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      考題思路分步構建,突破過程評析總結

      2023-04-15 21:02:26李寶香
      數學教學通訊·高中版 2023年3期
      關鍵詞:數學思想拋物線三角形

      李寶香

      [摘? 要] 2021年全國乙卷第21題為圓錐曲線壓軸題,以傳統(tǒng)的拋物線與直線相交為背景,融合圓上動點,探究解析式以及幾何面積最值. 問題的特點鮮明,但解題突破依然可以沿用常規(guī)策略. 文章對考題進行了探究,總結了解決該類問題的知識方法,提出了相應的解題教學建議.

      [關鍵詞] 拋物線;圓;三角形;面積;數學思想

      考題回顧,考點分析

      思路突破,分步探究

      過程評析,解后反思

      上述為拋物線綜合題,涉及拋物線、圓、直線的位置關系和函數的性質.第(2)問為核心之問,是典型的三角形面積最值問題. 下面基于解答過程進行反思總結.

      1. 過程評析,特點分析

      第(2)問為三角形面積最值問題,其中點A,B為拋物線與直線的切點,而點P為圓上的動點,構建三點之間的關系是解題關鍵. 上述解析過程思路清晰,結構簡明,思維連續(xù)性強. 總體來看,思路構建具有以下三大特點.

      特點一,合理開展類比,巧用切線方程. 上述通過合理類比輕松獲得了切線PA,PB的方程,而求直線AB的方程時要用到切線PA,PB的方程.

      特點二,提取方程特征,生成關鍵直線. 上述通過方程特征的把握,直接獲得了關鍵直線AB的方程,其構建方法極為簡潔.

      特點三,整體代入化簡,設而不求構建. 上述聯立轉化方程的過程,采用了整體代入的方法,即利用方程根與系數的關系替換方程中的變量,使得變量單一化. 設而不求是求解圓錐曲線問題的常用方法,充分理解韋達定理對解題十分有利.

      2. 知識歸納,方法總結

      關聯探究,強化應用

      原考題是圓錐曲線中的三角形面積最值問題,相切關系、圓上動點是考題的限制條件,上述對該類問題的解決思路進行了梳理,方程聯立、設而不求是突破解題難點的核心策略.下面對一道以橢圓為背景的關聯問題進行探究,強化解題策略.

      學習建議,教學探討

      圓錐曲線綜合題形式多樣,多表現為求最值、求取值范圍以及結論探索,分析圖象中點、直線與曲線的位置關系是重點. 對于與弦長、周長、面積有關的問題,基本策略是將原問題轉化為函數問題,即根據題意聯立方程,結合問題構建目標函數,然后利用換元、配方、均值不等式、求導等知識和方法解題.

      在圓錐曲線解題教學中,教師要引導學生探索問題本質,掌握類型題的通性通法,合理轉化問題,總結解題策略,包括常用的公式定理,簡化技巧,轉化思路;要引導學生充分梳理解題流程,生成規(guī)范的解題步驟. 實際教學可結合一題多解、解法拓展、關聯訓練等方式來強化學生的知識方法,幫助學生積累解題經驗;同時要注重解題思想的引導,包括數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想、轉化與化歸思想等,讓學生感悟數學思想,提升數學思維.

      總之,開展圓錐曲線問題的探究,根本意義在于使學生掌握問題、方法、思想的本質,形成自我的解題策略、思路,實現知識的內化吸收. 由此可知,開展解后反思、知識總結、方法梳理對提升學生的能力十分重要.

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