基于天牛群優(yōu)化算法的轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)研究

貴浩然

（北京航空精密機(jī)械研究所, 北京 100076）

0 引言

在生產(chǎn)使用過(guò)程中, 高性能的陀螺儀以及加速度計(jì)需要采用以轉(zhuǎn)臺(tái)為核心的測(cè)試系統(tǒng)對(duì)其性能進(jìn)行測(cè)試［1-2］, 轉(zhuǎn)臺(tái)可以為它們提供高精度的角度和角速度基準(zhǔn), 通過(guò)計(jì)算和補(bǔ)償以改善其性能。因此, 提高轉(zhuǎn)臺(tái)的精度對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)的研制具有重要意義。 轉(zhuǎn)臺(tái)是一種融合了機(jī)械、 電氣以及計(jì)算機(jī)等多種學(xué)科的較為復(fù)雜且精密的實(shí)驗(yàn)設(shè)備, 高性能的轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)［3-5］不僅需要可靠的電機(jī)硬件設(shè)備、 精密的測(cè)量器件以及合理的硬件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),也極大地依賴于轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)的控制策略。

優(yōu)化轉(zhuǎn)臺(tái)的控制系統(tǒng)一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者重點(diǎn)研究的問(wèn)題, 目前轉(zhuǎn)臺(tái)的控制算法主要有兩類:第一類是經(jīng)典控制算法, 例如PID 控制; 第二類是智能控制算法, 例如自適應(yīng)控制、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等。 FEEMSTER 等［6］于1998 年設(shè)計(jì)了自適應(yīng)位置設(shè)定值控制器來(lái)補(bǔ)償機(jī)械系統(tǒng)的參數(shù)不確定性,以達(dá)到提高性能的目的。 李中［7］在經(jīng)典PID 的基礎(chǔ)上引入模糊控制理論, 設(shè)計(jì)了模糊PID 控制算法,一定程度上提高了轉(zhuǎn)臺(tái)的跟蹤性能。 王歡等［8］結(jié)合經(jīng)典頻域控制和現(xiàn)代滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的基于速度和位置的雙回路控制器, 在抗擾和魯棒性方面具有優(yōu)越性。

為解決傳統(tǒng)轉(zhuǎn)臺(tái)調(diào)試過(guò)程中PID 參數(shù)調(diào)節(jié)的精度及效率問(wèn)題, 本文提出了采用天牛群優(yōu)化算法（Beetle Swarm Optimization Algorithm, BSO） 對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu), 從而提高轉(zhuǎn)臺(tái)響應(yīng)時(shí)間及精度。

1 轉(zhuǎn)臺(tái)數(shù)學(xué)模型建立

設(shè)計(jì)高精度轉(zhuǎn)臺(tái)的控制系統(tǒng), 需要對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行較為準(zhǔn)確的研究與建模。 在更接近實(shí)際轉(zhuǎn)臺(tái)的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上, 才能更準(zhǔn)確地研究該系統(tǒng)的性能, 進(jìn)而設(shè)計(jì)更優(yōu)的控制系統(tǒng)。

本文以單軸轉(zhuǎn)臺(tái)為例, 其控制系統(tǒng)由驅(qū)動(dòng)電路、 電機(jī)和負(fù)載組成, 結(jié)構(gòu)框圖如圖1 所示。

由于本文中所研究的轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律明確, 可以根據(jù)基爾霍夫定律以及電磁轉(zhuǎn)矩等公式計(jì)算得到, 因此本文選擇采用機(jī)理分析法建立其數(shù)學(xué)模型［9-10］。 直流力矩電機(jī)具有非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu), 在運(yùn)行時(shí)電樞繞組中電流會(huì)出現(xiàn)比較復(fù)雜的變化, 因此很難建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型［11］。 本文中, 忽略電樞電感的影響, 其簡(jiǎn)化模型如圖2所示。

圖2 電機(jī)簡(jiǎn)化模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of simplified motor model

根據(jù)基爾霍夫電壓定律, 以圖2 中電流Ia方向?yàn)閰⒖? 直流電機(jī)電樞回路的動(dòng)態(tài)電壓平衡方程為

式（1）中,Ua為直流力矩電機(jī)的輸入電壓, 單位為V;Ia為電樞繞組的電流, 單位為A;Ra為電樞繞組的等效電阻, 單位為Ω;Ea為力矩電機(jī)電樞繞組的反電勢(shì), 單位為V;La為電機(jī)的電樞電感, 單位為H。

當(dāng)接入電源時(shí), 直流力矩電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩與流經(jīng)電樞回路的電流成正比, 因此電磁轉(zhuǎn)矩為

式（2）中,Tem為電機(jī)輸出的電磁轉(zhuǎn)矩, 單位為N·m;Kt為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù), 單位為（N·m） /A。

電機(jī)運(yùn)行時(shí), 轉(zhuǎn)矩平衡方程為

式（3）、 式（4）中,J為電機(jī)軸上總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,單位為kg·m2;ω為電機(jī)的轉(zhuǎn)速, 單位為rad/s;Tc為總干擾力矩, 單位為N·m;Kc為黏滯阻尼系數(shù);Tf為電機(jī)本身的阻轉(zhuǎn)矩, 單位為N·m。

電機(jī)中電樞繞組的反電勢(shì)為

式（5）中,Ke為反電勢(shì)常數(shù)。

將式（1）、 式（2）、 式（3）和式（5）分別做拉普拉斯變換, 并經(jīng)過(guò)整理后, 可得

以電機(jī)輸入電壓Ua作為系統(tǒng)輸入, 以角速度ω（s）作為系統(tǒng)輸出。 干擾力矩Tc（s）主要表現(xiàn)為摩擦力矩, 在轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)中, 摩擦力矩直接地影響到轉(zhuǎn)臺(tái)的位置和速度控制的精度, 但在轉(zhuǎn)臺(tái)高速運(yùn)行過(guò)程中, 其摩擦力矩的影響不大, 可以忽略不計(jì)。 因此, 假設(shè)電機(jī)的干擾力矩Tc（s） 為零,由此可以得到直流力矩電機(jī)的傳遞函數(shù)為

傳遞函數(shù)框圖如圖3 所示。

圖3 電機(jī)傳遞函數(shù)框圖Fig.3 Block diagram of motor transfer function

直流電機(jī)的輸入電壓Ua為控制算法輸出數(shù)字控制量Uc經(jīng)過(guò)驅(qū)動(dòng)電路線性放大后輸出的電壓模擬量, 驅(qū)動(dòng)電路的傳遞函數(shù)可近似為

以Uc為輸入量、 轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為輸出量,則可得轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)的直流電機(jī)角速度輸出控制系統(tǒng)框圖, 如圖4 所示。

圖4 角速度控制系統(tǒng)框圖Fig.4 Block diagram of angular velocity control system

由此可得, 轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)框圖如圖5 所示。

圖5 轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)框圖Fig.5 Block diagram of turntable control system

θr（s）為轉(zhuǎn)臺(tái)的位置輸出, 單位為rad。 為了更加直觀, 將其測(cè)量單位轉(zhuǎn)化為度（°）, 則有

2 天牛群算法設(shè)計(jì)

2.1 算法流程

天牛群優(yōu)化算法［12-14］是將天牛須搜索算法與粒子群優(yōu)化算法相結(jié)合提出的一種新的優(yōu)化算法,每只天牛意味著尋優(yōu)問(wèn)題的一個(gè)潛在解, 即每只天牛代表著所求適應(yīng)度函數(shù)所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值。 天牛位置變化的方向以及距離可以由天牛的兩只觸角所探測(cè)到的氣味濃度所決定, 天牛群算法是將粒子群算法中每個(gè)粒子的更新準(zhǔn)則進(jìn)一步優(yōu)化,利用天牛須搜索算法對(duì)自身位置做出更為準(zhǔn)確的判斷, 這樣在粒子對(duì)目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)過(guò)程中加入了自身對(duì)環(huán)境的判斷［15-17］, 從而降低陷入局部最優(yōu)的可能性, 提高尋優(yōu)過(guò)程的智能性和搜索的精度。天牛群算法流程圖如圖6 所示。

圖6 天牛群算法流程圖Fig.6 Flowchart of beetle swarm algorithm

2.2 目標(biāo)函數(shù)

在轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)中, 要使所有的性能參數(shù)都達(dá)到最優(yōu)是不可能的, 因?yàn)楦鲄?shù)之間存在相互影響,當(dāng)某項(xiàng)達(dá)到最優(yōu)時(shí), 另一項(xiàng)指標(biāo)性能會(huì)下降。 通常,采用誤差性能指標(biāo), 即實(shí)際與期望輸出的偏差和時(shí)間的積分式, 來(lái)衡量控制系統(tǒng)的性能。 表1 列出了幾種常用的綜合性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)［18］。

表1 常用的綜合性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Commonly used comprehensive performance evaluation criteria

其中,e（t） 為系統(tǒng)輸入與輸出的差值,t為時(shí)間, 綜合性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是基于系統(tǒng)偏差與時(shí)間之間的關(guān)系。

由表1 可知, IAE 的性能指標(biāo)對(duì)小偏差的抑制能力比較強(qiáng), 且具有良好的瞬態(tài)響應(yīng), 綜合考慮實(shí)際應(yīng)用, 本文采用IAE 準(zhǔn)則進(jìn)行指標(biāo)尋優(yōu)。 為防止轉(zhuǎn)臺(tái)的輸入控制過(guò)大, 可對(duì)絕對(duì)偏差積分函數(shù)進(jìn)行改進(jìn), 引入控制量輸入u（t）的平方項(xiàng), 即目標(biāo)函數(shù)為

式（13）中,ω1、ω2為權(quán)重系數(shù), 取值范圍為［0, 1］。

2.3 算法尋優(yōu)過(guò)程

根據(jù)尋優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)建立一個(gè)三維搜索空間,設(shè)種群規(guī)模為N, 分別表示為pop1,pop2, …,popN, 第i個(gè)個(gè)體的位置可以定義為popi=［KPiKIiKDi］T, 也表示其中可能的一個(gè)函數(shù)的最優(yōu)解,popg=［KPgKIgKDg］T為種群的極值。帶入到設(shè)定的目標(biāo)函數(shù)中, 可以得出每個(gè)天牛位置的適應(yīng)度值［14］。 完成該位置的計(jì)算后, 更新天牛的位置, 用vi=［vi1vi2vi3］T表示天牛位置變化時(shí)的速度, 則更新時(shí)的表達(dá)式為

式（14） 中,rand為［0, 1］ 的常數(shù),pbesti=［pbesti1pbesti2pbesti3］T為當(dāng)前個(gè)體的最優(yōu)解, 并且將所有個(gè)體的最優(yōu)解中的最小值作為全局的最優(yōu)解gbest= ［gbest1gbest2gbest3］T,k為當(dāng)前正在進(jìn)行的迭代次數(shù), 學(xué)習(xí)因子c1、c2為常數(shù), 慣性權(quán)重系數(shù)ω是隨過(guò)程變化的, 變化規(guī)律為

式（15）中,maxgen為最大迭代次數(shù)。

天牛位置的更新方程為

式（16）中,λ為正常數(shù);為由天牛兩個(gè)觸角探測(cè)到的信息強(qiáng)度決定的部分位移增量, 其表達(dá)式為

式（17） 中,step為步長(zhǎng), sign（·） 為符號(hào)函數(shù)。f（x）為天牛位置的氣味濃度, 也稱為適應(yīng)度函數(shù), 其最大值或者最小值對(duì)應(yīng)于氣味源點(diǎn), 代表所求的目標(biāo)函數(shù)。 根據(jù)天牛的位置, 計(jì)算每個(gè)天牛的左側(cè)距離xleft和適應(yīng)度f(wàn)left及右側(cè)距離xright和適應(yīng)度f(wàn)right

并對(duì)天牛的步長(zhǎng)以及兩個(gè)觸角的質(zhì)心之間的距離進(jìn)行更新

式（19）、 式（20） 中,stepk+1和stepk分別為第k+1 次和第k次的步長(zhǎng),eta_δ為步長(zhǎng)衰減系數(shù),d0為天牛兩須之間的距離,e為常系數(shù)。

3 仿真與結(jié)果分析

3.1 仿真條件設(shè)置

電機(jī)軸上總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=1.5kg·m2, 轉(zhuǎn)臺(tái)采用的直流力矩電機(jī)的具體性能參數(shù)如表2 所示。

表2 J200LYX 型直流力矩電機(jī)具體參數(shù)Table 2 Specific parameters of DC torque motor J200LYX

算法尋優(yōu)中的步長(zhǎng)衰減系數(shù)eta_δ取為0.95,式（20）中的e在本文中取2, 目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重比例系數(shù)設(shè)置為ω1=0.999,ω2=0.001。 設(shè)種群規(guī)模為100, 最大迭代次數(shù)為50, PID 三個(gè)參數(shù)的搜索范圍均為［0, 100］。

3.2 仿真結(jié)果分析

本文實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為Matlab 2018a（Windows i7-11370H@3.30GHz）, 設(shè)置以上仿真參數(shù), 搜索得到PID 的最優(yōu)KP,KI,KD, 代入到轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)的PID 中, 得到階躍響應(yīng)與誤差曲線。 天牛群算法優(yōu)化PID 參數(shù)曲線和適應(yīng)度曲線如圖7 和圖8 所示。

圖7 天牛群算法優(yōu)化PID 參數(shù)曲線Fig.7 Curves of PID parameters optimized by beetle swarm algorithm

圖8 天牛群算法優(yōu)化適應(yīng)度曲線Fig.8 Curve of fitness optimized by beetle swarm algorithm

天牛群算法優(yōu)化PID 參數(shù)的結(jié)果如表3 所示,適應(yīng)度最優(yōu)值fmin=0.1915。 由尋優(yōu)結(jié)果可以看出,由于在尋優(yōu)過(guò)程中加入了天牛粒子自身的判斷,天牛群算法的全局尋優(yōu)結(jié)果好。

表3 天牛群算法參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Table 3 Results of parameters optimized by beetle swarm algorithm

將天牛群算法優(yōu)化后的PID 參數(shù)用于進(jìn)給伺服系統(tǒng), 得到階躍響應(yīng)和誤差曲線, 如圖9 和圖10所示。

圖9 天牛群算法優(yōu)化階躍響應(yīng)輸出曲線Fig.9 Curve of step response output optimized by beetle swarm algorithm

圖10 天牛群算法優(yōu)化階躍響應(yīng)輸出誤差曲線Fig.10 Error curve of step response output optimized by beetle swarm algorithm

將天牛群算法整定的PID 參數(shù)和常規(guī)調(diào)試中試湊法得到的PID 參數(shù)進(jìn)行對(duì)比, 這兩種算法的階躍響應(yīng)和誤差曲線如圖11 和圖12 所示。

圖11 天牛群算法和傳統(tǒng)PID 算法優(yōu)化階躍響應(yīng)輸出對(duì)比Fig.11 Comparison between beetle swarm algorithm and traditional PID algorithm for step response output

由圖11 和圖12 可知, 天牛群算法整定的PID參數(shù)使轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)在1.1s 處收斂, 超調(diào)量為7.4%, 穩(wěn)態(tài)誤差為0, 無(wú)振蕩; 而傳統(tǒng)PID 算法的收斂時(shí)間為1.4s, 超調(diào)量為53.5%, 穩(wěn)態(tài)誤差為0, 振蕩次數(shù)為3。

由對(duì)比仿真結(jié)果可知, 天牛群算法整定的PID參數(shù)使得轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)的收斂速度快, 誤差值比傳統(tǒng)PID 算法小, 且天牛群算法整定的系統(tǒng)超調(diào)量更小、 動(dòng)態(tài)性能更好。

4 結(jié)論

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在研制過(guò)程中需要轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行測(cè)試、 試驗(yàn)和標(biāo)定, 轉(zhuǎn)臺(tái)可以為加速度計(jì)和陀螺儀提供高精度的角度和角速度基準(zhǔn)。 通過(guò)全面測(cè)試建立慣性儀表的模型方程, 利用計(jì)算機(jī)模擬使用條件計(jì)算出儀表的規(guī)律性誤差并給予補(bǔ)償, 以提高儀表的實(shí)際使用精度。 因此, 轉(zhuǎn)臺(tái)的精度在慣導(dǎo)的研制過(guò)程中具有重要意義。

PID 參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性、 響應(yīng)速度等方面具有重要的意義, 為改善轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)際調(diào)試中憑經(jīng)驗(yàn)確定PID 參數(shù)的缺點(diǎn), 本文提出了一種基于天牛群算法的PID 參數(shù)尋優(yōu)方法。 該方法進(jìn)一步優(yōu)化粒子群算法中每個(gè)粒子的更新準(zhǔn)則, 利用天牛須搜索算法對(duì)自身位置做出更準(zhǔn)確的判斷, 即在對(duì)目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)過(guò)程中加入了個(gè)體自身對(duì)環(huán)境的判斷,從而降低陷入局部最優(yōu)的可能性, 并采用IAE 準(zhǔn)則對(duì)參數(shù)尋優(yōu)得到一組最優(yōu)解。 通過(guò)與依據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定的PID 參數(shù)的對(duì)比, 采用天牛群優(yōu)化算法得到的PID 參數(shù)更有依據(jù), 而且使轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)速度更快, 誤差更小。 因此, 該方法在轉(zhuǎn)臺(tái)控制中有著較好的應(yīng)用前景。