問題視角下數(shù)學(xué)例題的變式設(shè)計(jì)及思考

吳靜

［摘? 要］ 要想發(fā)揮例題教學(xué)的功能，除了精選典型例題，還要進(jìn)行例題變式的設(shè)計(jì). 可從問題的視角看例題，把例題看作源問題，通過水平變式和垂直變式這兩類問題的變式結(jié)構(gòu)分析并設(shè)計(jì)變式題，讓學(xué)生在不斷變式的過程中看清問題的本質(zhì)，達(dá)到對問題結(jié)構(gòu)的透徹理解，同時(shí)給出對水平變式和垂直變式的教學(xué)思考.

［關(guān)鍵詞］ 例題；問題；變式；教學(xué)思考

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分. 在學(xué)生習(xí)得例題的基本方法后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘例題的潛在因素，挖掘例題的教育功能. 在例題教學(xué)中，教師應(yīng)通過變式將例題的條件、結(jié)論、情境、問題結(jié)構(gòu)等進(jìn)行延展變通，使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握例題所闡述的概念、原理、規(guī)律，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn). 教師應(yīng)讓學(xué)生洞察問題的深層結(jié)構(gòu)，真正把例題研究透徹，進(jìn)而通過遷移解決其他的問題，只有這樣，才能幫助學(xué)生走出“題?！保瑢?shí)現(xiàn)由知識立意向能力立意的轉(zhuǎn)換，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

變式教學(xué)是一種傳統(tǒng)且經(jīng)典的中國教學(xué)方式，中國數(shù)學(xué)教師關(guān)于變式教學(xué)的研究主要是立足教材談變式，從教材的例題出發(fā)編制變式題［1］. 顧泠沅教授認(rèn)為，變式教學(xué)是促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式. 所謂“變式”，就是指教師有目的、有計(jì)劃地對命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式；配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，但保留對象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性.

在例題教學(xué)中，由于教學(xué)內(nèi)容多、教學(xué)任務(wù)緊，部分教師只是簡單講講例題或者與學(xué)生一起做題. 這樣的教學(xué)，使得學(xué)生傾向于記憶某種方法和發(fā)展某項(xiàng)具體技能，不利于學(xué)生形成高層次的數(shù)學(xué)思維，而學(xué)生的學(xué)習(xí)也只是停留在淺層次，不能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 為實(shí)現(xiàn)由知識立意向能力立意的轉(zhuǎn)換，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，有必要對當(dāng)前的例題教學(xué)加以研究. 下面筆者從問題的視角把例題作為源問題進(jìn)行變式設(shè)計(jì)并加以研究.

從問題的視角看例題

在例題教學(xué)中，“例題”既可以選擇教材中的例題或習(xí)題，又可以選擇其他資料或出版物中的題目. 但到底應(yīng)該怎樣選擇合適的題目作為例題呢？潘小梅老師認(rèn)為應(yīng)該選擇內(nèi)容常出現(xiàn)、方法能遷移、思路可借鑒、具有生長性的題目. 從問題的視角看，每個(gè)例題都應(yīng)該是一個(gè)好問題，每個(gè)問題都具有“表面內(nèi)容”和“內(nèi)在結(jié)構(gòu)”兩重屬性. “表面內(nèi)容”指問題呈現(xiàn)涉及的事件、背景、對象等的淺層特征；“內(nèi)在結(jié)構(gòu)”指涉及問題本質(zhì)的概念、關(guān)系與原理等的深層特征. 如果把例題看作源問題，那么變式題就是由源問題變換而得的新問題. 源問題與新問題之間存在四種關(guān)系：①表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同；②表面內(nèi)容不同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同；③表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同；④表面內(nèi)容不同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同［2］. 像①②改變源問題的表面內(nèi)容，不改變問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變式稱為水平變式，像③④改變了源問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變式稱為垂直變式. 在例題教學(xué)中，教師常常通過水平變式幫助學(xué)生認(rèn)識問題的本質(zhì)屬性；通過垂直變式發(fā)展原來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建立新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對問題結(jié)構(gòu)的理解，深入探究問題生長的思維過程.

例題的變式設(shè)計(jì)分析

在蘇教版教材七年級下冊“10.3? 解二元一次方程組”的例題教學(xué)中，教師從問題的視角，將如下例題看作源問題，并通過水平變式和垂直變式設(shè)計(jì)變式題.

例題 籃球比賽規(guī)則規(guī)定：贏一場得2分，輸一場得1分.在中學(xué)生籃球聯(lián)賽中，某球隊(duì)賽了12場，共得20分.該球隊(duì)贏了幾場？輸了幾場？

解 設(shè)該球隊(duì)贏了x場，輸了y場.

分析 本例題是根據(jù)中學(xué)生籃球比賽這一生活實(shí)際，以應(yīng)用題的形式展現(xiàn)出來的，通過設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，求解二元一次方程組可以得出結(jié)論.例題作為源問題，它的表面內(nèi)容是籃球比賽，輸贏的得分，比賽幾場，總得分，這些內(nèi)容中的數(shù)字可以改變，對問題的本質(zhì)影響不大. 內(nèi)在結(jié)構(gòu)的特征是贏一場的得分，輸一場的得分，比賽場次與輸贏幾場之間的關(guān)系，總得分與輸贏比賽的關(guān)系等.

變式1 某校積極推進(jìn)“陽光體育”工程，本學(xué)期在九年級11個(gè)班級中開展籃球單循環(huán)比賽（每個(gè)班級與其他班級分別進(jìn)行一場比賽，每個(gè)班級需進(jìn)行10場比賽）． 比賽規(guī)則規(guī)定：每場比賽都要分出勝負(fù)，勝一場得3分，負(fù)一場得1分． 如果某班級在所有的比賽中只得24分，那么該班級勝負(fù)場數(shù)分別是多少？

分析 變式1與源問題相比，只改變了比賽場次和得分，屬于水平變式①，即表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同.從遷移的角度來看，屬于源問題的近遷移題.

變式2 若x+y－12+（2x+y－20）2=0，求x，y的值.

變式3 若單項(xiàng)式2ax+yb20與－2a12b2x+y是同類項(xiàng)，求x，y的值.

分析 變式2、變式3與源問題相比，改變了問題的表面內(nèi)容特征，但內(nèi)在結(jié)構(gòu)幾個(gè)變量之間的關(guān)系仍未改變，屬于水平變式②，即表面內(nèi)容不同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同. 從遷移的角度來看，屬于源問題的中遷移題.

（1）甲隊(duì)聯(lián)賽積分為______；

（2）甲隊(duì)共打贏______場比賽.

變式5 寶應(yīng)縣是江蘇省青少年足球訓(xùn)練基地，每年都舉行全縣中小學(xué)生足球聯(lián)賽．比賽規(guī)則規(guī)定：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分． 2022年的足球聯(lián)賽中某校足球隊(duì)參加了16場比賽，共得30分． 已知該足球隊(duì)只輸了2場，那么這個(gè)足球隊(duì)勝了幾場，平了幾場？

分析 變式4、變式5與源問題相比，沒改變問題的表面內(nèi)容特征. 變式4給出了贏一場和輸一場的得分，給出了幾個(gè)變量之間的關(guān)系，去求比賽的場次和得分；變式5除了勝場次和負(fù)場次，還多了平場次，給出了幾個(gè)變量之間的關(guān)系，去求比賽勝和平的場次. 變式4、變式5的內(nèi)在結(jié)構(gòu)已經(jīng)發(fā)生了變化，屬于垂直變式③，即表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同.從遷移的角度來看，屬于源問題的中遷移題.

變式6 某家居專營店用2730元購進(jìn)A，B兩種新型玻璃保溫杯共60個(gè)，這兩種玻璃保溫杯的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如表1所示.

這兩種玻璃保溫杯各購進(jìn)多少個(gè)？

變式7? 若關(guān)于x的一元一次方程（a+b-12）x=2a+b-20有無數(shù)多個(gè)解，試求a，b的值.

例題的變式設(shè)計(jì)思考

1. 對水平變式的教學(xué)思考

水平變式只改變問題的表面內(nèi)容，不改變問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu).而問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征才是問題的核心. 水平變式雖然只是內(nèi)在結(jié)構(gòu)的不斷重復(fù)，但形式各異的水平變式仍有重要的教學(xué)價(jià)值. 在學(xué)生眼里，通過水平變式對源問題的重復(fù)，是源問題的再認(rèn)識，是不斷鞏固和掌握源問題的過程. 在教學(xué)中通過水平變式問題的解決，可以幫助學(xué)生認(rèn)識問題的本質(zhì)屬性，突出問題的主要因素，發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu). 因此，水平變式的意義在于讓學(xué)生強(qiáng)化對問題的理解，形成問題解決的策略，發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，看清問題的本質(zhì)，并為過渡到垂直變式做好鋪墊.

水平變式雖然只是解題技能的簡單重復(fù)，但Marton變式學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：經(jīng)驗(yàn)不斷重復(fù)才能形成認(rèn)知，第一次關(guān)注理論描述效度；當(dāng)?shù)诙谓?jīng)歷時(shí)，第一次所經(jīng)歷的方面會被放大；第二次的經(jīng)歷“豐富”并“加深”第一次經(jīng)歷的各個(gè)方面［3］. 通過水平變式可以幫助學(xué)生形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在反復(fù)的水平變式活動(dòng)中，學(xué)生以往的經(jīng)驗(yàn)會發(fā)生變化，不斷積累新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，再經(jīng)過學(xué)生自我摸索和反思領(lǐng)悟，思維也會隨之而發(fā)展.

2. 對垂直變式的教學(xué)思考

當(dāng)然，只有水平變式，而沒有垂直變式也不行，那樣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只會停留在淺表層面. 只有垂直變式才能生成抽象化和深層次的數(shù)學(xué)理解.垂直變式改變了問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，增加了新的認(rèn)知元素，加大了問題區(qū)分的認(rèn)知負(fù)荷. 垂直變式是問題結(jié)構(gòu)的深層次加工，它不拘泥于問題的表面內(nèi)容，提取了內(nèi)在結(jié)構(gòu)，形成變式題的“結(jié)構(gòu)骨架”. 垂直變式的核心是數(shù)學(xué)深層結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)，它不斷增加認(rèn)知負(fù)荷，逐漸驅(qū)動(dòng)高階思維發(fā)展，由表層類比向結(jié)構(gòu)類比轉(zhuǎn)化，增加對問題本質(zhì)的深層理解，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由例題（起點(diǎn)）向垂直變式題（終點(diǎn)）過渡，由淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)，逐步發(fā)揮例題的深層教學(xué)價(jià)值.

3. 從遷移的角度來看變式題

從遷移的角度來看變式題，可以分為源問題的近遷移題、中遷移題和遠(yuǎn)遷移題. 遷移量隨著近、中、遠(yuǎn)遷移題而逐漸增加. 同時(shí)，變式題要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況來設(shè)計(jì)，盡量讓變式的難度控制在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi). 若學(xué)生對于源問題的理解不夠，則需要設(shè)計(jì)近遷移題；若學(xué)生已經(jīng)掌握了源問題，則需要設(shè)計(jì)中、遠(yuǎn)遷移題. 另外，變式的“度”和“量”至關(guān)重要，如果變的“度”太小，變的“量”太多，學(xué)生就會陷入“題?！鄙顪Y. 而變的“度”太大，跳過學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生不能理解，就會讓學(xué)生產(chǎn)生挫敗感，同樣達(dá)不到促進(jìn)高階思維發(fā)展的目的. 總之，在進(jìn)行問題變式設(shè)計(jì)時(shí)，教師應(yīng)結(jié)合實(shí)際學(xué)情設(shè)計(jì)適度、適量的近、中、遠(yuǎn)遷移題，促進(jìn)學(xué)生掌握源問題、理解問題的深層結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到對問題的理解和知識的遷移的目的，真正實(shí)現(xiàn)從知識立意向能力立意轉(zhuǎn)變.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 喻平. 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)與評價(jià)研究［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

［3］ 孫旭花，黃毅英，林智中，等. 問題變式：結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一［J］. 課程·教材·教法，2006（05）：38-42.