用插空位法求解不相鄰問題的步驟

章挺

排列組合問題是近幾年高考數(shù)學試題中的?？純?nèi)容之一.排列組合問題有很多種類型，如相鄰問題、不相鄰問題、分組問題、分配問題等，其中不相鄰問題是指要求某些元素不相鄰排列的問題，即將n個不同的元素排成一排，求其中k（） k≤n-k+1個元素互不相鄰的排列數(shù).解答此類問題的主要方法是插空位法.

運用插空位法解答不相鄰問題的步驟為：

題目中要求5名兒童不相鄰，則需采用插空位法解題，先將無限制條件的元素（5位母親）進行全排列；再將不相鄰的元素（5名兒童）插入已排好的元素（5位母親）之間的空位及兩端的位置上.

例2.將A，B，C，D，E， 5名同學按下列要求進行排列，求所有滿足條件的排列方法數(shù).

（1）5名同學排成一排，且A，B不相鄰；

（2）5名同學排成一排，且A，B都不與C相鄰；

（3）若一排有6個座位，將5名同學安排到其中的5個座位上，且A，B不相鄰.

根據(jù)分類計數(shù)原理可知，滿足條件的排列方法共有432+48=480種.

問題（1）中要求5名同學排成一排且A，B不相鄰，則需先將無限制條件的C，D，E排好，再將A，B插入已排好的3名同學之間的空位中，即可確保A，B不會相鄰.問題（2）中要求A，B都不與C相鄰，則需先將不受限制的D，E排好，然后將A，C插入已排好的同學之間的空位中，最后按要求將B插入已排好的同學之間的空位或兩端.對于問題（3），需先將A，B，C，D，E排好，再將一個空位插入.該題與問題（1）都要求A，B不相鄰，但問題（3）中除了要求A，B中間隔著C，D，E之外，還可需要考慮空位的位置，因此，需要分情況進行討論.

總之，利用插空位法求解不相鄰問題需要注意以下兩點：

1.要注意分辨清楚哪些是要求不相鄰的元素，哪些是要求相鄰的元素，不能混淆了；

2.要理清已排好元素之間的空位到底有幾個，有時需加上兩端的空位，有時不需要.

（作者單位：江蘇省沭陽如東中學）