借助思維可視，發(fā)展空間觀念

趙春燕

［摘 要］文章以蘇教版教材六年級(jí)下冊(cè)“圖形總復(fù)習(xí)”教學(xué)為例，借助思維可視化，通過(guò)“想” “畫(huà)”“切”出各種立體圖形，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、想象能力和計(jì)算能力。

［關(guān)鍵詞］思維可視化；空間觀念；圖形總復(fù)習(xí)

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）05-0076-03

思維可視化，是指學(xué)生通過(guò)顯性的語(yǔ)言、文字、畫(huà)圖等方式將頭腦中的思考過(guò)程和結(jié)果呈現(xiàn)出來(lái)，有利于他人直觀清楚地看到解題過(guò)程和結(jié)果。筆者在教學(xué)蘇教版教材六年級(jí)下冊(cè)“圖形總復(fù)習(xí)”一課時(shí)，以學(xué)生熟悉的長(zhǎng)方形為切入點(diǎn)，讓學(xué)生在“想” “畫(huà)” “切”中形成空間觀念。

【課前思考】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，“圖形與幾何”包括“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”等；在第三學(xué)段“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”的“教學(xué)提示”中指出，要引導(dǎo)學(xué)生在觀察和操作中從度量的角度認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形的特征，溝通立體圖形之間的聯(lián)系，以及平面圖形和立體圖形之間的聯(lián)系，增強(qiáng)空間想象能力……在操作和轉(zhuǎn)化中探索立體圖形的體積和表面積的計(jì)算方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念；在第三學(xué)段“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”的“教學(xué)提示”中指出，要引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出簡(jiǎn)單圖形平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形，以及把軸對(duì)稱(chēng)圖形補(bǔ)充完整，感受圖形變化的特征，動(dòng)手操作，動(dòng)腦想象……會(huì)從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)的角度欣賞生活中的美。

基于以上教學(xué)理念，筆者以長(zhǎng)方形為素材，設(shè)計(jì)了三個(gè)教學(xué)任務(wù)：第一個(gè)教學(xué)任務(wù)是讓學(xué)生思考一個(gè)長(zhǎng)方形能變成哪些不同的立體圖形，以溝通平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系；第二個(gè)教學(xué)任務(wù)是讓學(xué)生畫(huà)出長(zhǎng)方形變成了哪些不同的立體圖形，以溝通圖形變化前后的特征；第三個(gè)教學(xué)任務(wù)是讓學(xué)生通過(guò)“切”和“拼”算出立體圖形的體積和表面積，以溝通立體圖形的表象與測(cè)量之間的關(guān)系。

在整個(gè)探究和交流的過(guò)程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)借助手勢(shì)、畫(huà)示意圖、計(jì)算體積和說(shuō)理分析等方式闡述思考過(guò)程，使學(xué)生的思維可視化。

【教學(xué)過(guò)程】

一、“想”出各種立體圖形，發(fā)展學(xué)生的空間觀念

空間觀念主要是指學(xué)生對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)。要發(fā)展學(xué)生的空間觀念，就需要學(xué)生能夠根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，能夠根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體，感知并描述圖形運(yùn)動(dòng)和變化的規(guī)律。

師：老師這里有一個(gè)長(zhǎng)方形，在不破壞長(zhǎng)方形的前提下，用什么方式可以把它變成立體圖形？

生1：把這個(gè)長(zhǎng)方形卷起來(lái)，它就變成一個(gè)沒(méi)有底的圓柱。

生2：畫(huà)線把這個(gè)長(zhǎng)方形分成4份，沿著線折一下，就可以把它變成長(zhǎng)方體的側(cè)面。

師：你們講得很有道理。還有其他方法嗎？

生3：畫(huà)線把這個(gè)長(zhǎng)方形分成3份，沿著線可以折出一個(gè)三棱柱的側(cè)面。

生4：繞著這個(gè)長(zhǎng)方形的其中一條邊旋轉(zhuǎn)，可以得到一個(gè)圓柱。

生5：還可以通過(guò)平移將長(zhǎng)方形堆疊起來(lái)，變成一個(gè)長(zhǎng)方體。

師：這個(gè)長(zhǎng)方形能不能變成正方體？或者說(shuō)怎么樣能使它變成正方體？

生6：當(dāng)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的4倍的時(shí)候，就能把這個(gè)長(zhǎng)方形折成一個(gè)正方體的側(cè)面了。

師：把長(zhǎng)方形平移能變成正方體嗎？

生7：不能。因?yàn)槠揭频倪@個(gè)圖形是一個(gè)長(zhǎng)方形，平移之后得到的這個(gè)立體圖形的棱長(zhǎng)是不相等的，所以得不到正方體。

學(xué)生以長(zhǎng)方形為學(xué)習(xí)載體，通過(guò)卷折、旋轉(zhuǎn)、平移等方式“變”出了圓柱、長(zhǎng)方體和三棱柱，溝通了平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系。同時(shí)，教師還引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣折能使長(zhǎng)方形變成正方體，以及怎樣折長(zhǎng)方形能變成正方體，幫助學(xué)生在空間想象和手勢(shì)比畫(huà)中探尋長(zhǎng)方體與正方體之間的聯(lián)系和區(qū)別。

二、“畫(huà)”出各種立體圖形，發(fā)展學(xué)生的想象能力

畫(huà)圖可以將抽象的事物轉(zhuǎn)化成具體且可以感知的事物，比如畫(huà)線段圖解決實(shí)際問(wèn)題，畫(huà)統(tǒng)計(jì)圖研究變化規(guī)律，畫(huà)示意圖解決圖形問(wèn)題等。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了上一個(gè)環(huán)節(jié)中的“想”后，教師可以讓他們把頭腦中的“想”用“畫(huà)”示意圖的方式記錄下來(lái)。

師：現(xiàn)在請(qǐng)你選擇卷折、旋轉(zhuǎn)或平移中的一種方式“變”長(zhǎng)方形，畫(huà)一畫(huà)變化前后的圖形，記得標(biāo)上數(shù)據(jù)，讓人一眼就能看出長(zhǎng)方形與立體圖形之間的關(guān)系。長(zhǎng)方形長(zhǎng)20厘米、寬15厘米。

生1：我是運(yùn)用卷折的方法將長(zhǎng)20厘米、寬15厘米的長(zhǎng)方形卷成圓柱?？梢跃沓梢粋€(gè)底面周長(zhǎng)20厘米、高15厘米的圓柱側(cè)面，這個(gè)圓柱的底面直徑大約是7厘米。也可以卷成一個(gè)底面周長(zhǎng)15厘米、高20厘米的圓柱側(cè)面，這個(gè)圓柱的底面直徑大約是5厘米。

生2：我也是用卷折的方法。我把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)20厘米平均分成4份，每份就是5厘米。我把這個(gè)長(zhǎng)方形折好立起來(lái)，就可以把它卷折成長(zhǎng)5厘米、寬5厘米、高15厘米的長(zhǎng)方體側(cè)面。也可以把長(zhǎng)方形的寬15厘米平均分成4份，每份是3.75厘米。這樣就可以把長(zhǎng)方形卷折成長(zhǎng)3.75厘米、寬3.75厘米、高20厘米的長(zhǎng)方體側(cè)面。

生3：我繞著長(zhǎng)方形15厘米這條寬旋轉(zhuǎn)出高15厘米、底面半徑20厘米的圓柱。我還繞著長(zhǎng)方形20厘米這條長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)出高20厘米、底面半徑15厘米的圓柱。

生4：我繞著長(zhǎng)方形20厘米這條長(zhǎng)的中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)出高15厘米、底面半徑10厘米的圓柱。我還繞著長(zhǎng)方形15厘米這條寬的中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)出高20厘米、底面半徑7.5厘米的圓柱。

生5：我運(yùn)用了平移的方法，把這個(gè)長(zhǎng)方形向后平移15厘米，左右兩面和上下兩面都是它的平移軌跡。得到的長(zhǎng)方體長(zhǎng)20厘米、寬15厘米、高15厘米。

師：說(shuō)到圓柱，馬上就會(huì)想到另一個(gè)立體圖形——圓錐，它是由什么圖形旋轉(zhuǎn)而成的？

生6：我覺(jué)得圓錐是由三角形旋轉(zhuǎn)而成的。

師（出示直角三角形，直角三角形的兩條直角邊分別是15厘米和20厘米，斜邊是25厘米）：這個(gè)直角三角形可以旋轉(zhuǎn)成哪些立體圖形？

生7：可以繞著15厘米的直角邊旋轉(zhuǎn)，得到的圓錐的高15厘米、底面半徑20厘米。還可以繞著20厘米的直角邊旋轉(zhuǎn)，得到的圓錐的高20厘米、底面半徑15厘米。

師：那繞著這個(gè)直角三角形25厘米的斜邊旋轉(zhuǎn)，會(huì)得到什么圖形？

生8：如果繞著斜邊旋轉(zhuǎn)，得到的是兩個(gè)圓錐疊在一起的圖形。

師（出示等腰三角形，等腰三角形的腰長(zhǎng)是15厘米，底邊是20厘米）：能把等腰三角形旋轉(zhuǎn)變成圓錐嗎？

生9：繞著等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)可以得到圓錐，這個(gè)圓錐的底面直徑就是三角形的底邊，圓錐的高就是三角形的高。

教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出把長(zhǎng)方形卷折、旋轉(zhuǎn)、平移后的立體圖形，學(xué)生才發(fā)現(xiàn)每種操作方式都能得到多個(gè)不同的立體圖形，這讓學(xué)生在畫(huà)圖過(guò)程中發(fā)展了空間想象能力。

三、“切”出各種立體圖形，發(fā)展學(xué)生的計(jì)算能力

幾何圖形的面積和體積離不開(kāi)計(jì)算，“切”與“拼”這兩種具有相反意義的動(dòng)作能夠把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變簡(jiǎn)單，讓學(xué)生在計(jì)算中體會(huì)到要根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)思考。

師：把一個(gè)高10厘米的圓柱切成兩半，表面積增加了100平方厘米，求圓柱的體積。先想一想，把這個(gè)圓柱切成兩半，可以怎么切，再算出圓柱的體積。

生1：第一種方法是橫著切，多出2個(gè)橫截面（底面），2個(gè)底面一共增加了100平方厘米，所以1個(gè)底面的面積是100÷2=50（平方厘米），圓柱的體積是底面積乘高，就是50×10=500（立方厘米）。第二種方法是豎著切，多出2個(gè)長(zhǎng)方形，1個(gè)長(zhǎng)方形的面積是100÷2=50（平方厘米）。圓柱的高是10厘米，所以底面半徑是50÷10÷2=2.5（厘米），圓柱的體積是底面積乘高，就是π×2.52×10=62.5π（立方厘米）。

師：把圓柱切成兩半，有橫切和豎切兩種切法，那么把圓錐切成兩半可以怎么切？它切開(kāi)后的截面是什么圖形？

生2：圓錐切成兩半可以豎著切，切出來(lái)的截面是三角形，這個(gè)三角形的底是圓錐的直徑，高是圓錐的高。

師：把長(zhǎng)方體切成兩半可以怎么切呢？用手勢(shì)比畫(huà)一下。

生3：第一種是豎著切，增加了左右兩個(gè)面；第二種是橫著切，增加了上下兩個(gè)面；第三種是前后切，增加了前后兩個(gè)面。

師：把正方體切成兩半，也有三種切法，可以怎么切？

生4：可以豎著切、橫著切、前后切，都會(huì)增加兩個(gè)面，但是每種切法增加的兩個(gè)面都是一樣大的，和正方體的一個(gè)面同樣大。

師：如果切成兩半是增加兩個(gè)面，那么拼合起來(lái)就是減少兩個(gè)面。

教師先借助思維可視化的理念，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出立體圖形并標(biāo)上數(shù)據(jù)，給學(xué)生解決圖形切割問(wèn)題和計(jì)算立體圖形的體積帶來(lái)了便利；再引導(dǎo)學(xué)生分析把圓錐、長(zhǎng)方體和正方體切成兩半的情況，借助手勢(shì)比畫(huà)呈現(xiàn)思考的結(jié)果；最后，教師巧妙地引出“拼”是“切”的對(duì)立面，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“切”與“拼”之間的互逆關(guān)系。

【教學(xué)反思】

一、單一素材有助于聚焦學(xué)習(xí)內(nèi)容

這節(jié)課中教師沒(méi)有使用花哨的導(dǎo)入情境和教學(xué)課件，而是開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地出示了“長(zhǎng)方形”，帶領(lǐng)全班學(xué)生一起思考“在不破壞長(zhǎng)方形的前提下，用什么方式可以把它變成立體圖形”這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。教師根據(jù)學(xué)生的回答畫(huà)出立體圖形的示意圖，以思維導(dǎo)圖的方式呈現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，真可謂每個(gè)字和每個(gè)立體圖形都是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。

二、單元串聯(lián)有助于學(xué)生綜合應(yīng)用

這節(jié)“圖形總復(fù)習(xí)”串聯(lián)起了蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)第七單元的“平移、旋轉(zhuǎn)”和“軸對(duì)稱(chēng)圖形”、六年級(jí)上冊(cè)第一單元“長(zhǎng)方體和正方體的特征”和“長(zhǎng)方體和正方體的表面積、體積”、六年級(jí)下冊(cè)第二單元“圓柱和圓錐的特征”和“圓柱的側(cè)面積、表面積和體積，圓錐的體積”等內(nèi)容，有助于提高學(xué)生靈活地解決綜合問(wèn)題的能力。

三、思維可視化有助于學(xué)生說(shuō)理分析

思維可視化的方式主要包括語(yǔ)言、文字和畫(huà)圖等。學(xué)生用多種方式展示自己的思考過(guò)程，這有利于學(xué)生準(zhǔn)確地給示意圖標(biāo)上對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，在示意圖上記錄下自己的思考痕跡，結(jié)合示意圖給同伴進(jìn)行清晰地講解，也有利于教師了解學(xué)生的思考過(guò)程和思考方法。這節(jié)課中每個(gè)學(xué)生都做到了言之有物、言之有理、言之有情、言之有序，讓思維可視化的功能發(fā)揮出最佳效果。

總之，數(shù)學(xué)知識(shí)具有螺旋上升、緊密銜接等特點(diǎn)。在教學(xué)“圖形總復(fù)習(xí)”時(shí)，采用以點(diǎn)帶面、以面帶全的方式整合立體圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量、圖形的位置與運(yùn)動(dòng)等知識(shí)，學(xué)生看到了立體圖形之間的關(guān)聯(lián)，也體會(huì)到思維可視化在學(xué)習(xí)圖形與幾何領(lǐng)域的便利性，他們的空間觀念和空間想象能力自然得到了發(fā)展。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 張雪鳳.目標(biāo)明確，創(chuàng)新數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課：以北師大版六下“平面圖形的面積總復(fù)習(xí)”為例[J].新教師，2021（10）：51-52.

[2] 丁楊華.“逆向”設(shè)計(jì)，培養(yǎng)空間想象力：“平面圖形總復(fù)習(xí)”教學(xué)探索[J].教育視界，2022（11）：26-28.

[3] 丁君華，薛維惠.促進(jìn)主動(dòng)轉(zhuǎn)換 發(fā)展空間觀念：“立體圖形的認(rèn)識(shí)總復(fù)習(xí)”教學(xué)片斷與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（10）：51-53.

[4] 沈勇.一題串珠 理面成體：“平面圖形的面積”總復(fù)習(xí)教學(xué)新實(shí)踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2022（6）：41-45.

[5] 金奎.一“點(diǎn)”牽想象 全面引運(yùn)動(dòng)：《圖形的運(yùn)動(dòng)》總復(fù)習(xí)教學(xué)[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2022（17）：52-53.

（責(zé)編 金 鈴）