自動跟蹤型加速度計電流數(shù)字轉換電路數(shù)字閉環(huán)控制研究

丁浩珅, 謝元平, 樊振方

（1. 國防科技大學前沿交叉學科學院, 長沙 410073;2. 國防科技大學南湖之光實驗室, 長沙 410073）

0 引言

自動跟蹤型加速度計電流數(shù)字轉換（Current to Digital Conversion, CDC）技術作為加速度計模數(shù)轉換電路的一種［1］, 為了達到最優(yōu)控制效果, 需要設計一種響應速度快、 工作穩(wěn)定、 通帶平穩(wěn)的閉環(huán)控制傳遞函數(shù)。 關于CDC 的數(shù)字閉環(huán)控制系統(tǒng),數(shù)字信號處理器是實現(xiàn)控制功能的核心, 它根據(jù)系統(tǒng)的控制要求, 按照一定的規(guī)律或規(guī)則對系統(tǒng)實施控制［2］。 反饋控制為PID 算法, 由現(xiàn)場可編程門陣列（Field Programmable Gate Array, FPGA）來實現(xiàn), 算法性能的好壞將直接決定整個閉環(huán)系統(tǒng)的性能。 所以, 根據(jù)系統(tǒng)要求, 設計出最佳的PID 算法參數(shù)至關重要。

ROJO 等［3］進行了基于PID 算法的數(shù)字閉環(huán)控制系統(tǒng)研究, 這種控制算法至今仍在沿用。 國內(nèi)目前對數(shù)字閉環(huán)的研究更多集中在硬件設計與代碼優(yōu)化方面［4-5］, 缺少針對性的控制系統(tǒng)理論研究。本文針對PID 參數(shù)優(yōu)化問題, 建立了CDC 的閉環(huán)控制系統(tǒng), 采用根軌跡法對控制系統(tǒng)的PID 參數(shù)進行分析求解。 校正后系統(tǒng)的動態(tài)性能指標接近期望值, 具有較大的穩(wěn)定裕度。 最后, 用Simulink 仿真驗證了PID 參數(shù)的實用性和方案的可行性。

1 CDC 系統(tǒng)組成及工作原理

CDC 的結構如圖1 所示［1］。 CDC 主要由模擬電路與數(shù)字控制處理模塊兩個部分組成: 模擬電路主要是積分電路、 電壓轉電流電路（Voltage to Current Circuits, V/I）組成; 數(shù)字控制處理模塊由高性能的數(shù)字信號處理器（單片機或者FPGA）和高分辨率的模數(shù)轉換器（Analog to Digital Converters,A/D）、 數(shù)模轉換器（Digital to Analogue Converters,D/A）構成。

圖1 CDC 結構圖Fig.1 Structure diagram of CDC

該閉環(huán)系統(tǒng)的工作原理如下: 以數(shù)字信號處理器為閉環(huán)回路的控制核心。 加速度計傳感器將測量的加速度變化轉換成相應變化的電流量I1, 積分電路對輸入電流I1進行積分后輸出誤差電壓E,E經(jīng)過A/D 轉換變成數(shù)字量e,e經(jīng)過數(shù)字信號處理器處理后, 數(shù)字信號處理器產(chǎn)生調(diào)整數(shù)字信號d經(jīng)D/A 和V/I 轉換為反饋跟蹤電流I2作用于積分電容C上,I1、I2二者電荷保持平衡, 實時反饋控制使誤差電壓E穩(wěn)定在0 附近, 有

式（1） 中,En為第n個采樣周期中的誤差電壓,C為積分電容的電容值, A/D、 D/A 采樣頻率為fS,T為采樣周期, 采樣周期T=1/fS。 數(shù)字信號處理器將調(diào)整數(shù)字信號d通過串口輸出到上位機, 有

式（2）中,L為數(shù)字輸出d與輸入電流I1之間的標度因數(shù), 單位為LSB/mA;dn為第n個周期內(nèi)的數(shù)字信號。 由式（2）可知, 數(shù)字信號d正比于輸入電流I1在采樣周期T內(nèi)的平均值。 當采樣頻率fS較高時,d可視為輸入電流I1的實時采樣。 說明CDC 一方面完成對輸入電流I1的反饋再平衡, 另一方面直接將與輸入電流I1成正比的數(shù)字量d傳遞給導航計算機, 其全數(shù)字的處理方式也能解決模擬閉環(huán)方案中的精度損失等問題。

2 仿真模型

為保證CDC 的閉環(huán)控制系統(tǒng)可以穩(wěn)定運行,需要設置好數(shù)字信號處理器的參數(shù), 本電路采用數(shù)字PID 控制作為數(shù)字信號處理器的控制算法, 通過構建控制系統(tǒng), 求解數(shù)字PID 參數(shù), 對校正后的控制系統(tǒng)進行仿真驗證, 證明該方法的有效性。

2.1 仿真模型說明

一個模擬信號經(jīng)過A/D 變換成為二進制數(shù)字信號時, 必須經(jīng)過量化處理和編碼。 本電路采用的是16 位高精度模數(shù)轉換芯片, 該芯片轉換精度高, 產(chǎn)生的量化誤差很小, 故可忽略量化誤差的影響。 因此, 在電路仿真分析中可以略去量化誤差和編碼環(huán)節(jié), 建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)時可以將所研究的電路控制系統(tǒng)當成采樣系統(tǒng), 僅含有采樣及零階保持器兩種過程, 再進一步將其看作時間離散系統(tǒng)來進行z變換分析［6］。

通過z變換, 可以把傳遞函數(shù)、 根軌跡等概念應用于離散控制系統(tǒng)中。 首先, 將轉換電路當成連續(xù)系統(tǒng)去分析, 算出模擬PID 參數(shù)后, 將PID 環(huán)節(jié)代入系統(tǒng), 相當于對整體系統(tǒng)加入校正環(huán)節(jié)［7］,通過校正來改善系統(tǒng)的動靜態(tài)特性。 隨后, 將PID控制器離散化, 利用Simulink 對電路系統(tǒng)進行仿真。

2.2 連續(xù)控制系統(tǒng)

將圖1 中的電路系統(tǒng)看成是連續(xù)控制系統(tǒng), 輸入電流I1、 反饋跟蹤電流I2等效成系統(tǒng)輸入信號和輸出信號, 積分電路等效成積分環(huán)節(jié), 積分電容的電容值為C=0.1μF =1 ×10-7F, 積分環(huán)節(jié)表達式為

圖1 中的V/I 表示為電壓轉電流環(huán)節(jié), 用1/R表示,R為330Ω 電阻, 通過電壓轉電流環(huán)節(jié)可得W2（s） =1/330。 為了在控制系統(tǒng)仿真中等效A/D采樣效果, 本文在之后的Simulink 仿真中使用零階保持器, 這樣連續(xù)控制器的輸出在離散化后會產(chǎn)生一定時長的延時, 延遲模塊的傳遞函數(shù)為

式（4）中, 延時τ大約為0.5T［8］, 得τ=0.5T,T為A/D 采樣周期。

控制處理模塊看成是控制器控制環(huán)節(jié), 用C（s）表示。 各個系統(tǒng)的等效環(huán)節(jié)用圖2 的子方框圖中的傳遞函數(shù)來表示。

圖2 連續(xù)控制系統(tǒng)各框架示意圖Fig.2 Schematic diagram of each frame for the continuous control system

將積分環(huán)節(jié)、 延時環(huán)節(jié)和電壓轉電流環(huán)節(jié)整理匯總, 得傳遞函數(shù)G（s）, 表達式為

e-τs在τ較小的情況下可以用一階Pade 進行線性化處理, 精度較高, 計算方便［9］。 計算公式如下

根據(jù)經(jīng)驗, 一般設定采樣頻率T為系統(tǒng)帶寬的10 ～20 倍, 這樣可以確保數(shù)字控制器與連續(xù)控制器的性能相匹配［10］。 由于輸入電流信號I1的頻率一般不超過5kHz, 所以本文最終選取的采樣頻率為50kHz。 因此, 將式（6） 代入式（5） 中,τ=0.5T,T為0.00002s, 化簡后得傳遞函數(shù)G1（s）,表達式為

則整個連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如圖3 所示。

圖3 連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)結構簡圖Fig.3 Structure diagram of transfer function for a continuous system

連續(xù)控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)表達式為

3 PID 控制器參數(shù)的求解

在采樣周期足夠小的情況下, 使用各種連續(xù)域設計方法設計出符合要求的連續(xù)域控制器, 然后將連續(xù)控制器離散化, 這種方法稱為連續(xù)域-離散化設計法［8］。 連續(xù)系統(tǒng)通過串聯(lián)PID 控制器達到校正系統(tǒng)的效果, 所以本文使用根軌跡法來設計出符合要求的校正裝置, 來求解PID 控制器。

3.1 根軌跡法的校正原理

根據(jù)連續(xù)控制系統(tǒng)要求實現(xiàn)的動態(tài)性能指標期望值, 來計算出系統(tǒng)的期望閉環(huán)主導極點, 如果系統(tǒng)顯示根軌跡通過期望的閉環(huán)主導極點, 說明系統(tǒng)性能指標符合要求, 無需校正; 否則需要在系統(tǒng)中引入新的開環(huán)零點z和極點p來改變根軌跡的走向, 如果引入的開環(huán)零極點合適, 就可以使根軌跡經(jīng)過期望的閉環(huán)主導極點［11］。

待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的一般表達式為

式（9）中,zi為系統(tǒng)開環(huán)零點,pj為系統(tǒng)開環(huán)極點,K為系統(tǒng)的根軌跡增益。

對待校正系統(tǒng)進行根軌跡校正時, 計算校正裝置步驟如下［12］:

1）根據(jù)系統(tǒng)要求實現(xiàn)的動態(tài)性能指標期望值,確定系統(tǒng)的期望閉環(huán)主導極點位置, 表達式為

2）串聯(lián)一超前校正裝置C（s） =K（s+z） /（s+p）, 通過引入新的開環(huán)零點z和新的開環(huán)極點p改變原根軌跡的走向, 使1 +G0（s）C（s） =0 的根軌跡通過期望的閉環(huán)主導極點s1,2。

3）根據(jù)式（11）（幅值條件表達式） 和式（12） （相位條件表達式）計算求解出K、z和p。

3.2 校正裝置的參數(shù)計算

根據(jù)實際電路需求, 本文將系統(tǒng)動態(tài)性能指標期望值設定為: 上升時間tr≤1.8 ×10-5s、 調(diào)整時間ts≤4.3 ×10-5s、 超調(diào)量σP≤3%。

根據(jù)公式

根據(jù)ts和σP的期望值, 代入式（13）和式（14）中, 解出ζ≈0.74 和ωn≈112612rad/s, 再由式（10） 得出期望閉環(huán)主導極點s1,2= - 83333 ±75744j。

常用的PID 控制包括PID 控制、 PI 控制和PD控制三種類型。 本文采用PD 控制對系統(tǒng)進行超前校正, PD 控制器表達式為

聯(lián)立式（7）和式（15）, 得到校正后系統(tǒng)函數(shù)表達式為

引入一個零點z和極點p, 畫圖求解零極點,如圖4 所示。

圖4 零極點示意圖Fig.4 Schematic diagram of zero and pole

先設定零點z為（ -60000, 0）, 由式（12）（相位條件表達式）可計算出p= -68610。

將z= -60000、p= -68610 代入式（11）（幅值條件表達式） 中, 解算出K≈2.0206。 將z=-60000、p= -68610 和K≈2.0206 代入式（15）中, 可得

由此得出經(jīng)過超前校正后的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

校正后的系統(tǒng)單位階躍響應如圖5 所示。

圖5 校正后的系統(tǒng)單位階躍響應（延遲環(huán)節(jié)一階近似）Fig.5 Unit step response of the system after calibration（first-order approximation of delay link）

由圖5 可知, 系統(tǒng)穩(wěn)定, 穩(wěn)態(tài)誤差趨于0。 此時, 系統(tǒng)的超調(diào)量σP=2.2%, 上升時間tr=1.8 ×10-5s, 調(diào)節(jié)時間ts=4.3 ×10-5s, 動態(tài)性能指標符合期望值。

為探究延時環(huán)節(jié)的一階近似對系統(tǒng)的影響,現(xiàn)用式（4）替換式（18）中的一階近似, 得到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù), 表達式為

校正后的系統(tǒng)單位階躍響應如圖6 所示。

圖6 校正后的系統(tǒng)單位階躍響應Fig.6 Unit step response of the system after calibration

由圖6 可知, 系統(tǒng)穩(wěn)定, 穩(wěn)態(tài)誤差趨于0。 此時, 系統(tǒng)的超調(diào)量σP= 5.3%, 上升時間tr=1.5 ×10-5s, 調(diào)節(jié)時間ts=6.7 ×10-5s, 動態(tài)性能指標與期望值接近, 證明了延時環(huán)節(jié)一階近似在本次參數(shù)求解過程中的可行性。

校正后的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線如圖7 所示,相角裕度γ=61°, 幅值裕度Kg=8.6dB, 具有較大的穩(wěn)定裕度, 證明系統(tǒng)的魯棒性較好。 此時, 系統(tǒng)-3dB 帶寬為fb≈6.2kHz。

圖7 校正后的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線Fig.7 Open-loop frequency characteristic curves of the system after calibration

3.3 連續(xù)域控制器離散化

本文采用連續(xù)域-離散化設計法, 直接將連續(xù)域控制器離散化, 對式（17）進行z變換, 得到

C1（z）即為所求得的離散化PD 控制器。

4 Simulink 仿真

4.1 連續(xù)域-離散化設計法驗證

將C1（z）代入離散控制系統(tǒng), 如圖8 所示。

圖8 離散控制系統(tǒng)示意圖Fig.8 Diagram of discrete control system

為探究這種方法對整個系統(tǒng)的影響, 以Simulink 為工具, 對連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)進行仿真, 如圖9 所示。

圖9 Simulink 仿真圖Fig.9 Simulation diagram of Simulink

仿真輸入信號為1mA 電流的單位階躍響應,離散域系統(tǒng)的A/D 采樣頻率為50kHz。 為了使連續(xù)域與離散域的輸出誤差電壓信號同步, 在連續(xù)域的Simulink 仿真中加入相應的延時環(huán)節(jié), 對比連續(xù)域與離散域的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線, 如圖10所示。

圖10 連續(xù)域和離散域的單位階躍響應曲線Fig.10 Unit step response curves for continuous and discrete domains

仿真結果表明, CDC 控制系統(tǒng)在連續(xù)域和離散域的單位階躍響應曲線基本一致, 證明了連續(xù)域-離散化設計法在本次實驗中的可行性, 并且仿真結果為實際控制系統(tǒng)提供了依據(jù)。

4.2 輸出穩(wěn)態(tài)誤差

將Simulink 仿真信號源設為1mA 的電流值,信號發(fā)生時間設置為0.0001s, 離散域穩(wěn)態(tài)誤差如圖11 所示。

圖11 離散域穩(wěn)態(tài)誤差Fig.11 Diagram of discrete domain steady state error

通過離散PD 控制器的調(diào)節(jié), 離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定, 穩(wěn)態(tài)誤差為0, 實際上這與控制環(huán)路包含積分環(huán)節(jié)有關。

5 結論

本文建立了自動跟蹤型電流數(shù)字轉換電路的控制系統(tǒng)模型, 采用根軌跡法求解連續(xù)控制系統(tǒng)的PID 控制器參數(shù), 校正后系統(tǒng)動態(tài)性能指標接近期望值, 閉環(huán)階躍響應的超調(diào)量為σP=5.3%, 上升時間tr=1.5 ×10-5s, 調(diào)節(jié)時間ts=6.7 ×10-5s。該系統(tǒng)具有較大的穩(wěn)定裕度, 證明系統(tǒng)的魯棒性較好, 系統(tǒng)的-3dB 帶寬約為6.2kHz。 采用連續(xù)域-離散化設計法對連續(xù)域PID 進行離散化處理,基于Simulink 分別建立了連續(xù)域與離散域的閉環(huán)系統(tǒng)仿真模型, 仿真結果表明兩個系統(tǒng)的階躍響應曲線特性基本相同。 在離散域中, 輸入單位階躍信號時, 系統(tǒng)穩(wěn)定且輸出穩(wěn)態(tài)誤差為0。 仿真結果可用于電流數(shù)字轉換電路控制參數(shù)優(yōu)化。