趙德釗

［摘 要］問(wèn)題解決是一個(gè)綜合性、連續(xù)性的思維分析活動(dòng)。把問(wèn)題解決教學(xué)上升到習(xí)得解決問(wèn)題的一般策略的高度，用轉(zhuǎn)化思想解決復(fù)雜的不規(guī)則物體容積問(wèn)題，抓住三個(gè)“核心詞”，圍繞六個(gè)基本問(wèn)題設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”，讓學(xué)生經(jīng)歷“明確問(wèn)題—分析問(wèn)題—制訂計(jì)劃—解決問(wèn)題—反思回顧”的過(guò)程，習(xí)得解決復(fù)雜問(wèn)題的基本策略。

［關(guān)鍵詞］問(wèn)題解決；轉(zhuǎn)化；問(wèn)題分析策略

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）05-0073-03

“用圓柱的體積知識(shí)求瓶子的容積”是人教版教材六年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，這是用轉(zhuǎn)化思想解決復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)典型課例?！敖o出了瓶子正放時(shí)一部分水的高度和倒置時(shí)無(wú)水部分的高度，求瓶子的容積”這樣一個(gè)非常規(guī)性現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的思維具有很大的挑戰(zhàn)性。筆者采用動(dòng)態(tài)化的方式呈現(xiàn)過(guò)程，讓學(xué)生在“明確問(wèn)題—分析問(wèn)題—制訂計(jì)劃—解決問(wèn)題—反思回顧”的過(guò)程中習(xí)得解決復(fù)雜問(wèn)題的基本策略。

教學(xué)中緊緊抓住問(wèn)題情景中的三個(gè)“核心詞”——瓶子的容積、轉(zhuǎn)化、變中有不變，圍繞六個(gè)基本問(wèn)題設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”：（1）看到這個(gè)瓶子，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？（2）不借助其他容器，還有辦法求出瓶子的容積嗎？（3）瓶子倒置前后什么變了？什么不變？（4）為什么用正放時(shí)有水部分圓柱的體積加上倒置時(shí)無(wú)水部分圓柱的體積就等于瓶子的容積？（5）根據(jù)大家設(shè)計(jì)的方案，現(xiàn)在要求這個(gè)瓶子的容積。如果讓你來(lái)測(cè)量數(shù)據(jù)，你會(huì)測(cè)量哪些數(shù)據(jù)？（6）回顧解決“瓶子的容積是多少？”這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程，運(yùn)用了什么研究方法？

“問(wèn)題鏈”能夠引領(lǐng)學(xué)生循著解決問(wèn)題的路徑展開(kāi)深入探究，最終獲得用轉(zhuǎn)化思想解決復(fù)雜的不規(guī)則物體容積問(wèn)題的策略。

【課堂再現(xiàn)】

一、創(chuàng)設(shè)情境，明確問(wèn)題

師：今天老師將帶領(lǐng)大家來(lái)一趟解決問(wèn)題之旅。解決什么問(wèn)題呢？（出示一個(gè)裝有部分水的瓶子）看到這個(gè)瓶子，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？（學(xué)生回答略）

師：你認(rèn)為哪個(gè)問(wèn)題最有挑戰(zhàn)性？為什么？

生1：“瓶子的容積是多少？”這個(gè)問(wèn)題最有挑戰(zhàn)性，因?yàn)槠孔拥男螤畈灰?guī)則，不能直接求容積。

師：哪里是不規(guī)則形狀？

生2：瓶頸部分是不規(guī)則形狀。

師：我們學(xué)習(xí)過(guò)求不規(guī)則物體的體積，那求不規(guī)則物體的容積該怎么求呢？

【設(shè)計(jì)意圖：針對(duì)裝有部分水的瓶子提出問(wèn)題，既是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力的過(guò)程，也是培養(yǎng)學(xué)生多角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題能力的過(guò)程?！?/p>

二、分析問(wèn)題，提出計(jì)劃

1.設(shè)計(jì)方案，尋找解決方法

師：小組合作設(shè)計(jì)一個(gè)“求瓶子的容積”的解決方案。請(qǐng)按以下三個(gè)步驟完成。第一步，議一議：解決這個(gè)問(wèn)題要分幾步，每步怎么做。第二步，寫一寫：可以寫或畫小組研究的問(wèn)題解決方案。第三步，說(shuō)一說(shuō)：先進(jìn)行小組交流，再推薦一名同學(xué)匯報(bào)發(fā)言。

2.交流方案，選擇解決策略

組1（方案一）：先把瓶子裝滿水，再把瓶子里的水倒進(jìn)一個(gè)量器里，測(cè)量出的水的體積就是瓶子的容積。

師：把水倒進(jìn)一個(gè)量器中，這個(gè)量器可以是什么形狀的？

生1：這個(gè)量器可以是圓柱形，也可以是長(zhǎng)方體形狀的，還可以用量杯直接測(cè)量。

組2（方案二）：先算出正放時(shí)瓶子中水的體積，再把瓶子倒過(guò)來(lái)，然后算出瓶子倒置時(shí)無(wú)水部分圓柱的體積，最后把水的體積和無(wú)水部分的體積加起來(lái)。

師：目前我們沒(méi)有任何量杯（量筒），哪種方案更合適？

生2：采用方案二更合適。

3.整理方案，突出策略的作用

師：正放瓶子時(shí)，瓶子的容積由哪兩部分組成？倒置時(shí)又由哪兩部分組成？

生3：正放時(shí)是由下面的圓柱和不規(guī)則部分共兩部分組成；倒置時(shí)是由不規(guī)則部分和上面的圓柱共兩部分組成。

師（出示圖1）：瓶子倒置前后，什么變了？什么不變？

生4：正放瓶子時(shí)，無(wú)水部分是不規(guī)則形狀，把瓶子倒置后，將無(wú)水部分轉(zhuǎn)化成圓柱形，同時(shí)把規(guī)則形狀的水轉(zhuǎn)化成了不規(guī)則形狀，它們的形狀發(fā)生了變化，但是體積不變。

師：正放時(shí)的不規(guī)則部分變成了倒置時(shí)的圓柱，那瓶子的容積還可以看成由哪兩部分組成？

生5：左邊的圓柱和右邊的圓柱。

師：現(xiàn)在你知道為什么正放時(shí)有水部分圓柱的體積加上倒置時(shí)無(wú)水部分圓柱的體積就等于瓶子的容積了嗎？

生6：瓶子正放與倒置，對(duì)應(yīng)的兩部分體積沒(méi)有發(fā)生變化，不規(guī)則形狀的部分轉(zhuǎn)化成了圓柱形，這樣瓶子的容積就變成了兩個(gè)圓柱容積之和，問(wèn)題就能夠解決了。

師：這樣就把我們沒(méi)有學(xué)過(guò)的知識(shí)轉(zhuǎn)化成了學(xué)過(guò)的知識(shí)，即可以用圓柱的知識(shí)解決問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)方案是解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的一個(gè)基本方法。學(xué)生設(shè)計(jì)方案的過(guò)程能夠有效暴露他們思維的漏洞，為教師了解學(xué)生原生態(tài)的思維提供素材。從“不規(guī)則形狀”轉(zhuǎn)化成“規(guī)則形狀”，從“未知”轉(zhuǎn)化成“已知”，學(xué)生經(jīng)歷了問(wèn)題解決的整個(gè)過(guò)程，積累了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！?/p>

三、解決問(wèn)題，落實(shí)方案

1.落實(shí)方案，嘗試解決

師：根據(jù)大家設(shè)計(jì)的方案，現(xiàn)在要求這個(gè)瓶子的容積，需要測(cè)量哪些數(shù)據(jù)？

生1：需要測(cè)量瓶子的內(nèi)直徑，正放時(shí)水的高度和倒置時(shí)無(wú)水部分的高度。

師：根據(jù)測(cè)量的結(jié)果，能求出這個(gè)瓶子的容積是多少嗎？

出示：一個(gè)內(nèi)直徑是8 cm的瓶子里，水的高度是7 cm，把瓶蓋擰緊倒置放平，無(wú)水部分是圓柱形，高度是18 cm。這個(gè)瓶子的容積是多少？

2.交流評(píng)價(jià)，及時(shí)調(diào)整

生2：3.14×（8÷2）2×7計(jì)算的是下面圓柱形水的體積，3.14×（8÷2）2×18計(jì)算的是無(wú)水部分轉(zhuǎn)化的圓柱體積，加起來(lái)就是瓶子的容積。

生3：可以把左右兩個(gè)圓柱組合起來(lái)看作一個(gè)圓柱，這樣就變成了一個(gè)底面直徑8厘米、高25厘米的圓柱。先求底面積，再用底面積乘高就可以了。

師：兩位同學(xué)的計(jì)算方法不同，計(jì)算結(jié)果卻是相同的。

【設(shè)計(jì)意圖：計(jì)算的過(guò)程是對(duì)解決問(wèn)題思路的具體化。對(duì)兩種計(jì)算方法的解題思路進(jìn)行比較，有利于深化學(xué)生的思維水平，幫助學(xué)生鞏固對(duì)圖形結(jié)構(gòu)“變與不變”的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力?！?/p>

四、反思回顧，遷移應(yīng)用

1.反思回顧

師：回顧解決“瓶子的容積是多少？”這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程，運(yùn)用了什么研究方法？

生1：轉(zhuǎn)化的方法。

師：我們是怎樣運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法解決問(wèn)題的？

生2：先把不規(guī)則形狀轉(zhuǎn)化為規(guī)則形狀，然后根據(jù)規(guī)則圖形的計(jì)算方法解決問(wèn)題。

師（出示圖2）：其實(shí)在五年級(jí)計(jì)算梨的體積時(shí)也用了轉(zhuǎn)化的方法。

師：用同樣的方法也可以解決瓶子的體積的問(wèn)題。無(wú)論是不規(guī)則物體的容積還是不規(guī)則物體的體積，都可以用轉(zhuǎn)化的方法解決。

2.遷移應(yīng)用

師（出示圖3）：這是一個(gè)底面直徑為4厘米的不規(guī)則容器（壁厚不計(jì)），你能想辦法求出它的最大盛水量嗎？試一試。

生3：這個(gè)容器平放在桌面上，最多能容納4厘米高的水，就是求底面直徑4厘米、高4厘米的圓柱的容積。

生4：我把容器分成上下兩部分，下面是圓柱形，上面是不規(guī)則形狀，先計(jì)算出一個(gè)底面直徑4厘米、高2厘米的圓柱的體積的一半，再加下面的圓柱體積就可以了。

師：怎樣放置這個(gè)容器，才能使這個(gè)容器能盛62.8 mL的水？

生5：只有將容器傾斜著放，使容器口和水平面持平時(shí)，才能盛62.8 mL的水。

師：我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題中用到了轉(zhuǎn)化的方法，你能舉個(gè)例子說(shuō)一說(shuō)，以前解決什么問(wèn)題中也用到過(guò)轉(zhuǎn)化的方法嗎？（學(xué)生回答略）

師：計(jì)算? 12.4×1.5、6.4÷0.4、18÷[ 34]時(shí)，用的是什么方法？

生6：小數(shù)乘除法是先按照整數(shù)乘除法計(jì)算的，分?jǐn)?shù)除法是轉(zhuǎn)變成乘法計(jì)算的。

師：這也是轉(zhuǎn)化的方法。不僅圖形能轉(zhuǎn)化，計(jì)算也能轉(zhuǎn)化。把“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，就能解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖：反思回顧是解決問(wèn)題后的必要步驟，有利于學(xué)生形成良好的反思習(xí)慣。解決問(wèn)題基本策略的習(xí)得，離不開(kāi)學(xué)生的自我反思和總結(jié)。反思回顧能引導(dǎo)學(xué)生感受轉(zhuǎn)化策略應(yīng)用的廣泛性和一致性，有利于學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)系統(tǒng)。】

【課后感悟】

一、在真實(shí)情境中培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》倡導(dǎo)創(chuàng)設(shè)真實(shí)的學(xué)習(xí)情境，建立起數(shù)學(xué)與生活的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生在情境中從不同角度發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，通過(guò)梳理各層次問(wèn)題，聚焦核心問(wèn)題。學(xué)生自主提出的問(wèn)題源于自己真實(shí)的困惑，是他們真正想研究的問(wèn)題，教師經(jīng)常性地引導(dǎo)學(xué)生多維度、多角度提出不同層次的問(wèn)題，有利于學(xué)生增強(qiáng)問(wèn)題意識(shí)，形成創(chuàng)新意識(shí)。

學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活中一個(gè)裝有部分水的瓶子，自主提出問(wèn)題，最后聚焦到“瓶子的容積是多少”這個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題上。教師充分放手讓學(xué)生討論后選擇恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題解決策略，引導(dǎo)學(xué)生利用批判性思維思考、分析，進(jìn)而設(shè)計(jì)問(wèn)題解決的方案。

二、凸顯轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力

轉(zhuǎn)化策略有化新為舊、化難為易的作用，能幫助學(xué)生理解問(wèn)題實(shí)質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生巧妙便捷地解決一些特殊問(wèn)題。在解決非常規(guī)問(wèn)題的過(guò)程中，領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想的重要作用，掌握轉(zhuǎn)化的基本策略，形成數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和良好的思維品質(zhì)，是問(wèn)題解決的價(jià)值所在。

設(shè)計(jì)解決方案是提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力的基本方法，以方案的形式把思考推理的過(guò)程記錄下來(lái)，能讓解決問(wèn)題的步驟更加清晰。方案的調(diào)整優(yōu)化是學(xué)生梳理思維的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)討論經(jīng)歷了完整的解決問(wèn)題過(guò)程。用轉(zhuǎn)化思想解決求不規(guī)則物體的體積、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘除法、圖形的面積推導(dǎo)等是對(duì)同類知識(shí)的串聯(lián)與提升，能讓學(xué)生感受到轉(zhuǎn)化策略的適用性與普遍性。

三、靈活應(yīng)用解決問(wèn)題，習(xí)得問(wèn)題解決策略

非常規(guī)問(wèn)題的解決是一個(gè)動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，并非一個(gè)固定的解決程序，不能機(jī)械套用。像改變形體求橡皮泥的體積，用排水法求不規(guī)則物體的體積，用倒置轉(zhuǎn)化方法求不規(guī)則容器的容積，等等，學(xué)生只有抓住圖形變換中的“變與不變”，自主選擇策略去探索問(wèn)題的解決方案，才能獲得靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，完成對(duì)問(wèn)題解決基本策略的重新建構(gòu)。

【本文系河南省教育科學(xué)規(guī)劃2022年度課題“基于問(wèn)題引領(lǐng)的小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)實(shí)踐研究”階段性成果（課題批準(zhǔn)號(hào)：2022YB1287）?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）