王紅 陳偉

[摘 ?要] 文章基于數(shù)學(xué)文化研究視角，結(jié)合高中數(shù)學(xué)教材中的章節(jié)內(nèi)容“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”展開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)高效課堂構(gòu)建方法的探究，以期找出一條案例分析路徑，為數(shù)學(xué)高效課堂教學(xué)提供一種思路.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;高效課堂;構(gòu)建;思路

問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）明確提出了這樣的要求：數(shù)學(xué)教育活動(dòng)一定要和數(shù)學(xué)文化進(jìn)行整合與對(duì)接，才能夠全面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，全面拓寬他們的視野，進(jìn)一步延展他們的思維. 數(shù)學(xué)文化的引入和滲透，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)良好的機(jī)會(huì). 數(shù)學(xué)文化也是數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中不可或缺的一個(gè)重要內(nèi)容. 數(shù)學(xué)文化對(duì)于學(xué)生核心素養(yǎng)的提升以及正確價(jià)值觀念的形成都具有十分重要的導(dǎo)向性作用[1].

那么問(wèn)題隨之而來(lái)了，到底什么是數(shù)學(xué)文化呢？從廣義上講，數(shù)學(xué)文化被涵蓋到科學(xué)文化的范疇體系中，即以數(shù)學(xué)科學(xué)體系作為基本核心，同時(shí)圍繞這一個(gè)核心進(jìn)行思想的滲透和方法的創(chuàng)新. 但是從狹義來(lái)看，數(shù)學(xué)文化是一種隱性的文化內(nèi)容. 狹義的數(shù)學(xué)文化關(guān)注的是數(shù)學(xué)歷史價(jià)值的呈現(xiàn)以及數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)人們精神思維的影響. 總而言之，數(shù)學(xué)文化是各種數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的相互整合，是在人類(lèi)文明不斷向前發(fā)展過(guò)程中所積累起來(lái)的最寶貴的財(cái)富[2].

所以要想促使學(xué)生真正喜歡數(shù)學(xué)，并且產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，就必須走出傳統(tǒng)的授課思路，學(xué)會(huì)運(yùn)用創(chuàng)新的教學(xué)思維來(lái)開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)工作，由此迎來(lái)新的教育契機(jī). 基于此背景，筆者以數(shù)學(xué)文化為切入點(diǎn)，結(jié)合“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”課例展開(kāi)數(shù)學(xué)高效課堂的構(gòu)建，以文化思想內(nèi)涵去感染學(xué)生，樹(shù)立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力.

課堂實(shí)錄

1. 講好數(shù)學(xué)故事，滲透數(shù)學(xué)文化

一些學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門(mén)充滿理性的工具性學(xué)科，與“人文”二字相去甚遠(yuǎn). 因此，教師要將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂，當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)背后的文化有更深度的理解和把握后，就會(huì)親近數(shù)學(xué)知識(shí). 在本章節(jié)課本知識(shí)的講解與探索中，激發(fā)學(xué)生對(duì)旦德林（Dandelin）雙球?qū)嶒?yàn)產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，最終使學(xué)生渴望運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題[3].

實(shí)錄1 學(xué)生查閱背景故事：古希臘哲學(xué)家柏拉圖認(rèn)為，宇宙中的天體是完美的化身，而在所有的運(yùn)動(dòng)中，勻速圓周運(yùn)動(dòng)是最完美的. 而德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒用了長(zhǎng)達(dá)4年的時(shí)間，展開(kāi)了大量的計(jì)算活動(dòng)，最終得出結(jié)論：火星沿著日心經(jīng)度計(jì)算總是與正圓軌道相差0.133度. 他認(rèn)為這關(guān)鍵的8分恰恰是不能被忽視的，最終他決定和圓決裂. 在最開(kāi)始的研究過(guò)程中，他試圖用雞蛋型或胖面型等一些非緣曲線進(jìn)行計(jì)算，但遺憾的是，這些嘗試都以失敗告終. 在此之后，他開(kāi)始用兩千多年前出現(xiàn)在古希臘的阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）橢圓進(jìn)行計(jì)算，這次嘗試取得了巨大的成功，橢圓定律也隨之出現(xiàn)：每一個(gè)行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.

2. 引入生活場(chǎng)景，激發(fā)學(xué)生聯(lián)想

新課程提到了“學(xué)有用的數(shù)學(xué)”的理念，明確要求數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，充分創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境，讓學(xué)生能夠在自己已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上，積極開(kāi)展觀察活動(dòng)、數(shù)學(xué)交流活動(dòng). 因此教師要善于創(chuàng)設(shè)真實(shí)場(chǎng)景，豐富教材內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象. 同時(shí)更要在課堂教學(xué)中根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，利用多媒體教學(xué)設(shè)備，從學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的生活現(xiàn)象入手，引入新知識(shí). 現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，為教師提供了教學(xué)便利，教師可以利用圖片、動(dòng)畫(huà)視頻以及音頻等呈現(xiàn)生活現(xiàn)象，帶給學(xué)生直觀體驗(yàn)，喚起他們的生活經(jīng)驗(yàn)，集中學(xué)生的注意力. 教師當(dāng)抓住學(xué)生急于揭開(kāi)生活之謎的渴望并以此為基礎(chǔ)，提出一些新的問(wèn)題和想法，積極帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入問(wèn)題的探討環(huán)境. 教師當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行交流和思考，在交流的過(guò)程中讓學(xué)生碰撞數(shù)學(xué)思想，讓他們的數(shù)學(xué)思維不斷延伸，從而對(duì)數(shù)學(xué)文化產(chǎn)生更深厚的認(rèn)同感和信任感.

結(jié)合橢圓產(chǎn)生的過(guò)程，筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)個(gè)的生活情境.

實(shí)錄2 學(xué)生甲出示了一張油罐車(chē)的橫截面輪廓線的圖片，學(xué)生乙指出火腿腸片也是橢圓形的. “吃貨的眼里也有數(shù)學(xué).”筆者笑道（給予肯定），“火腿腸可以看作一個(gè)圓柱體，火腿腸片是它的什么截面？”學(xué)生答道“斜截面”. 筆者繼續(xù)問(wèn)道：“你們能不能現(xiàn)場(chǎng)就地取材演示圓柱體的斜截面是橢圓形的？”一陣討論后學(xué)生丙上臺(tái)，將筆者的圓柱體型的透明玻璃茶杯傾斜30°，“大家看杯中的水平面就是一個(gè)橢圓形的.”全場(chǎng)響起了掌聲. 通過(guò)此輪互動(dòng)進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，鍛煉了學(xué)生觀察、動(dòng)手的能力，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的思維.

3. 提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，助力發(fā)展邏輯思維

當(dāng)學(xué)生對(duì)橢圓建立了感性認(rèn)識(shí)后，筆者因勢(shì)利導(dǎo)提出了如下問(wèn)題：“數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，那么我們?nèi)绾斡靡粋€(gè)數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫(huà)這些生活中的橢圓及橢圓上動(dòng)點(diǎn)的屬性呢？”通過(guò)此問(wèn)的探討，學(xué)生得出了橢圓上的點(diǎn)所滿足的條件，即

PF1

+

PF2

=2a. 在這個(gè)階段，依然將空間形式和數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)文化思想滲透到此次課題內(nèi)容的討論中，以促使學(xué)生發(fā)掘生活中的數(shù)學(xué)文化.

實(shí)錄3 當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的定義后，筆者以小組合作的方式組織學(xué)生將事先準(zhǔn)備好的木板、細(xì)繩、圖釘、鉛筆，按照橢圓的特征畫(huà)出了一個(gè)橢圓圖形，然后配合使用橢圓儀和多媒體演示橢圓的生成過(guò)程，并讓學(xué)生思考以下幾個(gè)問(wèn)題：

第一，視筆尖為動(dòng)點(diǎn)、兩個(gè)圖釘為定點(diǎn)，試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和符合哪些條件？其軌跡又是怎樣的？

第二，若細(xì)繩長(zhǎng)度等于兩個(gè)圖釘之間的距離，則畫(huà)出的圖形還是橢圓嗎？

第三，分別改變兩定點(diǎn)的距離和細(xì)繩長(zhǎng)度對(duì)橢圓的扁圓程度有何影響？

此時(shí)，根據(jù)這些問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生投入到實(shí)踐探索中，由此引發(fā)學(xué)生的思想文化探究意識(shí)，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)文化視角出發(fā)去探究橢圓的定義以及其方程形成歷程.

4. 定義回歸，辨析橢圓定義的內(nèi)涵

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)提出了以下要求：在有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的支撐和影響下，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到普遍性的提升. 但是有效的學(xué)習(xí)絕不是單純的模仿和記憶，學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐以及合作交流是相當(dāng)關(guān)鍵的.

實(shí)錄4 用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓. 那么，為什么截口曲線是橢圓呢？

如圖1所示，在圓錐內(nèi)放入兩球O1，O2，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相切）. 兩球O1，O2都與平面α相切，切點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2. 利用這個(gè)模型可以證明平面α與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也被稱為旦德林（Dandelin）雙球. 教師在具體的教學(xué)活動(dòng)中可以用圓柱體替代圓錐體重新模擬“旦德林（Dandelin）雙球?qū)嶒?yàn)”. 教師要帶領(lǐng)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中積極主動(dòng)地進(jìn)行探究，使學(xué)生對(duì)橢圓焦半徑的基本性質(zhì)有更深層的理解，不斷提升學(xué)生的邏輯思維能力和抽象思維能力[4].

5. 實(shí)踐應(yīng)用，助力學(xué)生深化認(rèn)知，提升能力

橢圓是描述天體運(yùn)行軌跡時(shí)常用的曲線，也是生活中常見(jiàn)的曲線，它的光學(xué)性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用十分廣泛. 本文在此列舉幾個(gè)橢圓應(yīng)用于生活的例子，供同行在教學(xué)中利用參考.

例1 航天和橢圓.

在學(xué)校的科技小組活動(dòng)中，老師組織學(xué)生利用計(jì)算機(jī)去模擬航天器變軌的返回試驗(yàn). 軌跡方程為+=1，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱軸，M

0，

為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為D（8，0）. 觀測(cè)點(diǎn)A（4，0），B（6，0）同時(shí)跟蹤航天器.

（1）求航天器變軌后的軌跡方程;

（2）假設(shè)航天器位于x軸上方，觀測(cè)點(diǎn)A，B測(cè)得離航天器的距離分別是多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？

解析 （1）設(shè)航天器變軌后的軌跡方程為y=ax2+，由題意可知，0=a·64+，所以a=-. 所以曲線方程為y=-x2+.

（2）設(shè)變軌點(diǎn)為C（x，y），聯(lián)立

+

=1，

y=-

x2+

，消去x得4y2-7y-36=0，解得y=4或y=-（與題意不符，舍去），所以x=6或x=-6（與題意不符，舍去）. 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4），所以

AC

=2，

BC

=4.

答：當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)A，B測(cè)得AC，BC分別為2，4時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令.

例2 生活中橢圓性質(zhì)的妙用.

第二次世界大戰(zhàn)期間，意大利有一個(gè)專(zhuān)門(mén)關(guān)押盟軍俘虜?shù)纳蕉? 有一次盟軍俘虜晚上商量好了逃跑計(jì)劃，但第二天被看守的意大利士兵發(fā)現(xiàn)了，在此之后，不管這些盟軍俘虜提出怎樣的逃跑計(jì)劃，總會(huì)被意大利士兵發(fā)現(xiàn)，泄露計(jì)劃的疑點(diǎn)落在了某位盟軍士兵身上……直到戰(zhàn)后，盟軍俘虜被解救了出來(lái)，才發(fā)現(xiàn)山洞的秘密：山洞中被關(guān)押的盟軍俘虜和看守的意大利士兵分別在兩個(gè)地方，盟軍俘虜每發(fā)出一點(diǎn)聲音，看守的意大利士兵所在的地方都聽(tīng)得清清楚楚. 這是什么原因呢？下面用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解釋這個(gè)問(wèn)題：山洞內(nèi)部的空間是一個(gè)橢圓體，最大的截面為橢圓面. 關(guān)押盟軍俘虜?shù)牡胤胶鸵獯罄勘诘牡胤椒謩e處于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)上，因此盟軍俘虜所說(shuō)的話經(jīng)過(guò)反射總是會(huì)傳遞到意大利士兵那里.

為對(duì)這個(gè)問(wèn)題繼續(xù)解釋和分析，可讓學(xué)生動(dòng)起手來(lái)：先讓學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)圓形的紙片，圓心用O點(diǎn)表示，F(xiàn)表示除點(diǎn)O外的圓面內(nèi)的任意一點(diǎn);然后讓學(xué)生翻折紙片，圓弧必通過(guò)F點(diǎn)，用彩色筆在折痕的位置上畫(huà)出不同的顏色. 繼續(xù)上述過(guò)程，繞圓心一周，最終會(huì)得到一個(gè)橢圓，那么為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？

由已經(jīng)可得，點(diǎn)F關(guān)于折痕MN的對(duì)稱點(diǎn)A一定在圓O的弧上，連接OA，與折痕MN相交于B點(diǎn)，連接BF，則

AB

+

OB

=

FB

+

OB

=半徑（定值），所以點(diǎn)B在以O(shè)和F為焦點(diǎn)的橢圓上. （如圖2所示）.

通過(guò)對(duì)幾何知識(shí)進(jìn)行分析可以得出結(jié)論：折痕MN所在直線是橢圓的切線，折痕MN上只有B點(diǎn)到O和F的距離的和最小.

下面再對(duì)原來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行分析：盟軍俘虜位于橢圓的焦點(diǎn)上，看守的意大利士兵也位于橢圓的焦點(diǎn)上. 因?yàn)椤螰BN=∠ABN=∠MBO，聲波由O傳遞到B，反射后沿BF的方向轉(zhuǎn)遞到F，所以意大利士兵能夠清晰地聽(tīng)到盟軍俘虜說(shuō)的每一句話.

世界上有很多建筑都應(yīng)用了這一原理，其中比較著名的就是我國(guó)的天壇回音壁和英國(guó)的私語(yǔ)走廊，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生去尋找生活中是否還有這樣的建筑.

教學(xué)反思

1. 在數(shù)學(xué)活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)文化

曾經(jīng)聽(tīng)學(xué)生說(shuō)過(guò)，“在課堂上睡覺(jué)是真的香！”不論這話真實(shí)與否，但至少反映出了課堂教學(xué)的一些問(wèn)題. 除去學(xué)生本身的學(xué)習(xí)狀態(tài)不好外，教師就要思考課堂內(nèi)容的趣味性了！“興趣”是學(xué)習(xí)的基石，正如教育學(xué)家烏申斯基所說(shuō)：“如果學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)活動(dòng)沒(méi)有興趣卻又強(qiáng)制這種行為，那么會(huì)導(dǎo)致他們的欲望被扼殺.”因此這種情形的出現(xiàn)是相當(dāng)危險(xiǎn)的. 對(duì)于數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，應(yīng)該探索出更多的具有趣味性的課堂環(huán)境.

2.以合作方式鼓勵(lì)學(xué)生探究數(shù)學(xué)文化

適當(dāng)?shù)暮献魈剿饕廊皇翘嵘龑W(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的重要方式與途徑，應(yīng)該成為教師開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)的核心，并且以此為基礎(chǔ)進(jìn)行深度的合作交流活動(dòng)以及探究活動(dòng)[5]. 比如，教師可以積極引導(dǎo)小組內(nèi)部成員深入研究和探索與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的一些問(wèn)題. 這樣學(xué)生就可以在相互溝通中表達(dá)自己的觀點(diǎn)和主張，完成好“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的基本學(xué)習(xí)任務(wù).

比如，依然可以利用上述游戲活動(dòng)，將活動(dòng)的內(nèi)容與過(guò)程加入合作環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生以小組的形式展開(kāi)合作探究，改變單一、被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式，在操作中促使學(xué)生學(xué)習(xí)與探索數(shù)學(xué)知識(shí)，之后提出一些問(wèn)題用以對(duì)比分析，如假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？有哪些新發(fā)現(xiàn)？通過(guò)對(duì)比分析，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)只要交換坐標(biāo)軸就可以實(shí)現(xiàn)橢圓方程在y軸上的變化，原理基本一致，通過(guò)探討學(xué)生又會(huì)形成對(duì)比分析方面的數(shù)學(xué)文化精神.

3.開(kāi)展基于HPM理論的數(shù)學(xué)文化教學(xué)

HPM理論的研究者——華東師范大學(xué)汪曉勤教授說(shuō)過(guò)，將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中去，這無(wú)疑就搭建起了兩個(gè)最關(guān)鍵的橋梁. 其中一個(gè)橋梁實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科和人文學(xué)科的相互溝通，另外一個(gè)橋梁實(shí)現(xiàn)了歷史和現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域的高度溝通. 這可以讓數(shù)學(xué)課堂更加展現(xiàn)人文關(guān)懷的色彩，能夠使歷史順序和邏輯順序高度統(tǒng)一. 如此一來(lái)，也就為學(xué)生搭建起了一個(gè)探究歷史的舞臺(tái)，為激發(fā)學(xué)生的探索欲創(chuàng)設(shè)了良好的環(huán)境[6].

4. 尊重個(gè)體差異，及時(shí)存疑，彰顯課堂人文關(guān)懷

在定義回歸環(huán)節(jié)中，利用“旦德林（Dandelin）雙球?qū)嶒?yàn)”認(rèn)識(shí)圓柱體的斜截面是橢圓形面時(shí)，部分學(xué)生出現(xiàn)了探求困難的情況. 此時(shí)，教師要尊重學(xué)生的個(gè)體差異，不要越俎代庖，可以將問(wèn)題留作課后思考題讓學(xué)生有充分的時(shí)間去理解與感悟，跨越思維塹溝，獲取戰(zhàn)勝困難的信心. 適當(dāng)?shù)恼n堂存疑才能體現(xiàn)一堂完整的數(shù)學(xué)課，在這樣的課堂中，數(shù)學(xué)文化的探索精神才能得到繼續(xù)發(fā)揚(yáng).

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，適時(shí)、高效地把數(shù)學(xué)文化融入課堂教學(xué)是很有必要的. 只有當(dāng)教師在教學(xué)活動(dòng)中潛移默化地植入數(shù)學(xué)文化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與文化的和諧統(tǒng)一時(shí)，才能使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、愛(ài)上數(shù)學(xué)，感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特魅力色彩.

參考文獻(xiàn)：

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[3] 劉崢嶸. 數(shù)學(xué)文化視角下“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)策略[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（01）：22-25.

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[6] 汪曉勤. HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M]. 北京：科學(xué)出版社，2017.