量.因此,真空區(qū)擾動(dòng)磁能為

真空區(qū)和磁流體的界面在柱半徑rs處,這時(shí)由平衡條件可得如下兩個(gè)連接條件:

于是,擾動(dòng)勢(shì)能的邊界項(xiàng)為

理想導(dǎo)體壁對(duì)擾動(dòng)勢(shì)能的貢獻(xiàn)體現(xiàn)在計(jì)算真空擾動(dòng)磁能時(shí)所利用的外(殼)邊界條件.具體來(lái)說(shuō),真空擾動(dòng)能如(4)式所示,利用(2)式并令BV1?φ1,可得?2φ10 .假設(shè)在柱形位形下,則可作傅里葉變換φ1(r)φ1(r)exp[i(mθ+kz)],可得柱幾何下的通解為

其中 Km和In是虛宗量貝塞爾函數(shù),而常數(shù)C1和C2由內(nèi)、外邊界條件確定.其中,在rb的外邊界(金屬殼)處有:BV1r(b)0;這導(dǎo)致(b)0,由此可定出C2.再由內(nèi)邊界(磁流體-真空)處未擾動(dòng)的平衡條件又可確定另一參數(shù)C1.然后由BV1?φ1及(4)式,即可計(jì)算出真空區(qū)外部放置有導(dǎo)體壁情況下的真空擾動(dòng)磁能 δWV.

基于上述基本原理,對(duì)理想導(dǎo)體壁對(duì)外扭曲模的穩(wěn)定化作用,可以從扭曲模導(dǎo)致等離子體內(nèi)與真空區(qū)磁場(chǎng)形變產(chǎn)生的力與能量效應(yīng)方面進(jìn)行解釋.扭曲模的發(fā)展使等離子體柱扭曲著向壁靠近時(shí),等離子體柱將擠壓真空區(qū)域的磁場(chǎng),使磁力線受到壓縮、彎曲,這時(shí)磁壓力及磁張力沿徑向的反方向的分量力將等離子體往回推.進(jìn)一步地,從能量原理角度來(lái)講[23],擾動(dòng)發(fā)生時(shí)等離子體內(nèi)部和真空區(qū)域的磁場(chǎng)都將發(fā)生相應(yīng)擾動(dòng).擾動(dòng)磁場(chǎng)包含環(huán)向、極向和徑向三個(gè)分量,其中,環(huán)向磁場(chǎng)分量B1//與徑向磁場(chǎng)分量B1r分別引起磁通在環(huán)向與徑向的改變.磁通在徑向的改變會(huì)在導(dǎo)體壁中感應(yīng)出一個(gè)個(gè)圓圈狀的小渦形電流.渦流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)可以部分地抵消擾動(dòng)磁場(chǎng)的徑向分量,造成擾動(dòng)磁場(chǎng)垂直分量減小,從而對(duì)扭曲模起到致穩(wěn)作用.

如果導(dǎo)體壁存在電阻,則只有在徑向磁通沒(méi)有穿透導(dǎo)體壁時(shí),上述壁穩(wěn)定方法才起作用.電阻壁對(duì)扭曲模的作用具體過(guò)程是:扭曲模不穩(wěn)定性使等離子體偏離中心位置向理想導(dǎo)體壁靠近時(shí),真空區(qū)域的磁場(chǎng)會(huì)受到擠壓.在開(kāi)始的毫秒量級(jí)時(shí)間內(nèi),受擠壓的磁力線的磁壓力與磁張力將把等離子體往回推,這時(shí)的壁起著理想導(dǎo)體壁的作用;但在這段很短的時(shí)間內(nèi)理想壁一般不能將扭曲模完全穩(wěn)定化.由于等離子體柱沒(méi)有完全回到中心位置,使得真空區(qū)域的磁場(chǎng)繼續(xù)受到擠壓.隨著時(shí)間的推移,受擠壓的真空磁場(chǎng)將逐漸穿透電阻壁而向外泄漏,造成真空區(qū)磁場(chǎng)逐漸減弱,作用于等離子體的磁力逐漸減小,這樣,壁的穩(wěn)定化作用逐漸減小,在若干毫秒后會(huì)完全消失.

所以,對(duì)于電阻壁,還應(yīng)當(dāng)用其他方法來(lái)穩(wěn)定平衡,通常的做法是采用主動(dòng)反饋控制方法,即在導(dǎo)電殼外表面安裝一個(gè)個(gè)小電流線圈.實(shí)驗(yàn)中,會(huì)有來(lái)自等離子體真空區(qū)域的磁場(chǎng)漏出.可以通過(guò)磁探針隨時(shí)監(jiān)測(cè)各點(diǎn)處漏磁大小,依據(jù)這些值來(lái)確定應(yīng)當(dāng)饋入各小電流圈中的電流大小.然后啟動(dòng)供電系統(tǒng)予以供電,進(jìn)行磁場(chǎng)補(bǔ)償.當(dāng)所有各點(diǎn)漏出的磁場(chǎng)都得到相應(yīng)的補(bǔ)償后,電阻壁便又可以恢復(fù)成為理想導(dǎo)體壁,通過(guò)這樣的實(shí)時(shí)控制來(lái)抑制等離子體的扭曲模.

5 結(jié)論

本文探索研究了等離子體磁流體不穩(wěn)定性的導(dǎo)體壁效應(yīng)及壁設(shè)計(jì)思想.基于HL-2A 裝置預(yù)設(shè)了4 種理想導(dǎo)體壁,即以HL-2A 真空空室壁用作導(dǎo)體壁,圓截面壁、距等離子體表面平均距離較近的多邊形壁,以及平均距離更小、與圓截面壁接近的、優(yōu)化過(guò)的多邊形導(dǎo)體壁.模擬結(jié)果顯示,加了導(dǎo)體壁后,并且假定這種壁是理想導(dǎo)電,那么壁對(duì)外扭曲模的穩(wěn)定化作用是明顯的.壁離等離子體的平均距離越近,穩(wěn)定化作用表現(xiàn)得越明顯.但壁對(duì)內(nèi)扭曲模的穩(wěn)定化作用不太明顯.優(yōu)化型壁是專(zhuān)門(mén)針對(duì)近圓形的偏濾器位形而設(shè)計(jì)的,該種壁離等離子體的平均距離是最好的,因此,與其他三種壁比較,優(yōu)化壁對(duì)外扭曲模的抑制效果最好.在這種理想導(dǎo)體壁條件下,等離子體的運(yùn)行βp極限提高到約2.39,相應(yīng)的歸一化理想MHD 運(yùn)行β極限為2.7.如果將優(yōu)化導(dǎo)體壁當(dāng)作有有限電阻的導(dǎo)體壁,那么,該壁的最大運(yùn)行β極限不會(huì)超過(guò)理想導(dǎo)體壁條件下的運(yùn)行β極限值(2.7).

理想導(dǎo)體壁是導(dǎo)體壁的理想狀態(tài).實(shí)際上置于等離子體外適當(dāng)近距離的導(dǎo)體壁都是有有限電阻的.但是,對(duì)理想導(dǎo)體壁的研究,可以給出電阻壁條件下的最優(yōu)狀態(tài),即在電阻壁下可達(dá)到的最大β值,以及在各種具體參數(shù)下的平衡位形中的扭曲?？杀粚?dǎo)體壁抑制的最大份額.研究電阻壁模,實(shí)際上就是為了無(wú)限漸近理想壁下的結(jié)果.根據(jù)研究結(jié)果,需要指出的是,當(dāng)?shù)入x子體極向截面是非圓形的時(shí),圓截面壁并不是最佳選擇;需要根據(jù)有拉長(zhǎng)、有變形的等離子體的極向截面形狀,優(yōu)化制作一個(gè)離等離子體表面平均距離盡可能近的多邊形導(dǎo)體壁,才能取得抑制外扭曲模、提高β極限的最佳效果.托卡馬克運(yùn)行β極限的提高,還可以從等離子體形狀優(yōu)化、等離子體電流密度剖面與壓強(qiáng)剖面優(yōu)化方面開(kāi)展工作.貼合所設(shè)計(jì)等離子體位形的多邊形導(dǎo)體壁也有利于等離子體拉長(zhǎng)與形變,后者可以進(jìn)一步改善MHD 不穩(wěn)定性,提高運(yùn)行β.