杭慧娟

［摘? 要］ 概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一部分，要運(yùn)用整體建構(gòu)的方法來展現(xiàn). 在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，以“一元二次方程”的概念起始課為例，基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷一個(gè)新概念的生成過程，形成對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)知識(shí)的探討意識(shí). 通過單元教學(xué)，整體搭建從未知到已知的認(rèn)知橋梁.

［關(guān)鍵詞］ 整體建構(gòu)；起始課；問題串；單元教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：數(shù)學(xué)作為對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語言與工具，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在人文科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中發(fā)揮著越來越大的作用［1］. 這句話指出數(shù)學(xué)來源于生活，并且通過對(duì)客觀現(xiàn)象進(jìn)行抽象、概括共同屬性，從而得出各種數(shù)學(xué)概念與基本原理等.

課前思考

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生的已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，新知識(shí)的學(xué)習(xí)也不應(yīng)脫離學(xué)生已學(xué)的知識(shí). 數(shù)學(xué)教學(xué)要建立在數(shù)學(xué)單元的基礎(chǔ)上，運(yùn)用整體建構(gòu)的方法來展現(xiàn)，概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一部分，采用的方法亦如此. 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)新概念的方法：從問題情境中生成，從認(rèn)知沖突中產(chǎn)生.

概念起始課需要搭建起新知與舊知間的橋梁，使新知的產(chǎn)生不突兀，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將新知與舊知聯(lián)系起來，并將新知?dú)w類到舊知的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中.

“一元二次方程”（第1課時(shí)）的教學(xué)設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生通過情境回顧舊知，得到已經(jīng)學(xué)過的兩類方程：一元一次方程和二元一次方程，再從問題情境中列舉出新的方程，通過與舊知的對(duì)比，抽象概括出一元二次方程的概念. 學(xué)生通過學(xué)習(xí)一元二次方程的定義、一般形式、特殊形式，從而掌握從“一般”到“特殊”的學(xué)習(xí)方法. 學(xué)生經(jīng)歷一元二次方程的產(chǎn)生過程，明白數(shù)學(xué)來源于生活.通過引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)過的舊知“一元一次方程”“二元一次方程（組）”的研究方法，進(jìn)而梳理出一元二次方程的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí). 這一過程彰顯了知識(shí)的整體性，讓學(xué)生的了解數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性、連貫性和系統(tǒng)性，更好地理解數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn).

教學(xué)片段及分析

環(huán)節(jié)1? 情境引入，復(fù)習(xí)舊知

問題1：老師家孩子的游戲區(qū)域需要圍一個(gè)長方形的護(hù)欄，如果這個(gè)長方形護(hù)欄的長（x米）比寬多0.5米，周長為7米，你能列方程求出它的長與寬嗎？

生1：根據(jù)題目信息可列出方程1，2（x+x-0.5）=7.

問題2：如果這個(gè)長方形護(hù)欄的長（x米）與寬（y米）的關(guān)系不清楚，只知道周長為7，你能列方程表示出它的長與寬的關(guān)系嗎？

生2：根據(jù)長方形的周長公式可列出方程2，2x+2y=7.

追問1：上面列出的方程，我們都學(xué)過沒有？它們分別是什么方程？

生3：方程1和方程2分別是學(xué)過的一元一次方程和二元一次方程.

追問2：除了上面的一元一次方程和二元一次方程，我們還學(xué)過什么方程？

生4：還學(xué)過分式方程.

追問3：你是怎么區(qū)分分式方程與整式方程的？

生5：通過看分母有沒有未知數(shù)來區(qū)分.

追問4：對(duì)于整式方程中的一元一次方程，你是通過什么來判斷的？

（學(xué)生通過交流討論得出：一元一次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)x，并且未知數(shù)的次數(shù)是1次的整式方程）

環(huán)節(jié)2 類比舊知，引出新知

問題1：根據(jù)下列問題，自主探索，列出關(guān)于x的方程.

（1）4個(gè)完全相同的正方形的面積之和為25，求正方形的邊長x.

生6：4x2=25.

（2）一個(gè)長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長x.

生7：x（x-2）=100.

（3）把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長度與木條全長的積等于較長一段的長度的平方，求較短一段的長x.

師：你能根據(jù)題意列出方程嗎？

生8：x·1=（1-x）2.

問題2：觀察以上列出的方程，它們還是我們學(xué)過的方程嗎？

追問：上面的方程我們能化簡成等號(hào)右邊為0的形式嗎？

（化簡后得到4x²-25=0，x²-2x-100=0，x²-3x+1=0）

問題3：化簡后，這些方程與我們學(xué)過的方程有何相同之處和不同之處？

生9：這3個(gè)方程都是整式方程，都只有一個(gè)未知數(shù)x，且未知數(shù)x的次數(shù)不再是1次.

問題4：類比學(xué)過的一元一次方程，你覺得這個(gè)方程應(yīng)該如何命名？

（學(xué)生通過討論給這樣的方程命名為一元二次方程）

追問1：為什么叫一元二次方程？什么是“元”？“次”是指什么？

生10：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的個(gè)數(shù)就是“元”，“次”是指未知數(shù)的次數(shù).

追問2：每一個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是2次嗎？

生10：不是，方程4x²-25=0中未知數(shù)的次數(shù)是2次，方程x²-2x-100=0與方程x²-3x+1=0中未知數(shù)的次數(shù)既有1次又有2次.

追問3：那如何完善，得出一元二次方程的概念呢？

（由此問題引導(dǎo)學(xué)生討論交流，歸納定義）

環(huán)節(jié)3 歸納抽象，深化概念

問題1：一元一次方程的一般形式是怎樣的？

生11：用字母a，b表示常數(shù)，一元一次方程的一般形式是ax+b=0，其中a不等于0.

問題2：觀察上述一元二次方程，我們能得出一元二次方程的一般形式嗎？

生12：一元二次方程的一般形式可以表示為ax²+bx+c=0，其中a，b，c都是常數(shù)，且a≠0.

追問1：你能指出方程中的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是什么嗎？二次項(xiàng)的系數(shù)和一次項(xiàng)的系數(shù)又分別是什么？

追問2：方程4x²-25=0的二次項(xiàng)系數(shù)是多少？一次項(xiàng)系數(shù)是多少？常數(shù)項(xiàng)是什么？

追問3：由此你覺得a，b，c的取值有什么特點(diǎn)？你能舉出特殊的一元二次方程嗎？

（通過以上連續(xù)三個(gè)追問，引導(dǎo)學(xué)生合作交流，鞏固學(xué)生對(duì)概念的理解和應(yīng)用）

環(huán)節(jié)4 單元展望，明確方向

問題1：我們是如何研究一元一次方程的？我們經(jīng)歷了怎樣的研究過程？

生13：我們研究一元一次方程的思維過程為，實(shí)際問題→一元一次方程概念→解方程→應(yīng)用于實(shí)際問題.

問題2：你覺得我們要如何研究一元二次方程？你是怎么想到的？

（通過類比一元一次方程的研究方法和思維過程，學(xué)生很快就將一元一次方程的研究方法和思維過程遷移到一元二次方程的研究上來，得出和一元一次方程相同的研究方法和思維過程）

本節(jié)課的設(shè)計(jì)價(jià)值

1. 數(shù)學(xué)概念從情境中生成，從認(rèn)知沖突中產(chǎn)生

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，也是學(xué)生進(jìn)行各類思維活動(dòng)的載體.本次一元二次方程的概念教學(xué)采取了概念形成和概念同化同時(shí)進(jìn)行的方式. 創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過的知識(shí)，并在問題的解決中產(chǎn)生與已有知識(shí)相沖突但又有關(guān)聯(lián)的新知識(shí)，順利搭建認(rèn)識(shí)新概念的“腳手架”. 讓學(xué)生通過對(duì)一元一次方程的觀察，歸納出其本質(zhì)屬性，從而得到一元二次方程的概念. 這樣的教學(xué)，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又能構(gòu)建起學(xué)生的認(rèn)知體系，使概念的產(chǎn)生更加自然，同時(shí)也把概念的本質(zhì)屬性推廣到同類事物中去，從而得到概念的外延. 這樣的概念教學(xué)也符合章建躍博士指出的“概念教學(xué)必須讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程”［2］．

2. 類比學(xué)習(xí)，構(gòu)建知識(shí)的橫縱向體系

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比. 把一元二次方程的研究與一元一次方程的學(xué)習(xí)經(jīng)歷放在一起對(duì)比教學(xué)，體現(xiàn)了整體性的數(shù)學(xué)思維方式，使學(xué)生能思考方程與方程系統(tǒng)中的局部各類方程之間的關(guān)系，以及內(nèi)在結(jié)構(gòu)和研究方法的共同之處，從而更深入地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延.學(xué)生在學(xué)習(xí)了一元二次方程的概念后，主動(dòng)將該概念歸納到方程的系統(tǒng)中，使知識(shí)自成體系. 而類比學(xué)過的方程（組）來認(rèn)識(shí)一元二次方程的學(xué)習(xí)過程其實(shí)就是概念同化．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中，教師要“構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考”［2］，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，達(dá)到理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的目的．

3. 從課時(shí)到單元，發(fā)揮概念起始課的整體建構(gòu)功能

除了在知識(shí)的內(nèi)容層面上，不隔絕開與舊知的關(guān)聯(lián)，使新舊知識(shí)連貫整體，這節(jié)課還注重讓學(xué)生在概念的始課上明確后續(xù)的大致學(xué)習(xí)內(nèi)容. 當(dāng)學(xué)生心中有了學(xué)習(xí)的框架結(jié)構(gòu)，后續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容就會(huì)變得更加自然和必要. 一般，概念起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)與一般課程設(shè)計(jì)不同，它具有承前啟后的作用，既要讓學(xué)生看到新知產(chǎn)生的必然性，又要預(yù)見到新知如何發(fā)展，以及它的整體建構(gòu)功能. 學(xué)完一元二次方程的起始課后，學(xué)生還要在這節(jié)課預(yù)見后面要接著探究的學(xué)習(xí)內(nèi)容：如何解一元二次方程，以及一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用. 這樣從課時(shí)到單元的教學(xué)設(shè)計(jì)方式，讓這節(jié)概念起始課不僅“有血有肉，更有骨”.

4. 基于一般觀念，教會(huì)學(xué)生如何學(xué)數(shù)學(xué)

發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)理念提出后，我們一線教師都在思考，如何教學(xué)才能真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)樣核心素養(yǎng). 比如，在教學(xué)中不僅教會(huì)學(xué)生知識(shí)點(diǎn)，還教會(huì)學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)問題，如何分析問題，如何通過歸類與分析得出同類知識(shí)的屬性，以及在研究問題的過程中，使用了什么樣的思維方式和思想方法. 在本次教學(xué)設(shè)計(jì)中，師生共同經(jīng)歷了一元二次方程這個(gè)知識(shí)發(fā)生的全過程（如圖1）.

在經(jīng)歷這個(gè)全過程的學(xué)習(xí)后，學(xué)生建構(gòu)了對(duì)整個(gè)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)路徑和學(xué)習(xí)方法的整體性認(rèn)識(shí)，不僅知道學(xué)什么，還知道為什么學(xué)、怎么學(xué)、怎么用，通過滲透一般問題的研究方法，真正發(fā)展了他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

5. 設(shè)計(jì)問題串，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考

教師在理解教材、理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上［3］，站在整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的高度，設(shè)計(jì)問題串. 教師應(yīng)始終從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，有效設(shè)計(jì)由淺入深、由表及里的疑問和追問，啟發(fā)性地引導(dǎo)學(xué)生自主思考. 在問題串的引領(lǐng)下，學(xué)生始終參與其中，成為探究學(xué)習(xí)的主角，主動(dòng)概括和表達(dá)數(shù)學(xué)概念. 在富有靈氣的探討式的追問下，學(xué)生主動(dòng)思考問題的產(chǎn)生與發(fā)展，極大地激發(fā)了學(xué)生的探究欲望. 問題串的設(shè)計(jì)富有整體性和邏輯性，從復(fù)習(xí)回顧到新知產(chǎn)生，從抽象概括到說理論證，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］ 章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［3］ 杜育林. 整體把握 精心設(shè)計(jì)：以一元二次方程的概念教學(xué)為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（32）：15-17.