田紅梅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出：數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分?！耙晕幕恕痹诠艥h語中原指“關(guān)乎人文，以化成天下”，現(xiàn)主要指秉承人文思想，運用文化力量，在潛移默化的文化熏陶和滋養(yǎng)中，不斷提升人的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)課堂“以文化人”，是要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有機滲透數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)故事以及數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成發(fā)展過程，從而感悟數(shù)學(xué)的思想、精神和觀點。

一、數(shù)學(xué)課堂“以文化人”的目標(biāo)指向

（一）提升學(xué)生的思維品質(zhì)

與純粹的數(shù)學(xué)知識相比較，數(shù)學(xué)文化更加突出數(shù)學(xué)知識的來源與發(fā)展過程，還原了數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)和研究數(shù)學(xué)的過程，展示數(shù)學(xué)家質(zhì)疑、求真、求美的良好品質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)對促進(jìn)人的思維發(fā)展的作用。小學(xué)階段是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵時期，數(shù)學(xué)文化的滲透有助于學(xué)生形成正確的思維方式。我們應(yīng)促使學(xué)生在知識學(xué)習(xí)中自覺生成數(shù)學(xué)思想方法，形成理性的數(shù)學(xué)觀點，促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升。

（二）喚醒學(xué)生的文化自覺

文化傳承是建立在了解和理解的基礎(chǔ)上，只有充分理解才能形成理性、自覺的認(rèn)同。數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、觀點以及它們的形成和發(fā)展過程。只有當(dāng)學(xué)生體會到人類探索知識時的艱辛和努力，了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史和數(shù)學(xué)家們追求真理的嚴(yán)謹(jǐn)和曲折，才能形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感態(tài)度，主動提高文化自覺意識，增強民族認(rèn)同、文化認(rèn)同，并自覺內(nèi)化為自己的思想和行為。

（三）發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)

“新課標(biāo)”指出：應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的，它需要在每一節(jié)數(shù)學(xué)課上落地、生根。數(shù)學(xué)文化的融入，可以使學(xué)生更加深刻地了解數(shù)學(xué)的源與流，主動經(jīng)歷、體驗、探索知識的產(chǎn)生與發(fā)展歷程，并能用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

二、數(shù)學(xué)課堂“以文化人”的教學(xué)路徑

德國數(shù)學(xué)家克萊因提出“歷史是教學(xué)的指南”。將數(shù)學(xué)文化融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，不是數(shù)學(xué)史料的簡單嵌入，而是要找到數(shù)學(xué)文化與學(xué)習(xí)內(nèi)容的聯(lián)系，選擇合適的文化素材有機融入，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解以及核心素養(yǎng)的發(fā)展。筆者擬從學(xué)習(xí)進(jìn)階的維度探尋數(shù)學(xué)課堂“以文化人”的教學(xué)路徑。

（一）學(xué)習(xí)的發(fā)生：立足兒童認(rèn)知起點，以文化支撐知識溯源

1.故事引思，明晰知識的生長序列

要讓學(xué)生能夠真正掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵，教師必須將知識的來龍去脈真實地呈現(xiàn)給他們。故事對兒童有天然的吸引力，以數(shù)學(xué)史上的小故事講述開啟數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展歷程，能夠激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，引發(fā)學(xué)生的思考。

在“認(rèn)識11～20各數(shù)”一課的教學(xué)中，教師先借助計數(shù)故事，讓學(xué)生感受“十”。古時候，牧羊人用擺石子的方式管理羊群，一只羊就擺一個石子，當(dāng)擺到10個小石子的時候，就換成一個大石子。這個大石子表示幾？ ……后來，古人又想到在木塊或獸骨上刻杠計數(shù)的方法，如果刻一道杠表示1，有了10道杠怎么辦？在不斷追問思考中自然引出“十進(jìn)制”計數(shù)法?！笆M(jìn)制”的產(chǎn)生與人類身體的構(gòu)造特點、古人的生活環(huán)境有著密切的聯(lián)系。通過這部分內(nèi)容的教學(xué)讓學(xué)生感悟到“十進(jìn)制”來源于生活，應(yīng)用于生活，是人類的一種自然選擇，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的生長性和建構(gòu)性。

2.史實回溯，回到知識的出發(fā)原點

建構(gòu)主義認(rèn)為，新知識的學(xué)習(xí)需要建立在一定的知識背景基礎(chǔ)上。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)立足學(xué)生的認(rèn)知起點，回到歷史上知識發(fā)生的原點，以知識背景重現(xiàn)促進(jìn)學(xué)生對新知識的建構(gòu)和理解。

教學(xué)“認(rèn)識面積”時，教師首先用一個問題“在哪兒聽說過面積”喚醒學(xué)生對面積的認(rèn)知經(jīng)驗，然后聚焦面積的由來，思考“什么時候人們開始關(guān)注面積的呢”，讓學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生源于真實世界的需要。面積的產(chǎn)生源于4000多年前的埃及尼羅河發(fā)大水的史實。河水沖走了牛羊、沖毀了莊稼，當(dāng)水落下去的時候，人們就開始用繩子或石頭圈地，表示這塊地是自己的。圈出的土地有大有小，自然引出土地的大小就是土地的面積，而土地一圈邊線的長就是周長。周長和面積是研究圖形的兩個不同維度，它們產(chǎn)生于不同的現(xiàn)實需求。唯有回到原點，感知其背后的文化差異，才能準(zhǔn)確把握概念的區(qū)別。

（二）學(xué)習(xí)的發(fā)展：凸顯兒童認(rèn)知沖突，讓文化助推知識建構(gòu)

1.設(shè)計關(guān)鍵問題，驅(qū)動整體思考，發(fā)展數(shù)感和符號意識

歷史上人類創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)知識，常常是因為原有的知識已經(jīng)無法解決新的問題。所以，無論是歷史的發(fā)展，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，問題非常重要，它驅(qū)動學(xué)習(xí)的發(fā)生和發(fā)展。我們可以以數(shù)學(xué)史上相關(guān)問題發(fā)展的歷程為背景設(shè)計關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過程，獲得超越知識的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)精神。

小數(shù)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的簡寫形式，而本質(zhì)上它和十進(jìn)制計數(shù)法更有淵源。在“小數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中，為了讓學(xué)生理解數(shù)位的延伸是數(shù)域擴(kuò)展的需要，教師設(shè)計了“在計數(shù)器模型（紙上畫出的計數(shù)器）上怎樣表示出1.2”這個關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生主動探究可能的撥法，引發(fā)認(rèn)知沖突——“2”在計數(shù)器上沒有地方可以撥，從而產(chǎn)生創(chuàng)造新數(shù)位的需求。通過梳理已有的計數(shù)單位——個、十、百、千，發(fā)現(xiàn)數(shù)位排列的內(nèi)在關(guān)聯(lián)——向左是不斷累加，依次乘以10，向右是不斷細(xì)分，依次除以10。于是產(chǎn)生比“個”更小的計數(shù)單位，完成數(shù)位的延伸，逐步建構(gòu)完整的計數(shù)單位體系，使學(xué)生的數(shù)感和符號意識得到發(fā)展。

2.經(jīng)歷知識再創(chuàng)造，探尋知識本質(zhì)，發(fā)展量感

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識，常識要成為數(shù)學(xué)，必須經(jīng)過提煉和組織，凝聚成一定的法則，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的正確方法之一就是實行“再創(chuàng)造”。只有置身于相應(yīng)的歷史背景和數(shù)學(xué)語境，親身體驗課本上的數(shù)學(xué)知識是怎樣從不確定的“問題狀態(tài)”逐漸發(fā)展到相對確定的“結(jié)果狀態(tài)”，學(xué)生才能真正理解知識本質(zhì)。

“認(rèn)識厘米”是學(xué)生第一次認(rèn)識長度單位，相較于“厘米”這個名稱和“1厘米有多長”，更重要的是歷史上長度單位的出現(xiàn)經(jīng)歷了什么。測量最初的產(chǎn)生源于生活中對不同事物比較的需要。從利用直觀感知進(jìn)行測量，到意識到測量需要測量工具、出現(xiàn)相對長度，再到順應(yīng)不同時期、地區(qū)間比較的需要產(chǎn)生統(tǒng)一的計量單位，經(jīng)歷了漫長的發(fā)展進(jìn)程。觀照這一歷程，教學(xué)中也需要讓學(xué)生關(guān)注知識發(fā)展中的關(guān)鍵事件，經(jīng)歷“感知—沖突—發(fā)明—應(yīng)用”的知識再創(chuàng)造過程，在實踐中思考，在交流中完善，理解概念內(nèi)涵，建立長度觀念。

3.重構(gòu)關(guān)鍵路徑，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，發(fā)展抽象意識

波利亞認(rèn)為，只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識做出更好的判斷。所以，教學(xué)中，我們應(yīng)遵循數(shù)學(xué)思想的歷史發(fā)展順序，重構(gòu)關(guān)鍵路徑，幫助學(xué)生生成深度的數(shù)學(xué)理解。

教學(xué)“比的意義”時，教師通常是通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)的“比”與兩個數(shù)相除的關(guān)系來開展教學(xué)，而這樣的學(xué)習(xí)并不能讓學(xué)生真正理解“比”的本質(zhì)。根據(jù)“比”的發(fā)展歷史，我們可以發(fā)現(xiàn)，“比”產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ)是“量”。有了“量”，才有了描述兩個“量”之間關(guān)系的需要，所以“比”的本質(zhì)是度量?；谝陨纤伎?，在教學(xué)中，教師重構(gòu)了教學(xué)路徑：第一層次，投籃比賽，小紅投中5個，小明投中4個，誰贏了？從可度量到不可直接度量，讓學(xué)生明白“‘比’從哪里來”；第二層次，比較“兩種筆的單價、兩杯水哪杯更甜”等，引導(dǎo)學(xué)生用“比”記錄兩個量的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)不可度量屬性的可比性，體會“比”的價值；第三層次，黃色和藍(lán)色可以調(diào)出綠色，那么三個人調(diào)出來的顏色相同嗎？讓學(xué)生在觀察與思考中發(fā)現(xiàn)“比”還可以描述變化的量之間的關(guān)系，深化對“比”的認(rèn)識。從“比”的源頭到“比”的發(fā)生、發(fā)展，逐層遞進(jìn)，促進(jìn)學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，發(fā)展抽象意識。

4.借助支架融合，滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展模型意識

“新課標(biāo)”明確指出：課程內(nèi)容的選擇要關(guān)注數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強學(xué)生的愛國情懷和民族自豪感。古題流傳至今的大多是中華傳統(tǒng)文化中的經(jīng)典。“雞兔同籠問題”最早出現(xiàn)在我國唐代《孫子算經(jīng)》一書中，距今已有1500多年的歷史。在不同版本的教材上，“雞兔同籠問題”被安排在不同的年級。事實上，不同年級的學(xué)生都能夠基于他們已有的知識經(jīng)驗，找到解決方法，獲得思維的發(fā)展。二年級學(xué)生解決這個問題，可能遇到怎樣的思考困境？如何應(yīng)對？

根據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展論，這一年齡段兒童的思維處于具體運算階段，兒童在這一階段的思維一般還不能離開具體事物的支持。因此，皮亞杰提出兒童的活動對于他們對數(shù)學(xué)的理解具有重要的意義?；诙昙墝W(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知特點，教師選擇了另一傳統(tǒng)經(jīng)典——算盤，作為支架。五珠算盤構(gòu)造獨特，一顆上珠代表一個頭，四顆下珠代表四條腿。如此表征對二年級學(xué)生而言，直觀形象且簡單生動。學(xué)生在算盤上動手撥一撥、比一比、添一添、減一減，直觀地看到雞、兔腿數(shù)的變化，既像是實驗，又帶著“玩”的味道，在不知不覺中“玩”出模型的構(gòu)造，感知“雞兔同籠問題”背后所蘊藏的假設(shè)的思想方法。

（三）學(xué)習(xí)的延伸：關(guān)注兒童認(rèn)知發(fā)展，讓文化助力思維進(jìn)階

1.以真實歷史豐富文化認(rèn)知

從“數(shù)”到“代數(shù)”，在數(shù)學(xué)史上到底走過了怎樣的歷程？教材中固然有一些介紹，但只是歷史材料的簡單羅列。教學(xué)“用字母表示數(shù)”時，在學(xué)生探索了“為什么要用字母表示數(shù)”“怎樣用字母表示數(shù)”等問題后，教師試圖讓學(xué)生親身體驗數(shù)學(xué)家研究這些問題的過程和方法。結(jié)合具體情境，學(xué)生列出了“4×a”“4×m”“4×x”等不同的字母式，通過教師介紹，學(xué)生發(fā)現(xiàn)丟番圖當(dāng)年就是這樣記錄的——利用首字母縮寫比較簡便地表示出數(shù)量間的關(guān)系。但這樣記錄的缺點是每個字母都表示特定的意思，實際運用時需逐一辨別。因此，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)提出把字母當(dāng)成一種符號來表示數(shù)或數(shù)量，即字母a既可以表示邊長，也可以表示速度，還可以表示每人分得的糖果……這是一個重大的飛躍，使許多數(shù)學(xué)難題迎刃而解，數(shù)學(xué)得到飛速發(fā)展。兩種表達(dá)方式的出現(xiàn)，在課堂上只有幾分鐘，在歷史上卻跨越了千年。歷史和現(xiàn)實的對比碰撞豐富了學(xué)生的文化認(rèn)知，同時加深了學(xué)生對所學(xué)知識的理解。

2.以古今對比拓寬文化視野

不同時期、不同國度、不同文化背景下，面對同樣的問題，數(shù)學(xué)家的解法也存在差異。我們在教學(xué)中可以利用古今對比、中外對比，開闊學(xué)生的視野，同時讓學(xué)生尋找不同方法之間的聯(lián)系，認(rèn)識到數(shù)學(xué)發(fā)展的多樣性和一致性。比如，教學(xué)“三角形的面積”時，學(xué)生通過將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形找到了計算三角形面積的方法，此時出示《九章算術(shù)》中記載的“半廣以乘正從”的方法，自然引出對兩種方法相同之處的思考，理解古代算法的同時，進(jìn)一步加深對三角形面積公式的認(rèn)識。再比如，教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計算”時，可以引入15世紀(jì)意大利算數(shù)書中介紹的“格子乘法”（鋪地錦）。這種方法與學(xué)生所學(xué)的方法在計算過程上基本一致，但在排列方式和合計上有些差異。除此之外，我國古代計算乘法時還有畫線法、楊輝算法和算盤算法等方法。通過這些方法的對比介紹，豐富學(xué)生的認(rèn)知，引發(fā)學(xué)生探究的興趣，體會古代數(shù)學(xué)家的思維方式和現(xiàn)代方法的簡潔性。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)課堂“以文化人”不僅要觀照數(shù)學(xué)史在課堂上的融入，還應(yīng)該從廣義的角度，更多地關(guān)注數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系、數(shù)學(xué)的學(xué)科應(yīng)用、數(shù)學(xué)之美等，關(guān)注文化的開放性和包容性，使數(shù)學(xué)課堂成為文化育人的土壤，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識。

（作者單位：江蘇省鹽城市第一小學(xué)）