趙 騫, 譚 堯, 吳 波, 蔣 平,*, 郭 波

(1. 國(guó)防科技大學(xué)系統(tǒng)工程學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410005; 2. 國(guó)防科技大學(xué)信息通信學(xué)院, 陜西 西安 710106)

0 引 言

冗余是提高系統(tǒng)可靠性的重要技術(shù),在工業(yè)和軍事裝備上被廣泛應(yīng)用[1-3],其可被進(jìn)一步劃分為熱備、溫備與冷備3種。熱備指的是工作部件與備份部件處于相同的工作狀態(tài),冷備則認(rèn)為備份部件在貯備期間不工作,失效率為零,而溫備的部件失效率介于熱備和冷備之間。n中取k冷備系統(tǒng)共由n個(gè)部件組成,至少需要k個(gè)部件正常工作才可以保證系統(tǒng)的正常運(yùn)行。當(dāng)工作位置部件發(fā)生故障,備份部件依次替換失效的工作部件繼續(xù)工作,直至系統(tǒng)中能夠正常工作的部件總數(shù)小于k時(shí),冷備系統(tǒng)失效。

從裝備質(zhì)量特性與管理的角度,常常會(huì)關(guān)心當(dāng)前正常工作的裝備產(chǎn)品還能繼續(xù)運(yùn)行的時(shí)間,這就是產(chǎn)品的剩余壽命。準(zhǔn)確的剩余壽命預(yù)測(cè)對(duì)于工業(yè)系統(tǒng)、裝備系統(tǒng)任務(wù)完成、維修以及更換而言均意義重大，因而對(duì)復(fù)雜裝備系統(tǒng)的剩余壽命預(yù)測(cè)具有極大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值和戰(zhàn)略意義。然而，因冷備系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,對(duì)其剩余壽命估計(jì)的研究卻相對(duì)較少。

許雙偉等[4]通過(guò)分析部件狀態(tài)之間的關(guān)系,并基于最小割集理論提出了一種計(jì)算可靠度和平均故障間隔時(shí)間的仿真算法。同時(shí),基于不確定性理論,推導(dǎo)了3種不可修冷備系統(tǒng)的可靠度和平均失效時(shí)間(mean time to failure, MTTF)的解析表達(dá)式[5]。利用極大似然原理、Bayes估計(jì)和經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì),部件服從Gamma分布的冷備系統(tǒng)失效率、可靠度以及平均壽命的估計(jì)方法可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6-7]。廣義近似置信限以及E-Bayes方法在文獻(xiàn)[8]中進(jìn)行了研究。但是以上研究只針對(duì)n中取1冷備的特殊情況,并且缺少對(duì)剩余壽命估計(jì)的討論。更進(jìn)一步,Eryilmaz[9]通過(guò)計(jì)算得到了一個(gè)冷備部件的表決系統(tǒng)平均剩余壽命,但是當(dāng)部件壽命分布復(fù)雜時(shí),該方法同樣面臨局限性。應(yīng)用Farlie-Gumbel-Morgenstern Copula函數(shù)完成對(duì)可靠度和MTTF的估計(jì)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[10-11]。事實(shí)上,這些研究也僅考慮了部件服從指數(shù)分布的情況。

雖然對(duì)于冷備系統(tǒng)剩余壽命的研究較少,但是對(duì)其可靠度的估計(jì)方法的研究相對(duì)較為成熟。周仲夏等[12]通過(guò)推導(dǎo)得到了n中取1的冷備系統(tǒng)可靠度的閉合表達(dá)式,類似研究也可參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。通過(guò)運(yùn)用馬爾可夫過(guò)程,2n+1中取n的特殊冷備系統(tǒng)在文獻(xiàn)[14]中進(jìn)行了研究,類似研究還可參見(jiàn)文獻(xiàn)[15-17]。這些方法的優(yōu)勢(shì)是可以獲得閉合表達(dá)式,但是以上結(jié)論必須基于部件均服從相同指數(shù)分布這一假設(shè)。

由于計(jì)算較為復(fù)雜,數(shù)值計(jì)算和Bayes理論等方法得到了進(jìn)一步應(yīng)用。Levitin等[18]提出了基于通用生成函數(shù)獲取n中取k的冷備系統(tǒng)可靠度函數(shù)的方法。這也為本文進(jìn)行剩余壽命估計(jì)奠定了重要基礎(chǔ)。事實(shí)上,在部件壽命已知的情況下,冷備系統(tǒng)可靠度可以通過(guò)卷積進(jìn)行計(jì)算,但是往往由于計(jì)算復(fù)雜,無(wú)法或者難以通過(guò)推導(dǎo)得到冷備系統(tǒng)可靠度的解析表達(dá)式。Amari等[19]通過(guò)梯形法實(shí)現(xiàn)了卷積的近似計(jì)算。一些學(xué)者嘗試運(yùn)用Bayes理論進(jìn)行可靠度估計(jì)[20-22]。Jia等[23]基于馬爾可夫鏈-蒙特卡羅方法獲得可靠度Bayes估計(jì)。

綜上所述,對(duì)于n中取k的冷備系統(tǒng)剩余壽命的估計(jì)比較困難,特別是當(dāng)部件服從復(fù)雜分布時(shí),相關(guān)研究更為缺乏。基于此,本文首先研究了剩余壽命估計(jì)與可靠度函數(shù)之間的關(guān)系,證明了剩余壽命計(jì)算的核心是獲得系統(tǒng)可靠度,然后通過(guò)研究給出解析方法、數(shù)值方法以及仿真方法,獲得了冷備系統(tǒng)任意時(shí)刻的可靠度,在此基礎(chǔ)上基于組合辛普森公式,提出一種基于任意時(shí)刻可靠度近似計(jì)算剩余壽命的方法,高效、準(zhǔn)確地獲得了冷備系統(tǒng)剩余壽命的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。

1 基于可靠度函數(shù)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法

1.1 剩余壽命的概率密度函數(shù)

假設(shè)T為產(chǎn)品壽命,F(t)、f(t)和R(t) 分別表示產(chǎn)品失效時(shí)間的累積分布函數(shù)(cumulative distribution function, CDF)、概率密度函數(shù)以及可靠度函數(shù)。則該產(chǎn)品在工作到當(dāng)前時(shí)刻τ時(shí),剩余壽命分布函數(shù)FL(t)[9]為

(1)

式(1)對(duì)t求導(dǎo),可得剩余壽命概率密度函數(shù)為

(2)

1.2 可靠度函數(shù)與剩余壽命

τ時(shí)刻,剩余壽命點(diǎn)估計(jì)Eτ(TL)為

(3)

將式(2)代入(3)可得

其中,

將其代入式(3)可得剩余壽命點(diǎn)估計(jì)為

(4)

假設(shè)剩余壽命100(1-α)%置信水平下的雙側(cè)區(qū)間為[μL,μH],則μL與μH需滿足:

(5)

也可記為

(6)

從式(4)和式(6)均不難看出,要得到冷備系統(tǒng)剩余壽命的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì),核心是獲得該系統(tǒng)可靠度。本文將在第2節(jié),針對(duì)冷備系統(tǒng)組成部件壽命分布的不同情況,依次介紹解析方法、數(shù)值方法以及仿真方法3種可靠度計(jì)算方法。

2 可靠度的計(jì)算

2.1 解析方法計(jì)算可靠度

對(duì)于部件服從相同指數(shù)分布的情況,根據(jù)已有文獻(xiàn)研究,可以通過(guò)解析推導(dǎo)得到冷備系統(tǒng)可靠度的閉合表達(dá)式。

例如n中取1的冷備系統(tǒng),假設(shè)n個(gè)部件的壽命為X1,X2,…,Xn,相互獨(dú)立且均服從失效率為λ0的指數(shù)分布,則冷備系統(tǒng)的可靠度可以表示為

R(t)=1-P(X1+X2+…+Xn≤t)

由拉普拉斯變換及逆變換[12]可得

(7)

更一般地,對(duì)于n中取k冷備系統(tǒng),部件仍服從失效率為λ0的指數(shù)分布,可靠度[24]為

(8)

文獻(xiàn)[25]推導(dǎo)了該種情況下τ時(shí)刻冷備系統(tǒng)剩余壽命的閉合表達(dá)式為

(9)

(10)

式(9)與式(10)的推導(dǎo)結(jié)果將在算例中進(jìn)行運(yùn)用,作為該種情況下的理論值與本文第2.2節(jié)所提方法進(jìn)行對(duì)比。

2.2 數(shù)值方法計(jì)算可靠度

由于指數(shù)分布相對(duì)簡(jiǎn)單,可以推導(dǎo)得到對(duì)應(yīng)的冷備系統(tǒng)剩余壽命閉合表達(dá)式,對(duì)于更為復(fù)雜的情況,數(shù)值方法提供了新的解決思路。設(shè)k個(gè)工作部件中第i個(gè)(1≤i≤k)工作部件和對(duì)應(yīng)該位置的備份部件壽命分布CDF分別為Fi(t)和Hi(t),令Gi, j(t)表示第i個(gè)部件所在的位置至少有j個(gè)部件已經(jīng)失效。不難得到

Gi, j(t)=Gi, j-1(t)*Hi(t)

(11)

式中：Gi,1(t)=Fi(t)。并且，

(12)

關(guān)于式(11)中的卷積,可以將積分區(qū)間劃分為m個(gè)子區(qū)間,采用梯形法則進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,計(jì)算精度隨著m的增大而提高[19]。令Pi, j(t)表示t時(shí)刻在i個(gè)部件所在位置上正好發(fā)生j個(gè)失效的概率,因而

Pi, j(t)=Gi, j(t)-Gi, j+1(t)

(13)

且Pi,0(t)=1-Gi,1(t)。

令Pj(t)表示t時(shí)刻系統(tǒng)中共有j個(gè)部件失效,容易看出Pj(t)可由所有位置的Pi, j(t)計(jì)算得到。則當(dāng)系統(tǒng)失效個(gè)數(shù)小于n-k+1時(shí),系統(tǒng)正常工作,所以冷備系統(tǒng)的可靠度為

(14)

值得一提的是,上述數(shù)值計(jì)算方法要求同一位置上工作的部件需要服從相同分布,因而也面臨一定局限性。

2.3 仿真方法計(jì)算可靠度

對(duì)于更為復(fù)雜的情況,可采用仿真抽樣從而得到任意時(shí)刻的可靠度,抽樣算法如算法1所示。

算法1 冷備系統(tǒng)可靠度估計(jì)抽樣方法已知:給定系統(tǒng)n個(gè)部件壽命分布概率密度函數(shù)fi(t)(1≤i≤n) 和抽樣次數(shù)S,任意工作時(shí)刻τ,令count=0。步驟1 由fi(t)(1≤i≤n)分別抽樣得到部件壽命樣本L1,L2,…,Ln,令工作位置的累計(jì)壽命CLi=Li(1≤i≤k),p=1;步驟2 尋找到所有CLi (1≤i≤k)中的最小值,在該CLi上增加Lk+p,并令p=p+1;步驟3 重復(fù)步驟2,(n-k)次后,可以得到最終k個(gè)CLi值,則系統(tǒng)壽命Ls=miniCLi(1≤i≤k);步驟4 If Ls≥τ, then count+1;步驟5 重復(fù)步驟1～步驟4 S次,τ時(shí)刻的可靠度近似值為R(τ)=countS。

需要指出的是,仿真方法適用于分布更為復(fù)雜的情況,在實(shí)際應(yīng)用中,僅需要將算法進(jìn)行對(duì)應(yīng)調(diào)整即可,本文在算例中也將進(jìn)行詳細(xì)分析。

3 剩余壽命的近似計(jì)算

3.1 組合辛普森公式

第2節(jié)討論了不同情況下獲得冷備系統(tǒng)任意時(shí)刻可靠度的方法。由式(4)可知,要對(duì)分子中的積分進(jìn)行計(jì)算，相對(duì)復(fù)雜,很多情況下難以推導(dǎo)得到閉合表達(dá)式,即使獲得了冷備系統(tǒng)可靠度的解析表達(dá),由于其形式復(fù)雜,積分計(jì)算工作量也很大,因此本節(jié)基于組合辛普森公式引入近似計(jì)算方法。近似計(jì)算方法簡(jiǎn)單高效,適用范圍廣,表現(xiàn)出了更大的優(yōu)勢(shì)。利用可靠度函數(shù)與剩余壽命的關(guān)系,在通過(guò)解析、數(shù)值、仿真方法獲得任意時(shí)刻系統(tǒng)可靠度的基礎(chǔ)上,可以通過(guò)求解得到剩余壽命的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。

對(duì)于式(4),本文采用組合辛普森公式進(jìn)行計(jì)算。

如果f(x)∈C4[a,b],則存在ξ∈[a,b],使得[a,b]上w個(gè)子區(qū)間的組合辛普森公式和截?cái)嗾`差項(xiàng)[26-27]滿足:

(15)

式中：h=(b-a)/w;f(4)(ξ)為f(x)在ξ的四階導(dǎo)數(shù)。

(16)

式中：M為足夠大的正數(shù);w為劃分的區(qū)間個(gè)數(shù),且h=(M-τ)/ω。顯然,M的取值對(duì)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生影響,相關(guān)分析見(jiàn)第4.1.1節(jié)。

3.2 誤差分析

上述方法計(jì)算剩余壽命的誤差主要存在于采用梯形法則近似計(jì)算卷積產(chǎn)生的誤差,采用辛普森公式求解積分產(chǎn)生的截?cái)嗾`差以及將無(wú)限區(qū)間的積分轉(zhuǎn)化為有限區(qū)間積分所產(chǎn)生的截?cái)嗾`差。一般地,區(qū)間劃分個(gè)數(shù)m,ω越大,以及所選有限區(qū)間[τ,M]中的區(qū)間上限M越大,計(jì)算精度越高,誤差也越小。剩余壽命方差推導(dǎo)如下:

(17)

其中,

(18)

所以,隨機(jī)變量TL的方差為

(19)

4 算例分析

4.1 部件服從指數(shù)分布的冷備系統(tǒng)

以5中取2的冷備系統(tǒng)為研究對(duì)象,假設(shè)部件完全相同并且相互獨(dú)立,均服從失效率λ0=0.01h-1的指數(shù)分布。

4.1.1 區(qū)間的確定

由式(10)和式(19),可得壽命分布的期望為E(TL)=200 h,方差為var(TL)=1×104h2。表1展示了在積分區(qū)間上限M的不同設(shè)定下,壽命的點(diǎn)估計(jì)計(jì)算結(jié)果。

表1 不同積分區(qū)間下的相對(duì)誤差

由表1可知,一般情況下,取值區(qū)間上限M越大,計(jì)算所得到的壽命以及剩余壽命點(diǎn)估計(jì)值越準(zhǔn)確。分析表1可知,積分區(qū)間上限為E(TL)+4σ時(shí),誤差已經(jīng)明顯降到1%以下,因而可確定剩余壽命積分區(qū)間范圍為[τ,E(TL)+4σ]時(shí),能基本滿足誤差要求,當(dāng)然在計(jì)算時(shí)間允許范圍內(nèi),M的取值越大,估計(jì)結(jié)果越精確。

4.1.2m的確定

在確定積分區(qū)間上限M的基礎(chǔ)上,需要研究使用梯形法則時(shí),區(qū)間劃分個(gè)數(shù)m的確定方法和原則。為了更清晰地進(jìn)行比較,首先利用式(1)和式(8)獲得當(dāng)前工作時(shí)刻為τ=20 h時(shí)剩余壽命的理論CDF,然后通過(guò)本文提出的數(shù)值方法,分別畫(huà)出m分別取10,100,500時(shí),剩余壽命的CDF圖像，如圖1所示。

圖1 不同m設(shè)定下的CDF比較Fig.1 Comparison of CDFs with different m

需要說(shuō)明的是,為了便于對(duì)比,圖1(a)和圖1(b)均插入了局部放大圖,且放大比例依次增大。通過(guò)分析圖1(a)可以看到,在3種m設(shè)定下,誤差均比較小。但在繼續(xù)局部放大得到圖1(b)后可以發(fā)現(xiàn),m=10所對(duì)應(yīng)的CDF圖像與理論CDF圖像存在較明顯的偏差,但是m=100和m=500所得到的兩條曲線仍然沒(méi)有明顯區(qū)別。因而一般情況下,m值越大，結(jié)果越準(zhǔn)確,考慮計(jì)算成本,令m=100更好。

4.1.3w的確定

表2 不同w下的相對(duì)誤差表

4.1.4 剩余壽命驗(yàn)證

第4.1.1至第4.1.3節(jié)先后研究了影響近似計(jì)算方法精度的因素,為了進(jìn)一步驗(yàn)證在部件服從相同指數(shù)分布情況下,n中取k的冷備系統(tǒng)剩余壽命估計(jì)方法的準(zhǔn)確性,改變參數(shù)值,利用式(7)求得冷備系統(tǒng)可靠度函數(shù),進(jìn)而利用式(16)計(jì)算出剩余壽命近似值,并將該近似計(jì)算結(jié)果與由文獻(xiàn)[25]推導(dǎo)的剩余壽命點(diǎn)估計(jì)閉合表達(dá)式(式(9))進(jìn)行比較，比較結(jié)果如表3所示。

表3 不同參數(shù)下的剩余壽命估計(jì)結(jié)果

由表3可以看出,在部件壽命服從相同指數(shù)分布的情況下,本文提出的數(shù)值方法求解冷備系統(tǒng)剩余壽命的方法計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確,誤差均在可接受范圍內(nèi)。

4.2 部件服從相同威布爾分布的冷備系統(tǒng)

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法,假設(shè)部件壽命服從相同的威布爾分布,威布爾分布CDF如下:

(20)

式中:η,β為威布爾分布參數(shù)[28-30]。

針對(duì)部件服從威布爾分布的情況,運(yùn)用第2.2節(jié)數(shù)值方法獲得任意時(shí)刻該冷備系統(tǒng)的可靠度,然后運(yùn)用辛普森公式得到剩余壽命的近似估計(jì)。為了進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證,與仿真方法進(jìn)行對(duì)比,設(shè)定抽樣次數(shù)S=10 000，驗(yàn)證結(jié)果如表4所示。

表4 部件服從威布爾分布時(shí)不同參數(shù)下的剩余壽命估計(jì)結(jié)果

由于CDF圖像能夠反應(yīng)更詳細(xì)的比較信息,因而根據(jù)表4第1組實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置(n=5,k=2,η=100,β=2,τ=20),利用仿真方法和數(shù)值方法繪制的剩余壽命CDF圖像如圖2所示。

圖2 部件服從威布爾分布情況下仿真方法和數(shù)值方法 得到的CDF比較Fig.2 Comparison of CDFs between simulation method and numerical method with components following Weibull distribution

仍以表4第1組實(shí)驗(yàn)為例,在得到任意時(shí)刻可靠度的基礎(chǔ)上,由式(9)可以分別得到兩種方法的剩余壽命區(qū)間估計(jì),假設(shè)置信水平為90%,比較結(jié)果如表5所示。

表5 實(shí)驗(yàn)1剩余壽命點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)

通過(guò)表4、表5和圖2可以發(fā)現(xiàn),本文提出的數(shù)值方法無(wú)論從剩余壽命點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)或是CDF圖像考量,結(jié)果都比較準(zhǔn)確,誤差在可接受范圍內(nèi)。

4.3 更為復(fù)雜情況下的冷備系統(tǒng)

對(duì)于更為復(fù)雜的情況,第2.1節(jié)與第2.2節(jié)提出的解析方法與數(shù)值方法均無(wú)法獲得冷備系統(tǒng)可靠度,所以采用第2.3節(jié)所提出的仿真抽樣方法。以8中取4的冷備系統(tǒng)為例,假設(shè)4個(gè)位置部件均服從威布爾分布,分布參數(shù)(η,β)分別設(shè)定為(110,2.25), (120,2.50), (130,2.75), (140,3.00)。其工作到τ=20 h 時(shí)系統(tǒng)未失效,通過(guò)仿真抽樣,近似計(jì)算得到其剩余壽命的估計(jì)值為150.95 h,區(qū)間估計(jì)為(90.80,218.11)h。其剩余的CDF圖像如圖3所示。

圖3 不同位置部件服從不同威布爾分布時(shí)冷備系統(tǒng) 剩余壽命CDF圖像Fig.3 CDF image of residual life of cold standby system for components at different positions following different Weibull distributions

仍以上述情況為例,假設(shè)初始時(shí),工作部件與冷備部件分別服從不同威布爾分布,分布參數(shù)(η,β)分別為 (100,2), (140,3), 其工作到τ=20 h 時(shí)系統(tǒng)未失效,則通過(guò)計(jì)算得到剩余壽命估計(jì)值為140.55 h,區(qū)間估計(jì)為 (71.11,219.08)h。剩余的CDF圖像如圖4所示。

圖4 部件服從不同威布爾分布時(shí)冷備系統(tǒng)剩余壽命CDF圖像Fig.4 CDF image of residual life of cold standby system for components following different Weibull distributions

通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)可以看出,對(duì)于更為復(fù)雜的情況,解析方法、數(shù)值方法面臨局限性,但是仿真方法在犧牲了可接受的時(shí)間成本的基礎(chǔ)上,彌補(bǔ)了前者的不足。

5 實(shí)例計(jì)算

冷備作為重要冗余技術(shù),在航空航天產(chǎn)品中得到了非常廣泛的應(yīng)用。例如，文獻(xiàn)[31]研究了一種工程中存在的典型冷備系統(tǒng),即指數(shù)-威布爾混合型冷備系統(tǒng)。該系統(tǒng)工作部件為電子設(shè)備,服從指數(shù)分布,而冷貯備部件為機(jī)電設(shè)備,服從威布爾分布。由于推導(dǎo)復(fù)雜,文獻(xiàn)[31]也只是研究了一備一系統(tǒng),即2中取1的冷備系統(tǒng)。本文針對(duì)文獻(xiàn)[31]所提到的開(kāi)關(guān)完全可靠和開(kāi)關(guān)壽命為指數(shù)分布兩種不同情況進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。

5.1 開(kāi)關(guān)完全可靠

當(dāng)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)完全可靠時(shí),在模擬分析中,文獻(xiàn)[31]假設(shè)工作部件服從失效率為λ=0.15的指數(shù)分布,冷貯備部件服從η=2,β=1.5的威布爾分布。

運(yùn)用本文第2.2節(jié)所提出的基于梯形法則的計(jì)算方法,可以快速得到任務(wù)時(shí)刻τ=2時(shí),該冷備系統(tǒng)的可靠度為0.916 7。這與文獻(xiàn)[31]中的計(jì)算結(jié)果一致,說(shuō)明本文所提方法準(zhǔn)確合理。

文獻(xiàn)[32]基于Fiducial方法給出了冷備系統(tǒng)的置信下限,該方法同時(shí)也可以得到冷備系統(tǒng)可靠度的點(diǎn)估計(jì)。運(yùn)用該方法計(jì)算得到上述系統(tǒng)可靠度點(diǎn)估計(jì)為0.915 1,與本文方法及文獻(xiàn)[31]中方法的計(jì)算結(jié)果一致,再一次證明了本文方法的準(zhǔn)確性。同時(shí),利用文獻(xiàn)[32]中方法計(jì)算得到可靠度95%置信區(qū)間的下限為0.904 7。多次利用本文第2.3節(jié)中的仿真方法得到該系統(tǒng)的多個(gè)可靠度點(diǎn)估計(jì)樣本,同樣也可以計(jì)算得到可靠度置信下限,為0.903 0,與文獻(xiàn)[32]的計(jì)算結(jié)果一致。說(shuō)明本文方法也可以很好地解決置信下限點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題。

進(jìn)一步,在獲得任意時(shí)刻該冷備系統(tǒng)可靠度后,利用辛普森公式,計(jì)算得到該系統(tǒng)在工作時(shí)刻τ=2時(shí)，剩余壽命為7.105 5,剩余壽命90%置信區(qū)間估計(jì)為(0.518 5,20.825 7)。

根據(jù)剩余壽命計(jì)算結(jié)果,可以合理安排該冷備系統(tǒng)的更換、維修等策略,與文獻(xiàn)[31]僅僅給出冷備系統(tǒng)可靠度相比,文獻(xiàn)[32]給出的可靠度置信下限更具意義。

5.2 開(kāi)關(guān)壽命為指數(shù)分布

文獻(xiàn)[31]還研究了轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)不可靠的情形,并且假設(shè)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)失效時(shí)間服從指數(shù)分布,失效率為λb=0.15。同時(shí)，工作部件服從失效率λ為 0.15的指數(shù)分布,冷貯備部件服從η=3,β=1.5的威布爾分布。此時(shí),需要采用第2.3節(jié)的仿真方法獲取冷備系統(tǒng)可靠度。

根據(jù)仿真抽樣樣本,該冷備系統(tǒng)壽命樣本及其擬合概率密度曲線如圖5所示。

圖5 開(kāi)關(guān)壽命為指數(shù)分布時(shí)冷備系統(tǒng)壽命概率密度曲線Fig.5 Probability density function curve of cold standby system life with exponentially distributed switch life

通過(guò)計(jì)算可以得到,任務(wù)時(shí)刻τ=2時(shí)的可靠度為0.918 7,這與文獻(xiàn)[31]中的計(jì)算結(jié)果(0.918 8)基本一致。同時(shí),根據(jù)本文方法可以得到任意時(shí)刻可靠度,所以運(yùn)用辛普森公式便可以計(jì)算得到開(kāi)關(guān)壽命為指數(shù)分布時(shí)該冷備系統(tǒng)的剩余壽命為6.711 7,90%剩余壽命置信區(qū)間為(0.573 9,18.960 2)。

由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜,文獻(xiàn)[31]的研究具有如下局限性:① 僅考慮了2中取1冷備系統(tǒng);② 工作部件和備份部件分布形式固定,分別服從指數(shù)分布與威布爾分布;③ 僅研究了可靠度估計(jì),并未給出剩余壽命估計(jì)。本文所提方法解決了上述難題,并且通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)再次說(shuō)明,本文所提出的通過(guò)仿真獲取任意時(shí)刻可靠度、進(jìn)而估計(jì)剩余壽命的方法能夠解決部件分布復(fù)雜、開(kāi)關(guān)不可靠等更加多樣、復(fù)雜的實(shí)際情形,具有很好的適用性。

6 結(jié) 論

冷備系統(tǒng)日益受到關(guān)注,但是因其結(jié)構(gòu)復(fù)雜,針對(duì)復(fù)雜冷備系統(tǒng)剩余壽命的研究較少?；诖?本文提出了n中取k冷備系統(tǒng)剩余壽命點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的近似計(jì)算方法。通過(guò)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn),對(duì)于冷備系統(tǒng)剩余壽命估計(jì)的核心是獲得其可靠度函數(shù)。本文提供了不同情況下,獲得冷備系統(tǒng)可靠度的解析方法、數(shù)值方法以及仿真方法。在此基礎(chǔ)上,基于組合辛普森公式,利用上述方法得到任意時(shí)刻可靠度,便可完成冷備系統(tǒng)剩余壽命的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。

算例分析部分討論了與估計(jì)誤差密切相關(guān)的積分上限M、卷積區(qū)間劃分個(gè)數(shù)m、積分區(qū)間劃分個(gè)數(shù)w的一般確定原則,并且通過(guò)部件服從相同指數(shù)分布、威布爾分布兩種情況對(duì)本文提出的近似計(jì)算方法進(jìn)行了檢驗(yàn)。當(dāng)部件服從更為復(fù)雜的分布時(shí),本文所提方法仍可以解決剩余壽命點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)問(wèn)題,適用范圍廣。

同時(shí),本文在最后的實(shí)例計(jì)算部分,采用已有論文數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算,并與原論文計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,說(shuō)明了本文計(jì)算方法準(zhǔn)確可靠,同時(shí)也解決了原論文研究中存在的局限,具有較大的工程應(yīng)用價(jià)值。