連續(xù)旋轉(zhuǎn)下陀螺敏感軸偏移誤差標定與補償

吳宗霖, 陳 光, 晏 亮, 袁 鵬, 管冬雪

（北京航天時代激光導(dǎo)航技術(shù)有限責(zé)任公司, 北京 100094）

0 引言

機抖激光陀螺通過抖輪與基座連接, 抖輪驅(qū)動陀螺做高頻角振動以脫離鎖區(qū), 抖輪的軸向剛度應(yīng)較小以便于角振動, 抖輪的側(cè)向剛度應(yīng)足夠大以防止抖輪側(cè)向形變。 而抖輪的側(cè)向剛度是有限的, 在外力作用下, 抖輪會有微小形變偏移,帶動陀螺敏感軸偏移, 形成等效安裝誤差, 引起陀螺測量誤差。 這一測量誤差在低動態(tài)工況下對導(dǎo)航精度影響不大, 但在大過載、 連續(xù)旋轉(zhuǎn)等復(fù)雜線角運動工況下會導(dǎo)致慣導(dǎo)系統(tǒng)導(dǎo)航精度大幅降低。

針對抖輪形變偏移帶動陀螺敏感軸偏移這一問題, 李鵬等［1-3］設(shè)計了新型抖動機構(gòu), 提高了抖輪的側(cè)向剛度, 但僅在陀螺層面證實了其結(jié)構(gòu)的優(yōu)越性, 未在慣性測量單元（Inertial Measurement Unit, IMU）層面測試分析其結(jié)構(gòu)的有效性。 CAI 等［4］把陀螺敏感軸偏移量用9 個參數(shù)表示, 并用Kalman 濾波器對參數(shù)進行估計, 但未對9 個參數(shù)的來源和機理進行分析。 KIM 等［5］理論推導(dǎo)了敏感軸偏移導(dǎo)致的陀螺漂移, 但沒有實驗驗證其理論。 王林等［6］推導(dǎo)了機抖陀螺敏感軸偏移誤差模型, 將IMU 陀螺敏感軸偏移量用9 個待辨識參數(shù)表示, 并從系統(tǒng)級的角度標定和補償此誤差, 但其標定需要做多個方向的振動試驗, 操作較為費時。

本文通過理論分析結(jié)合有限元仿真結(jié)果建立了陀螺敏感軸偏移誤差模型, 在傳統(tǒng)19 位置標定方法的基礎(chǔ)上, 提出了一種新的位置編排方案,標定出6 個敏感軸偏移誤差, 標定時間大約1.5h,且操作簡單。 試驗表明, 補償?shù)裘舾休S偏移誤差后, 慣導(dǎo)系統(tǒng)動態(tài)精度有很大提升。

1 系統(tǒng)模型

1.1 機抖激光陀螺敏感軸偏移誤差模型

機抖激光陀螺腔體通過抖輪連接在IMU 基座上, 抖輪可視為一個扭轉(zhuǎn)彈簧, 因此將激光陀螺建模為“質(zhì)量-彈簧-阻尼” 系統(tǒng)。 以x陀螺為例,建立以x陀螺中心為原點的載體坐標系gx,gxx軸指向陀螺抖動軸自由狀態(tài)的方向,gxy軸、gxz軸垂直于gxx軸指向x陀螺腔體的陽極、 陰極方向。x陀螺抖動軸向gxy軸、gxz軸的偏移角度為θxy、θxz, 抖動軸偏移示意圖如圖1 所示。

根據(jù)歐拉原理,x陀螺的運動方程為［7］

其中,

式（1） ～式（3） 中,Igx、Iox為x陀螺的慣性矩、偏心慣性矩;Cgx、Kgx為x陀螺的阻尼系數(shù)、 角剛度;Mgx、Mdx為x陀螺的偏心力矩和抖動力矩;δx為x陀螺的偏心距離矢量;mx為x陀螺的質(zhì)量;f為作用在x陀螺上的比力加速度;θx為x陀螺抖動軸相對于安裝基座的形變角且θx滿足小角假設(shè),θx抖動軸方向的分量θxx本質(zhì)上是x陀螺抖動角,表示的是陀螺脫離鎖區(qū)的角運動,θxy、θxz為x陀螺抖動軸的側(cè)向形變角;為x陀螺相對于慣性系的角速度。

為了便于工程應(yīng)用, 對式（1）進行簡化: 抖輪抖動角運動不會引起陀螺敏感軸偏移, 因此忽略Mdx、的影響; 根據(jù)Li 等［8］的分析, 偏心慣性矩和二階非線性項的影響可以忽略, 則式（1）第二項可以不予考慮; 抖輪彎曲頻率近似為700Hz, 慣組連續(xù)旋轉(zhuǎn)條件下, 外界輸入角運動的頻率遠遠小于抖輪彎曲頻率, 因此有。 基于以上定量分析, 式（1）可簡化為

考慮到系統(tǒng)阻尼比和頻率比遠遠小于1, 則x陀螺抖動軸側(cè)向形變角θxy、θxz的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)近似為

角剛度Kgxy、Kgxz在其彈性限度內(nèi)是一個固定值, 令, 則式（5）可表示為

式（6）中,Txyx為x陀螺抖動軸在x軸方向加速度作用下向y軸偏移的形變系數(shù), 單位為（″） /g;Txyy為x陀螺抖動軸在y軸方向加速度作用下向y軸偏移的形變系數(shù);Txzx、Txzz表示的含義與Txyx、Txyy類似。

陀螺抖動軸與敏感軸之間存在一個固定小角,陀螺抖動軸偏移會帶動敏感軸偏移。 為了便于分析, 認為抖動軸偏移角等于敏感軸偏移角, 式（6）即為x陀螺敏感軸偏移誤差模型。

為了驗證所建模型的準確性, 對不同型號機抖陀螺動態(tài)特性進行有限元分析, 分析結(jié)果如圖2所示。

圖2 機抖陀螺側(cè)向重力作用下位移圖Fig.2 Displacement diagram of the mechanical dithered RLG under lateral gravity

圖2 為三種抖輪機構(gòu)的陀螺在重力作用下的法向位移圖。 由圖2（a）、 圖2（b）可知, 50 型陀螺和90-1 型陀螺在側(cè)向重力作用下, 陀螺敏感軸會有一個沿重力方向的偏移, 偏移量大約為1″, 這與式（6）的分析是一致的。 但圖2（c）中的90-2 型陀螺在側(cè)向重力作用下, 陀螺敏感軸除了有沿重力方向的偏移外, 還有一個橫向偏移, 這一橫向偏移量是由其抖輪結(jié)構(gòu)特性引起的。 其橫向偏移量與重力方向偏移量近似相等, 所以其橫向偏移量導(dǎo)致的x陀螺敏感軸偏移角為

本文研究對象是90-2 型陀螺, 所以考慮陀螺橫向偏移的x陀螺敏感軸偏移誤差模型為

對90-2 型陀螺軸向力作用下的動態(tài)特性進行仿真分析, 結(jié)果如圖3 所示。

圖3 90-2 型陀螺軸向力作用下位移圖Fig.3 Displacement diagram of 90-2-RLG under axial force

由圖3 可知, 90-2 型陀螺在軸向力作用下其敏感軸不會發(fā)生偏移, 說明其質(zhì)心分布情況對敏感軸偏移的影響可以忽略。 因此, 式（8）中的fxTxyx、fxTxzx可以忽略, 90-2 型x陀螺敏感軸偏移誤差模型為

同理可得,y陀螺、z陀螺敏感軸偏移誤差模型為

式（10）中,Tijj（i≠j,i=x,y,z;j=x,y,z）為6 個敏感軸偏移誤差參數(shù)。

1.2 陀螺誤差模型

動態(tài)情況下, 敏感軸偏移誤差引起的陀螺測量誤差模型為［6］

1.3 導(dǎo)航誤差模型

考慮敏感軸偏移誤差的導(dǎo)航姿態(tài)、 速度誤差為［9］

式（13）中,φ=［φEφNφU］T為慣導(dǎo)東北天失準角誤差,δKg= diag（δKgx,δKgy,δKgz） 為陀螺標度因數(shù)誤差,δEg為陀螺安裝誤差,B=［BxByBz］T為陀螺零偏,V=［VEVNVU］T為慣導(dǎo)東北天速度,δKa=diag（δKax,δKay,δKaz） 為加速度計標度因數(shù)誤差,δEa為加速度計安裝誤差,D= ［DxDyDz］T為加速度計零偏［10］。其中,

傳統(tǒng)的安裝誤差辨識量［11］包含安裝關(guān)系誤差和敏感軸偏移形成的等效安裝誤差, 式（13）將安裝關(guān)系誤差δEg與敏感軸偏移誤差M分離開來。 本文根據(jù)式（13）建立Kalman 狀態(tài)方程, 估計出6 個陀螺敏感軸偏移誤差的同時, 把24 個傳統(tǒng)器件誤差修正得更加準確。

1.4 Kalman 濾波模型

本文使用傳統(tǒng)Kalman 濾波方法對誤差參數(shù)進行估計, 根據(jù)式（13） 建立的Kalman 狀態(tài)方程如下［12］

量測方程采用“速度+位置” 的匹配方法

式（17）、 式（18）中的系統(tǒng)變量如下（共39 維）

式（19）中,δλ、δL、δh為慣導(dǎo)的經(jīng)度誤差、 緯度誤差、 高度誤差,δKaxp、δKayp、δKazp為加速度計正向標度因數(shù)誤差,δKaxn、δKayn、δKazn為加速度計負向標度因數(shù)誤差。

2 標定方案設(shè)計與可行性分析

2.1 標定方案設(shè)計

標定方案如下:

1）使用19 位置標定方案［13］, 用33 階Kalman濾波器估計出儀表安裝誤差、 標度因數(shù)誤差和零偏誤差共24 個誤差參數(shù);

2）使用“6 個動作序列” 標定方案, 用39 階Kalman 濾波器估計出6 個陀螺敏感軸偏移誤差并且修正24 個儀表誤差。

第2 步中的Kalman 濾波將第1 步中Kalman 濾波的24 個誤差估計值作為其24 個誤差狀態(tài)量初值, 6 個敏感軸偏移狀態(tài)量初值設(shè)為0。

第2 步中的“6 個動作序列” 位置編排如圖4所示。 圖4 中, E、 N、 U 代表東、 北、 天方向,x、y、z代表IMU 的x軸、y軸、z軸指向。 如圖5所示, 將帶雙軸旋轉(zhuǎn)機構(gòu)的慣組裝在轉(zhuǎn)臺上, IMU初始位置為東北天, IMU 繞慣組內(nèi)、 外框轉(zhuǎn)動α、β角度后到某一固定位置, 而后操作轉(zhuǎn)臺使IMU 繞北向以ω角速度連續(xù)旋轉(zhuǎn)多個整數(shù)周, 轉(zhuǎn)動完成后靜置一段時間。 IMU “轉(zhuǎn)到某一位置-繞北向轉(zhuǎn)動多個整數(shù)周-靜置” 是一個動作序列, 連續(xù)做圖4 所示6 個IMU “轉(zhuǎn)到不同位置” 的動作序列即可辨識出6 個敏感軸偏移誤差參數(shù)。 IMU 繞天向（重力方向）連續(xù)轉(zhuǎn)動會旋轉(zhuǎn)調(diào)制掉敏感軸偏移誤差形成的等效安裝誤差, 所以采用IMU 繞北向連續(xù)轉(zhuǎn)動的方式激勵敏感軸偏移誤差。

圖4 位置編排方案Fig.4 Schematic diagram of position rotation scheme

圖5 捷聯(lián)慣組在轉(zhuǎn)臺上的安裝示意圖Fig.5 Installation diagram of SIMU on the turntable

2.2 參數(shù)可辨識性分析

標定方案第1 步標定出的24 個誤差參數(shù)是非常接近真實值的, 將其作為第2 步誤差標定的初值, 則第2 步的導(dǎo)航誤差主要由敏感軸偏移誤差引起。 通過對儀表24 個誤差進行溫度補償, 第2 步慣組IMU 連續(xù)旋轉(zhuǎn)時陀螺標度因數(shù)誤差對導(dǎo)航的影響可以忽略, 則第2 步的“一個動作序列” 激勵出的敏感軸偏移誤差如下:

IMU 初始位置為東北天（記為b0）, IMU 繞慣組內(nèi)框轉(zhuǎn)動α、 外框轉(zhuǎn)動β（記為b1）, 而后IMU 繞北向轉(zhuǎn)動θ（記為b）, 則IMU 轉(zhuǎn)動過程中的姿態(tài)矩陣為

IMU 繞北向轉(zhuǎn)動角速度ω?ωie, 轉(zhuǎn)動時間tr＜300s, 所以轉(zhuǎn)動過程中ωie對導(dǎo)航的影響可以忽略,陀螺敏感到的理想角速度為

帶入式（12）得陀螺測量誤差為

陀螺測量誤差在n系的投影為

式（23）中,fn=［0 0g］T。

轉(zhuǎn)動過程中忽略ωie對導(dǎo)航的影響, 陀螺測量誤差導(dǎo)致的姿態(tài)誤差為［13］

式（24）兩邊對時間積分, 得轉(zhuǎn)動前后的姿態(tài)誤差為

式（25） 中,θ0=2kπ（k=1, 2, 3, …） 為IMU繞北向轉(zhuǎn)動總角度。 可以看出, 轉(zhuǎn)動前后姿態(tài)角誤差與IMU 轉(zhuǎn)動總角度成正比, 比值大小是敏感軸偏移誤差的線性組合, 說明連續(xù)旋轉(zhuǎn)條件下,敏感軸偏移誤差會導(dǎo)致姿態(tài)角誤差隨轉(zhuǎn)動角度線性增大。 因此, 此連續(xù)轉(zhuǎn)動方式可以激勵出敏感軸偏移誤差, 進而用Kalman 濾波辨識出此誤差。圖4 中的6 個序列位置編排方案可以降低6 個參數(shù)之間的耦合度, 提高參數(shù)的可辨識度。

2.3 參數(shù)辨識的必要性分析

陀螺誤差參數(shù)對陀螺測量結(jié)果和慣導(dǎo)導(dǎo)航結(jié)果有顯著影響時, 才有必要對其進行辨識與補償。 下面以慣導(dǎo)繞北向連續(xù)轉(zhuǎn)動為例, 分析敏感軸偏移誤差對導(dǎo)航結(jié)果的影響。 慣組雙框架導(dǎo)航時處于鎖緊狀態(tài), 對應(yīng)式（25） 中α=0°、β=0°,由圖2 的有限元分析結(jié)果可知Tijj（i≠j,i=x,y,z;j=x,y,z）≈1（″） /g, 代入式（25）得慣導(dǎo)在1g作用下繞北向連續(xù)轉(zhuǎn)動10 周產(chǎn)生的姿態(tài)角誤差為

對于高精度激光捷聯(lián)慣導(dǎo)而言, 這一誤差是非常大的, 且隨著慣組過載的增大和轉(zhuǎn)動角度的增大, 敏感軸偏移誤差導(dǎo)致的姿態(tài)誤差會更大。除此之外, 在更為復(fù)雜的線角運動工況下, 此誤差對導(dǎo)航結(jié)果的影響也是很顯著的。 因此, 必須對其進行辨識與補償。

2.4 仿真試驗驗證

為了驗證標定方案的可行性, 編寫C 語言程序進行仿真試驗, 24 個儀表誤差和6 個敏感軸偏移誤差給定值與估計值的比較結(jié)果如表1 所示。表1 中,Egyx、Egzx、Egxy、Egzy、Egxz、Egyz為陀螺安裝誤差角,Eaxy、Eaxz、Eayz為加速度計安裝誤差角。

表1 標定仿真參數(shù)的真實值和估計值比較Table 1 Comparison of calibration results for the true and estimated error parameters

由表1 可知, 24 個儀表誤差的估計精度均達到慣性儀表的一般要求, 6 個敏感軸偏移誤差的估計精度達到了0.01（″） /g, 初步證明標定方案是可行的。

3 實物試驗驗證

3.1 標定試驗

使用雙軸激光慣組和高精度三軸轉(zhuǎn)臺, 按照上述標定方案進行試驗。 第1 步標定時間大約50min, 第2 步IMU 繞慣組框架轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)速設(shè)為10（°） /s,繞北向轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速設(shè)為18（°） /s, 繞北向轉(zhuǎn)動時間為200s, 系統(tǒng)靜置時間為200s, 標定時間大約為40min。 表2 給出了第1 步19 位置標定24 個誤差參數(shù)的試驗結(jié)果和三次以此24 個誤差參數(shù)為基礎(chǔ)進行第2 步“6 個動作序列” 標定的試驗結(jié)果。 表2 中,Kg、Ka為陀螺、 加速度計標度因數(shù)。

表2 試驗標定結(jié)果Table 2 Calibration results of test

由表2 可知, 三組試驗標定出的6 個敏感軸偏移誤差的量級是符合實際仿真結(jié)果的, 初步說明該方法可以標定出6 個敏感軸偏移誤差, 但其標定結(jié)果的準確性還需要根據(jù)補償6 個敏感軸偏移誤差前后的姿態(tài)誤差變化情況來確定。

3.2 導(dǎo)航驗證試驗

為了驗證標定結(jié)果的準確性和誤差補償效果,在補償?shù)艏铀俣扔嫵叽缧?yīng)和二次平方項誤差的基礎(chǔ)上, 設(shè)計以下導(dǎo)航試驗。 第一組導(dǎo)航試驗步驟如下: 1）將僅補償24 個傳統(tǒng)器件誤差的程序?qū)懭霊T組計算機中; 2）慣組放置在三軸轉(zhuǎn)臺上, 慣組初始位置X指天,Y指東,Z指北; 3）慣組在初始位置對準完畢進入導(dǎo)航狀態(tài); 4）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)臺帶動慣組繞東向以18（°） /s 的速度勻速轉(zhuǎn)動3600°; 5）慣組轉(zhuǎn)動完成后回到初始天東北位置靜態(tài)導(dǎo)航500s 后斷電; 6）做一組對比試驗, 將補償24 個傳統(tǒng)器件誤差和6 個敏感軸偏移誤差的程序?qū)懭霊T組計算機中, 重復(fù)步驟2 ～步驟5。 第二組導(dǎo)航試驗除步驟4 為慣組繞北向轉(zhuǎn)3600°外, 其余步驟與第一組試驗一致。 導(dǎo)航試驗環(huán)境如圖6 所示。

兩組試驗補償與未補償敏感軸偏移誤差的導(dǎo)航姿態(tài)對比結(jié)果如圖7、 圖8 所示, 導(dǎo)航輸出橫滾角和航向角的值根據(jù)定義會在臨界位置發(fā)生變化,其實際過程是連續(xù)不斷的。 圖7、 圖8 中補償敏感軸偏移誤差前后姿態(tài)角差值的量級相對于姿態(tài)角本身的量級太小, 所以圖7、 圖8 中看不出姿態(tài)角的細微差別。 圖9、 圖10 給出了補償前后導(dǎo)航姿態(tài)的具體差值。

圖8 試驗二導(dǎo)航姿態(tài)對比Fig.8 Comparison of navigation attitude in Group 2

圖9 試驗一導(dǎo)航姿態(tài)差值Fig.9 Difference of navigation attitude in Group 1

圖10 試驗二導(dǎo)航姿態(tài)差值Fig.10 Difference of navigation attitude in Group 2

由圖7 ～圖10 可知, 未補償敏感軸偏移誤差時, 隨著慣組轉(zhuǎn)動周數(shù)的增加, 第一組俯仰角誤差和第二組橫滾角誤差不斷增大。 補償敏感軸偏移誤差后, 這兩項姿態(tài)誤差不隨慣組轉(zhuǎn)動周數(shù)的增加而增大。

補償與未補償敏感軸偏移誤差的慣組轉(zhuǎn)動前后姿態(tài)角偏移量對比結(jié)果如表3 所示。

表3 導(dǎo)航姿態(tài)對比Table 3 Comparison of the navigation attitude

由表3 可知, 補償與未補償敏感軸偏移誤差的初始對準結(jié)果相差不大, 這是因為對準時IMU 繞天向轉(zhuǎn)動, 敏感軸偏移誤差對導(dǎo)航的影響被旋轉(zhuǎn)調(diào)制。 未補償敏感軸偏移誤差時, 慣組轉(zhuǎn)10 圈回到原位的導(dǎo)航姿態(tài)角相較于轉(zhuǎn)動前偏移很大。 其中, 第一組的俯仰角、 第二組的俯仰角以及橫滾角偏移量達到20″以上。 第二組的俯仰角偏移量很大程度上是由陀螺標度因數(shù)誤差導(dǎo)致的, 第一組的俯仰角偏移量和第二組的橫滾角偏移量很大程度上是由敏感軸偏移誤差導(dǎo)致的。

補償敏感軸偏移誤差后, 第一組俯仰角偏移量由-27.00″減小為-5.40″, 第二組橫滾角偏移量由25.56″減小為-0.72″。 說明補償敏感軸偏移誤差后, 慣組連續(xù)旋轉(zhuǎn)下的姿態(tài)誤差大幅減小。

補償與未補償敏感軸偏移誤差的導(dǎo)航速度對比結(jié)果如圖11、 圖12 所示。

圖11 試驗一導(dǎo)航速度對比Fig.11 Comparison of navigation velocity in Group 1

圖12 試驗二導(dǎo)航速度對比Fig.12 Comparison of navigation velocity in Group 2

由圖11、 圖12 可知, 補償敏感軸偏移誤差前后, 第一組慣組轉(zhuǎn)動200s 的東向速度誤差由-0.12m/s 減小為-0.02m/s, 北向、 天向速度誤差不變; 第二組慣組轉(zhuǎn)動200s 的北向速度誤差由0.17m/s 減小為0.05m/s, 東向、 天向速度誤差不變。 說明補償敏感軸偏移誤差可以減小慣導(dǎo)轉(zhuǎn)動過程中的速度誤差。 補償敏感軸偏移誤差前后,第一組慣組轉(zhuǎn)動后靜態(tài)導(dǎo)航500s 的東向速度誤差由-0.64m/s 減小為-0.10m/s, 北向、 天向速度誤差也有減小; 第二組慣組轉(zhuǎn)動后靜態(tài)導(dǎo)航500s的北向速度誤差由0.73m/s 減小為0.06m/s, 東向、 天向速度誤差也有減小。 說明補償敏感軸偏移誤差可以提高慣導(dǎo)轉(zhuǎn)動后的導(dǎo)航精度。 試驗中慣導(dǎo)動態(tài)導(dǎo)航精度提高80%以上, 補償效果顯著,也說明標定結(jié)果準確。

4 結(jié)論

連續(xù)旋轉(zhuǎn)下機抖激光陀螺敏感軸偏移會導(dǎo)致導(dǎo)航精度急速下降, 必須對其進行標定與補償。本文建立了機抖激光陀螺敏感軸偏移誤差模型,設(shè)計了一種標定方法, 使用“6 個動作序列” 位置編排方案對敏感軸偏移誤差進行激勵, 并用Kalman 濾波標定出此誤差。 誤差補償后, 慣導(dǎo)系統(tǒng)連續(xù)旋轉(zhuǎn)工況下的導(dǎo)航精度提高80%以上。 該誤差參數(shù)標定與補償方法能提升慣導(dǎo)系統(tǒng)動態(tài)精度,具有一定工程價值。