高考試題中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的融入
——以“數(shù)列”專題為例

劉凱月 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

數(shù)學(xué)建模主要指從現(xiàn)實(shí)問題情景出發(fā)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并進(jìn)而解決問題的素養(yǎng)[1]，即從現(xiàn)實(shí)問題中選取研究對象，將其中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號，尋找對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，探索更簡單快捷的解題方法.這一素養(yǎng)考查學(xué)生的邏輯思維、動手實(shí)踐、舉一反三等綜合能力，故與其他幾大核心素養(yǎng)密切相關(guān)，因此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)及能力在日常教學(xué)中十分重要[2].

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出數(shù)列不僅是一種特殊的函數(shù)，而且是研究其他類型函數(shù)的工具，日常生活中也處處體現(xiàn)著數(shù)列的應(yīng)用，如貸款、人口增長等，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理等素養(yǎng)起著十分重要的作用[3].因此本文關(guān)注數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在數(shù)列中的融入，并期望為之后的考查及評價(jià)提供若干建議.

1 高考試題分析

本文選取了近五年(2018—2022年)高考數(shù)學(xué)試題，包括全國甲卷(文數(shù)、理數(shù))、全國乙卷(文數(shù)、理數(shù))、新高考I卷、新高考II卷、北京卷、天津卷、浙江卷、上海卷、江蘇卷、全國I卷(文數(shù)、理數(shù))、全國II卷(文數(shù)、理數(shù))、全國III卷(文數(shù)、理數(shù))共59套高考數(shù)學(xué)試題(其中2020年加入新高考I、II卷，2021年全國I、II、III卷改為全國甲、乙卷，江蘇卷改用全國I卷)，分析這些高考試卷中數(shù)列試題的內(nèi)容及分布，考查其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

1.1 試題分布

根據(jù)上述對數(shù)學(xué)建模的定義，對近五年高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行初步分析，對這些試題中融入數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的數(shù)列試題按題型、考點(diǎn)、分值、建模背景等信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)葉立軍[4]對高中數(shù)學(xué)教材的研究，將試題中所涉及的數(shù)學(xué)建模背景分為日常生活、數(shù)學(xué)文化和科學(xué)背景三類.2018—2022年共59套高考數(shù)學(xué)試題中共有10道數(shù)列題目，試題信息如表1所示.可以看出，這些試題主要分布在選擇題中，在填空題和解答題中出現(xiàn)得較少，分值大部分都較低.三種數(shù)學(xué)建模背景類型分布較為均衡，涉及的領(lǐng)域較多，表明數(shù)列應(yīng)用之廣.同時(shí)不難發(fā)現(xiàn)，隨著年份的增長，數(shù)學(xué)建模融入數(shù)列專題的考查也逐漸增多，表明對該方面的關(guān)注有所提升.

表1 2018—2022年高考數(shù)學(xué)試題中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)指導(dǎo)下的數(shù)列試題相關(guān)信息

1.2 考點(diǎn)分布

上述10道數(shù)列題目考查的內(nèi)容相對均衡，主要集中在以下幾個考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)、性質(zhì)、求和公式，等比數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列列舉，周期性數(shù)列，數(shù)列求和的綜合運(yùn)用.其中有四道題目考查等差數(shù)列的相關(guān)知識，三道題目考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，四道題目涉及一般數(shù)列的知識，如列舉、周期及求和.10道題目中大部分屬于基礎(chǔ)題，多出現(xiàn)于選擇題第3-6題，少數(shù)為中高檔題目，如2021年上海卷解答題第19題、2021年新高考I卷填空題第16題.

1.3 數(shù)學(xué)建模背景

為了探討不同高考試題考查的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的水平層次，本文根據(jù)喻平[5]的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價(jià)框架，并結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[3]中有關(guān)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的介紹，參考葉德偉[6]等人對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的編碼，確定了本文的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平編碼表，如表2所示.

1.4 數(shù)學(xué)建模水平

根據(jù)表2確定的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平編碼表，本文對上述10道題目進(jìn)行編碼，統(tǒng)計(jì)各個水平中融入數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題數(shù)量.其中，統(tǒng)計(jì)的試題數(shù)量與學(xué)生實(shí)際作答的任務(wù)量相對應(yīng)，而非題號.例如，2021年上海卷解答題第19題共有2小題，試題數(shù)量記作2.編碼過程由兩位數(shù)學(xué)教育專業(yè)研究生一起完成，首先二人分別獨(dú)立編碼，后經(jīng)過討論并參考導(dǎo)師意見，確定各個題目的編碼情況，詳細(xì)編碼如表3所示.

表2 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平編碼表

表3 高考試題中各水平數(shù)學(xué)建模試題數(shù)量

從表3可以看出，融入數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的高考數(shù)列試題著重考查學(xué)生的知識遷移能力，即學(xué)生能否發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而選擇合適的模型來解決這些常規(guī)性問題；而對知識理解和知識創(chuàng)新水平的考查較少，說明對學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決非常規(guī)問題的考查較弱.

2 命題角度及思路分析

2.1 日常生活

數(shù)學(xué)應(yīng)用于我們?nèi)粘Ｉ畹脑S多方面，比如營業(yè)額、排序等，學(xué)生可以將日常生活中的現(xiàn)實(shí)問題構(gòu)建成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言來描述，用數(shù)學(xué)視角去觀察，進(jìn)而尋找合適的數(shù)學(xué)模型來解決，以此體會數(shù)學(xué)融入生活的現(xiàn)實(shí)意義，提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

例1(2021年上海卷第19題)已知某企業(yè)2021年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，以后每個季度的營業(yè)額比上個季度增加0.05億元，該企業(yè)第一季度的利潤為0.16億，以后每季度比前一季度增長4%.

(1)求2021年起前20季度營業(yè)額的總和；

(2)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%？

評析本題為數(shù)學(xué)融入社會生活應(yīng)用題，以求企業(yè)前20季度營業(yè)額之和及利潤為背景，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)與我們生活息息相關(guān).第(1)問考查等差數(shù)列求和公式，第(2)問構(gòu)建等差數(shù)列和等比數(shù)列的不等式，考查學(xué)生對于兩者的綜合理解及應(yīng)用.

2.2 數(shù)學(xué)文化

源遠(yuǎn)流長的數(shù)學(xué)文化為數(shù)學(xué)增添了美麗與神秘，古人在數(shù)學(xué)方面的造詣也對我們頗有啟發(fā).將數(shù)學(xué)文化融入高考試題，考驗(yàn)學(xué)生將遙遠(yuǎn)的古代知識與現(xiàn)學(xué)的數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，可以激發(fā)其對于探索數(shù)學(xué)奧秘的積極性，體會數(shù)學(xué)對于社會發(fā)展的價(jià)值，同時(shí)樹立文化自信.

2.3 科學(xué)背景

數(shù)學(xué)與科學(xué)聯(lián)系密切，科學(xué)研究以數(shù)學(xué)為工具，離不開數(shù)學(xué)的發(fā)展.科學(xué)背景下的高考試題要求學(xué)生把握關(guān)鍵信息、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、闡釋科學(xué)規(guī)律，并且在解題過程中體會數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值及技術(shù)價(jià)值.

A.b1

C.b6

評析本題選取了嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期為背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在物理、天文等領(lǐng)域的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生通過{bn}的前幾項(xiàng)理解題中所給比值的含義，并通過作差法或不等式的性質(zhì)比較各項(xiàng).科學(xué)背景可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在不同學(xué)科中的重要性，也有助于其更好地體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣闊性.

3 教學(xué)及備考建議

3.1 探尋問題情境，融入課堂教學(xué)

經(jīng)本文的分析不難發(fā)現(xiàn)，近年來的數(shù)列專題越發(fā)重視對于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查.在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合實(shí)際生活例子、挖掘相關(guān)文化史料、探索數(shù)學(xué)與其他學(xué)科融合的案例，引導(dǎo)學(xué)生在具體的情境中感受數(shù)列與我們生活的緊密聯(lián)系.

3.2 提高應(yīng)用意識，鼓勵模型構(gòu)建

數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，從歷年高考題中也可以看出數(shù)列應(yīng)用的廣泛與重要性，教學(xué)中應(yīng)著眼于數(shù)列知識的應(yīng)用，拓寬學(xué)生的思維，鼓勵學(xué)生在面對新情景時(shí)勇于嘗試構(gòu)建模型并解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，以做到會觀察、勤思考、多應(yīng)用.

3.3 完善教學(xué)評價(jià)，提升建模素養(yǎng)

本文涉及的題目評價(jià)水平涵蓋知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三個方面，教師應(yīng)在課堂中根據(jù)評價(jià)的不同水平設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)和練習(xí)，并通過合適的教學(xué)評價(jià)讓學(xué)生感受其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和建模過程，進(jìn)而幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).