郭 振, 夏 鏈, 韓 江

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.安徽省智能數(shù)控技術(shù)及裝備工程實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230009)

非圓齒輪結(jié)合了一般齒輪和凸輪的優(yōu)點(diǎn),能夠?qū)崿F(xiàn)非勻速比傳動,廣泛應(yīng)用于輕工業(yè)及儀器儀表行業(yè)[1]。齒輪在產(chǎn)生過程中,對多軸之間的聯(lián)動有嚴(yán)格的要求[2]。傳統(tǒng)齒輪加工依靠機(jī)械式的齒輪箱來保持各軸之間的傳動比關(guān)系,因此齒輪的加工精度受到傳動齒輪加工精度和安裝精度的影響。

文獻(xiàn)[3]根據(jù)滾齒機(jī)滾齒加工過程的理論模型,提出一種新的軟件定義的滾齒機(jī)電子齒輪箱代替機(jī)械式齒輪箱;文獻(xiàn)[4]以滾刀節(jié)線和非圓齒輪節(jié)曲線保持純滾動為依據(jù),推導(dǎo)出非圓齒輪滾齒加工聯(lián)動數(shù)學(xué)模型,并通過仿真進(jìn)行了驗(yàn)證;文獻(xiàn)[5]根據(jù)非圓齒輪滾齒加工模型,推導(dǎo)了工件轉(zhuǎn)角誤差和滾刀轉(zhuǎn)角誤差對非圓齒輪齒距影響的誤差公式,但其計(jì)算過程過于復(fù)雜。因?yàn)辇X輪加工涉及到多軸聯(lián)動,所以存在多軸同步控制的問題[6]。文獻(xiàn)[7]提出了一種簡單的圓柱斜齒輪節(jié)距誤差和螺旋線輪廓誤差的估計(jì)方法,并結(jié)合這種估計(jì)方法提出一種電子齒輪箱交叉耦合控制器體系結(jié)構(gòu)。

本文根據(jù)非圓齒輪滾齒加工數(shù)學(xué)模型,構(gòu)建非圓齒輪滾齒加工電子齒輪箱運(yùn)動控制模型,并從幾何角度分析推導(dǎo)電子齒輪箱展成控制誤差所引起的非圓齒輪齒距誤差;建立電子齒輪箱非圓齒輪齒距誤差補(bǔ)償控制器,并把齒距誤差補(bǔ)償控制器添加到電子齒輪箱運(yùn)動控制模型中,通過仿真實(shí)驗(yàn)分析對比補(bǔ)償前、后的控制效果。

1 非圓齒輪運(yùn)動控制模型

1.1 非圓齒輪滾齒加工數(shù)學(xué)模型

沿滾刀軸線做剖切面,滾刀加工非圓齒輪可以看作齒條刀具加工非圓齒輪,如圖1所示。

圖1 非圓齒輪滾齒加工端面圖

圖1中:點(diǎn)P為齒條中線與非圓齒輪節(jié)曲線相切點(diǎn);r為對應(yīng)極徑;μ為極切角;ωB為滾刀轉(zhuǎn)速;ωC為齒坯轉(zhuǎn)速。

由幾何關(guān)系可知,非圓齒輪節(jié)曲線與刀具齒條切點(diǎn)處的速度在X方向和Y方向的分量為:

vX=rωBcosμ

(1)

vY=rωCsinμ

(2)

滾刀的回轉(zhuǎn)除形成切削速度外,還可形成投影工具齒條在法面內(nèi)的移動速度,此速度由滾刀回轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)，即

(3)

其中:k為滾刀頭數(shù);m為非圓齒輪端面模數(shù);β為非圓齒坯螺旋角。

由(2)式和(3)式得非圓齒坯展成速度為:

(4)

為了形成工具斜齒條,刀具齒條和工件在法平面內(nèi)要有相對速度Δvn。當(dāng)滾刀以速度vZ沿齒坯軸向運(yùn)動時(shí),由嚙合點(diǎn)處滾刀與齒坯的法向速度相等可得:

Δvn=vZsinβ

(5)

為補(bǔ)償Δvn,令工件的附加轉(zhuǎn)速為ΔωC,有:

Δvn=rΔωCsinμcosβ

(6)

由(5)式和(6)式得到工件的附加轉(zhuǎn)速為:

(7)

由(4)式和(7)式得到的工件最終轉(zhuǎn)速為:

(8)

由(1)式和(4)式可得滾刀與齒坯之間的徑向進(jìn)給速度為:

(9)

綜上所述,非圓齒輪滾齒加工運(yùn)動模型為:

vZ=kZ

(10)

其中:kZ為常數(shù);當(dāng)β=0時(shí),表示加工非圓直齒輪;滾刀螺旋升角與工件齒輪螺旋角的旋向相同時(shí)取“+”,旋向相反時(shí)取“-”。

1.2 非圓齒輪電子齒輪箱運(yùn)動控制模型

電子齒輪箱按結(jié)構(gòu)可以分為主從式結(jié)構(gòu)和平行式結(jié)構(gòu)。主從式電子齒輪箱是從動軸對主動軸的跟隨控制,主動軸轉(zhuǎn)速經(jīng)編碼器檢測后傳遞到電子齒輪箱模塊,作為從動軸的控制信號。平行式電子齒輪箱是對每個(gè)運(yùn)動軸進(jìn)行獨(dú)立控制,但如果其中一個(gè)軸受到干擾,就不能很好地與其他軸保持同步運(yùn)動。而主從式結(jié)構(gòu)在主動軸受到干擾的情況下,從動軸能夠跟蹤主動軸的變化[8],因此本文采用主從式的電子齒輪箱結(jié)構(gòu)。

對于非圓齒輪滾齒加工,在加工過程中參與運(yùn)動的軸有4個(gè),分別為滾刀軸B軸、齒坯旋轉(zhuǎn)軸C軸、相對齒坯徑向往復(fù)運(yùn)動的徑向進(jìn)給軸X軸和為滾切出全齒寬的軸向運(yùn)動軸Z軸。在切削加工時(shí),一般滾刀軸B軸給予恒定轉(zhuǎn)速,當(dāng)伺服電機(jī)編碼器采集到B軸轉(zhuǎn)速后作為基準(zhǔn)信號傳遞給處理器,經(jīng)過電子齒輪箱模塊轉(zhuǎn)換為從動軸X軸的控制信號,從動軸C軸的控制信號由B軸和Z軸的控制信號共同經(jīng)過電子齒輪箱模塊轉(zhuǎn)化得到。

建立主從式非圓齒輪滾齒加工電子齒輪箱結(jié)構(gòu),如圖2所示。

圖2 非圓齒輪滾齒加工電子齒輪箱結(jié)構(gòu)圖

2 非圓齒輪齒距誤差數(shù)學(xué)模型

非圓齒輪誤差是類比圓柱齒輪的誤差項(xiàng)來定義[9]的,分為齒距誤差、齒廓誤差、齒向誤差等。本文主要研究在非圓齒輪加工中,電子齒輪箱展成控制誤差導(dǎo)致的非圓齒輪齒距誤差。齒距誤差為在非圓齒輪節(jié)曲線上實(shí)際齒距與理論齒距之差,其反映的是一齒內(nèi)的轉(zhuǎn)角誤差,主要對齒輪工作時(shí)的準(zhǔn)確性產(chǎn)生影響。

對于非圓齒輪滾齒加工,首先考慮從動軸徑向進(jìn)給軸X軸運(yùn)動誤差對齒距的影響,具體如圖3所示。

圖3 X軸運(yùn)動誤差對齒距的影響

圖3b中,EX為徑向進(jìn)給軸X軸的位置跟蹤誤差,其對非圓齒輪齒距的影響為在節(jié)曲線切線上的分量EX′。由幾何關(guān)系可得:

EX′=EXtanβ

(11)

其中,β=μ-90°,μ為極切角。

其次考慮齒坯軸C軸轉(zhuǎn)角誤差對最終加工的非圓齒輪齒距的影響,如圖4所示。

圖4 C軸的跟蹤誤差對非圓齒輪齒距的影響

圖4b中,EC為非圓齒坯軸C軸的位置跟蹤誤差,其對非圓齒輪齒距的影響為在節(jié)曲線上的弧長EC′。由幾何關(guān)系可得:

EC′=rEC

(12)

其中,r為非圓齒輪嚙合點(diǎn)處的極徑。

根據(jù)(11)式和(12)式可得滾刀徑向進(jìn)給軸X軸的跟蹤誤差和齒坯軸C軸跟蹤誤差對非圓齒輪齒距的影響Fp,即

Fp=EX′+EC′=EXtanβ+rEC

(13)

3 非圓齒輪齒距誤差補(bǔ)償仿真模型

3.1 非圓齒輪齒距誤差補(bǔ)償控制數(shù)學(xué)模型

根據(jù)推導(dǎo)的非圓齒輪加工中齒距誤差公式,構(gòu)建非圓齒輪齒距誤差補(bǔ)償控制數(shù)學(xué)模型。

將齒距誤差數(shù)學(xué)模型重寫如下:

Fp=EX′+EC′=EXtanβ+rEC

(14)

其中:EX為X軸位置跟蹤誤差;EC為C軸位置跟蹤誤差;r為非圓齒坯節(jié)曲線極徑。

為了減小或者消除X軸和C軸運(yùn)動誤差導(dǎo)致的齒距誤差,一種方法是對齒坯軸C軸補(bǔ)償相應(yīng)的量ΔEC,即令:

Fp=EXtanβ+r(EC+ΔEC)=0

(15)

有

(16)

簡化為:

ΔEC=kXEX+kCEC

(17)

另一種方法是對X軸引入補(bǔ)償量ΔEX,使齒距誤差為0,即

Fp=(EX+ΔEX)tanβ+rEC=0

(18)

同理可得:

ΔEX=kCEC+kXEX

(19)

由(19)式可知,因?yàn)檎泻瘮?shù)位于分母位置,導(dǎo)致補(bǔ)償量ΔEX變動特別大,會引起X軸的位置波動較大,所以本文只針對C軸進(jìn)行補(bǔ)償控制。

3.2 電子齒輪箱控制誤差補(bǔ)償仿真模型

根據(jù)文獻(xiàn)[10]建立伺服控制系統(tǒng)模型，如圖5所示。

圖5 伺服控制系統(tǒng)模型

圖5中:Ka為電流環(huán)增益;Kt為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù);J、B分別為電機(jī)軸等效轉(zhuǎn)動慣量和等效摩擦黏性系數(shù);u為輸入電壓信號;Tm為驅(qū)動轉(zhuǎn)矩;Tf為干擾轉(zhuǎn)矩;ω為電機(jī)轉(zhuǎn)速。

以非圓直齒輪滾齒加工電子齒輪箱仿真為例,建立滾刀軸B軸、齒坯軸C軸和徑向進(jìn)給軸X軸三軸聯(lián)動模型,以B軸為主動軸,C軸和X軸為從動軸。根據(jù)構(gòu)建的非圓齒輪滾齒加工電子齒輪箱結(jié)構(gòu)圖以及非圓齒輪齒距誤差補(bǔ)償控制數(shù)學(xué)模型,在MATLAB/Simulink環(huán)境中建立非圓齒輪滾齒加工電子齒輪箱齒距誤差補(bǔ)償控制仿真模型,如圖6所示。

圖6 非圓齒輪滾齒加工電子齒輪箱齒距誤差補(bǔ)償控制仿真模型

圖6中:KaB、KaC、KaX為各軸電流環(huán)增益;KtB、KtC、KtX為各軸電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù);JB、JC、JX為各軸等效慣量;BB、BC、BX為各軸等效黏性阻尼系數(shù);DB、DC、DX為各軸干擾信號;RgB、RgC、RgX為各軸速度或位移轉(zhuǎn)換系數(shù)。

本文中，B軸采用速度控制方式,C軸和X軸分別采用位置環(huán)和速度環(huán)雙環(huán)控制方式,速度環(huán)采用比例積分PI控制器,位置環(huán)采用比例P控制器。

以滾切二階橢圓齒輪為例,其節(jié)曲線方程可為:

(20)

其中:a為長半軸,取26.48 mm;e為偏心率,取0.2;n為階數(shù),取2。

選取各軸相關(guān)電機(jī)參數(shù)[11],見表1所列。

表1 電子齒輪箱運(yùn)動軸仿真參數(shù)

根據(jù)圖6建立的仿真模型及表1設(shè)定好的相應(yīng)參數(shù),考慮到實(shí)際加工非圓齒輪滾刀轉(zhuǎn)速較低,令主軸B轉(zhuǎn)速為100 r/min,在Simulink環(huán)境下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),并設(shè)定運(yùn)行采樣周期為1 ms,分別得到補(bǔ)償前、后位置跟蹤誤差和齒距誤差，如圖7、圖8所示。

圖8 補(bǔ)償前、后齒距誤差的對比

補(bǔ)償前、后電子齒輪箱控制性能對比見表2所列。

表2 補(bǔ)償前、后電子齒輪箱控制性能對比

從圖7可以看出,補(bǔ)償后的C軸跟蹤誤差明顯減小，而補(bǔ)償后的X軸位置跟蹤誤差沒有變化。這是因?yàn)榉抡鎸?shí)驗(yàn)只是對C軸進(jìn)行補(bǔ)償來降低齒距誤差,所以對X軸的控制性能沒有造成影響。

圖7 補(bǔ)償前、后C軸和X軸位置跟蹤誤差的對比

從表2可以看出,補(bǔ)償后齒距誤差的最大值由0.026 57 mm降到0.016 03 mm,平均值由0.020 99 mm降到0.011 66 mm。

4 結(jié) 論

(1)本文根據(jù)非圓齒輪滾齒加工數(shù)學(xué)模型,構(gòu)建了非圓齒輪滾齒加工電子齒輪箱運(yùn)動控制模型,并從幾何角度分析推導(dǎo)了電子齒輪箱展成控制誤差所引起的非圓齒輪齒距誤差。

(2)根據(jù)構(gòu)建的非圓齒輪齒距誤差關(guān)系式，建立電子齒輪箱非圓齒輪齒距誤差補(bǔ)償控制器,并將其添加到電子齒輪箱運(yùn)動控制模型中,構(gòu)建出非圓齒輪滾齒加工電子齒輪箱齒距誤差補(bǔ)償控制仿真模型。

(3)研究結(jié)果表明,補(bǔ)償后的非圓齒輪的齒距誤差降為補(bǔ)償前的60.33%，補(bǔ)償后的非圓齒輪的齒距誤差平均值降為補(bǔ)償前的55.56%。同時(shí)也提升了從動軸C軸的跟蹤精度,由于只對C軸進(jìn)行補(bǔ)償來降低齒距誤差,對X軸的控制性能沒有造成影響。