張志剛
[摘? 要] 文章揭示了一道高考模擬試題——二元函數(shù)最值問(wèn)題的命制背景,并從基本不等式、方程有解、函數(shù)最值等途徑嘗試解答,最后提出一般性方法.
[關(guān)鍵詞] 拉格朗日乘數(shù)法;背景;極值
題目呈現(xiàn)
命制背景
拉格朗日乘數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)主要有兩個(gè):一是把目標(biāo)函數(shù)和約束條件統(tǒng)一到一個(gè)拉格朗日函數(shù)中;二是將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題,即通過(guò)引入拉格朗日乘數(shù)將含有n個(gè)變量和k個(gè)約束條件的約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含有n+k個(gè)變量的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題. 因?yàn)樵跇?gòu)造拉格朗日函數(shù)中,無(wú)論約束條件φ(x,y)=0如何,都滿足限制條件. 另外,L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中φ(x,y)=0,不難發(fā)現(xiàn)求z=f(x,y)的極值點(diǎn),其實(shí)就是求L(x,y)的極值點(diǎn),兩者的極值是等價(jià)的,且與λ無(wú)關(guān),至于為什么要加入一個(gè)λ,就相當(dāng)于用待定系數(shù)法來(lái)確定這個(gè)拉格朗日函數(shù). 拉格朗日乘數(shù)法能夠保證在取得最優(yōu)乘數(shù)的情況下兩者解的一致性,顯然通過(guò)求拉格朗日函數(shù)的最優(yōu)解來(lái)求原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是一種更實(shí)際、更方便的方法.
題目解答
拉格朗日乘數(shù)法作為一種應(yīng)用廣泛的約束問(wèn)題優(yōu)化算法,其理論上的優(yōu)越性顯而易見(jiàn). 然而在實(shí)際操作中,對(duì)拉格朗日乘數(shù)法求極值的原理的理解和接受需要一個(gè)過(guò)程,求偏導(dǎo)數(shù)對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)也是陌生的;另外,在聯(lián)立方程求解時(shí)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的要求較高,那么本題如何用初等數(shù)學(xué)知識(shí)求解呢?在高中階段,解決此類問(wèn)題可以從基本不等式、方程有解、函數(shù)最值等途徑尋求突破,消參、減元、轉(zhuǎn)化是這類問(wèn)題基本的求解原則,即把雙變量方程轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或方程,再輔以相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法就能解決. 當(dāng)然,鑒于此類問(wèn)題的綜合性,解答中往往需要考生具備較高的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng),以及轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論、換元法、配方法等典型的數(shù)學(xué)思想和方法,頗具挑戰(zhàn)性和選拔性.
追根溯源可以直擊命題意圖,橫跨縱聯(lián)利于發(fā)散、創(chuàng)新學(xué)生的思維. 對(duì)于諸多高考題和模擬題,教師要充分挖掘其意境高深悠遠(yuǎn)、再生能力強(qiáng)、探究空間大的優(yōu)勢(shì),引導(dǎo)學(xué)生捕捉信息,抓住關(guān)鍵,挖掘本質(zhì),揭示所求,尋求聯(lián)系,形成設(shè)想,構(gòu)建方案,讓學(xué)生在直觀感知、抽象概括、合情推理、操作運(yùn)算、思路調(diào)整等思維活動(dòng)中,綜合運(yùn)用各種方法,提出新視角、新觀點(diǎn)、新設(shè)想,全方位、多角度、多層次地思考數(shù)學(xué)問(wèn)題.
參考文獻(xiàn):
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