模糊厭惡下銀行最優(yōu)存款利率與資本結(jié)構優(yōu)化

黃玉喜,潘海峰,費為銀

(安徽工程大學 數(shù)理與金融學院,安徽 蕪湖 241000)

存款一直是銀行的主要業(yè)務,引起國內(nèi)外學者的關注。Donaldson等[1]提出了將存款作為商品的銀行理論,銀行存款與貸款之間相互影響。Ita mar等[2]研究了銀行特許經(jīng)營權對利率風險的對沖作用,研究表明銀行的期限轉(zhuǎn)換能對沖銀行的利率風險,銀行利息收入與支出的利率敏感性密切相關。Bolton等[3]提出了一個動態(tài)銀行理論,發(fā)現(xiàn)對于資本充足的銀行和資本不足的銀行,存款的價值可能會大幅不同,當銀行資本不足時,存款的邊際價值可能為負值,意味著存款流入會損害銀行股東利益。在銀行資本不充足時,存款的流入會造成銀行杠桿的增加,增加銀行破產(chǎn)風險。Allen等[4]構建了破產(chǎn)成本、分段存款和股票市場模型,研究了銀行存款與資本結(jié)構的關系,銀行資本充足時,可以抵御破產(chǎn)風險;當存款保險機制和資本監(jiān)管起作用時,銀行不再使用自有資本投資風險資產(chǎn),而是使用存款投資。Hugonnier等[5]研究了流動性風險和杠桿約束如何影響銀行融資決策和破產(chǎn)風險,強制實施流動性約束要求會降低銀行違約損失,代價是違約率上升,但是流動性和杠桿約束結(jié)合起來,既可以降低違約的可能性,也可以降低銀行違約損失的規(guī)模。Deangelo等[6]研究了銀行杠桿普遍較高的問題,杠桿的增加可以讓銀行在流動性風險中獲得更高的資產(chǎn)收益。Freixas等[7]對銀行間市場的系統(tǒng)性風險進行建模。消費者的不確定性消費將導致銀行面臨流動性風險,當銀行面對流動性風險時,銀行間市場允許銀行最大限度地減少低回報流動資產(chǎn)的持有量。

現(xiàn)實的金融市場,由于信息的不對稱性、市場的不完全性等因素使得決策者很難確知所考察的變量具有明確的概率分布,這種現(xiàn)象被稱為Knight不確定性(或模糊性),而決策者往往表現(xiàn)為對未來不確定的一種擔憂,從而在金融市場中我們主要考察決策者具有模糊厭惡(A mbiguity Aversion)。銀行在從事存貸和投資業(yè)務中,由于金融市場的復雜性,市場參與者往往表現(xiàn)為羊群行為等非理性行為,使得銀行對與之業(yè)務相關變量的分布無法確知,從而表現(xiàn)為模糊不確定,同時由于銀行為了審慎起見,往往在決策的過程中表現(xiàn)為模糊不確定厭惡。本文基于銀行在模糊不確定下進行決策,考察銀行如何通過調(diào)整銀行資本結(jié)構達到銀行價值最大化。事實上,模糊厭惡環(huán)境下已有相關金融研究。李昊驊等[8]研究了模糊厭惡和基準波動率對最優(yōu)貸款利率、最優(yōu)停貸水平、企業(yè)價值和銀行價值的影響,模糊厭惡提高了貸款利率,降低了企業(yè)和銀行價值。Agliardi等[9]研究了模糊厭惡對可轉(zhuǎn)換債券轉(zhuǎn)換水平和企業(yè)破產(chǎn)水平的影響。Agliar di等[10]分析了模糊厭惡對企業(yè)現(xiàn)金持有策略的影響,研究認為在模糊厭惡程度較低時,企業(yè)持有的現(xiàn)金流與模糊厭惡呈負相關;當模糊厭惡程度高時,企業(yè)持有的現(xiàn)金流與模糊厭惡呈正相關。

本文基于Bolton等[3]提出的動態(tài)銀行理論,采用Agliardi等[9-10]對模糊厭惡刻畫的方式,系統(tǒng)分析模糊厭惡下銀行最優(yōu)存款利率與資本結(jié)構的關系。本文創(chuàng)新點:(1)銀行的價值動力學使用了肖-布朗運動刻畫,不同于Bolton等[3]的經(jīng)典布朗運動分析框架;(2)銀行股東價值的動態(tài)規(guī)劃方程不同于經(jīng)典的情形;(3)所得到的經(jīng)濟意義完全不同于經(jīng)典的模型,更加明確了模糊不確定參數(shù)如何影響最優(yōu)存款利率、銀行的特許經(jīng)營權價值、銀行存款的邊際價值、短期債務與存款比例和貸款與資本比例等。

1 動態(tài)銀行基本模型

本文在Bolton等[3]研究框架上,將所有隨機過程都定義在概率空間(Ω,Φ,(Φt)t≥0,P)上,布朗運動Z(t)表示銀行市場中風險資產(chǎn)和存款的隨機干擾。

設銀行風險資產(chǎn)在t時刻的價值Pt,滿足肖-布朗過程[9-10]:

式中,r表示無風險利率;λP表示銀行超額收益率;αP表示資產(chǎn)波動率。設銀行存款在t時刻的價值Lt,滿足肖-布朗過程:

式中,h表示存款流出的比率;αL表示存款波動率;ζ(it)表示存款增長率;it表示銀行存款利率。當[(hγαL)dt-θαLdZ(tt)] ＜0時,銀行存款流入,當[(h-γαL)dt-θαLdZ(t)] ＞0表示銀行存款流出。γ＝2c-1,θ2＝4c(1-c),c∈(0,1),c刻畫了銀行對未來狀態(tài)結(jié)果可能性的模糊程度。本文考慮銀行決策者是模糊厭惡的,即,c越小,表明決策者越模糊厭惡。由[(h-γαL)dt-θαLdZ(t)] ＜[hdtαLdZ(t)] 、λP +γαP＜λP和θαP＜αP可知,模糊厭惡會高估存款流入、降低銀行的超額收益率和資產(chǎn)波動率。

設銀行債券在t時刻的價值Kt,滿足方程:

設銀行資本在t時刻的價值Qt,滿足方程:

式中,N(ζ(it),Lt)＝n(ζ(it))Lt表示銀行經(jīng)營成本;Qt表示銀行股東分紅;Jt表示銀行累計外部股權凈融資。

設φPt為銀行風險資產(chǎn)組合權重,(φPt -1)表示銀行發(fā)行債券權重:

將式(2)、(3)代入式(1),化簡后:

設在t時刻的銀行股東價值為Gt:

式中,ρ表示折現(xiàn)率;Os表示股東分紅;Js表示累計外部股權凈融資;Bs表示累計外部股權融資成本;τ表示銀行違約時刻。

首先,當dOt ＝0和dJt ＝0時,銀行股東價值的HJB方程式為:

由式(6)得出,銀行的特許經(jīng)營權價值函數(shù):

和銀行存款的邊際價值函數(shù)GL(L,Q)滿足以下方程:

最后,將式(6)代入式(5)中,整理得到新的HJB方程式為:

此時,貸款權重φP滿足以下方程:

當銀行資本充足且承擔風險的動機強烈時,資本監(jiān)管要求就變得很重要,資本監(jiān)管要求可以作為一種有效的宏觀審慎工具,資本監(jiān)管要求和SLR 約束在銀行資本監(jiān)管中擔任不同的角色,其中資本監(jiān)管要求限制了給定股權資本的風險承擔,而SLR 過高會觸發(fā)資本籌集。

在銀行股權中有特定比例的風險資產(chǎn),銀行的資本監(jiān)管約束χQ需要滿足巴塞爾協(xié)議Ⅲ中的規(guī)定:

因為銀行總資產(chǎn)(或負債)的價值與銀行資本價值的比率不能超過杠桿限制χL,所以當銀行的短期借貸K＞0,銀行杠桿率(SLR)約束為:

當銀行的短期借貸K＜0,銀行杠桿率約束為:

HJB方程的最優(yōu)邊界條件隱含在股票發(fā)行和股息支付中。只有減少的銀行延續(xù)價值小于或等于股息的實際消費價值,即,銀行才會派發(fā)股息,于是

因為銀行可以承受一定比例成本和固定成本的發(fā)行股本,所以設Vt表示籌集資金,φ1Vt表示一定比例股權發(fā)行成本。進一步,假設φ0Lt表示股權固定發(fā)行成本。

只有發(fā)行后股東價值大于或等于發(fā)行成本時,銀行才會增發(fā)股本,即dJt＞0時

銀行增發(fā)的股本價值等于籌集的資金,即dJt＝Vt,正如上面所描述的發(fā)行成本dBt包含固定成本和比例成本,即dLt ＝φ0Lt+φ1Vt,得出:

發(fā)行股本的最優(yōu)一階條件為:

銀行制定存款利率i,通過支付現(xiàn)有存款利息GQ(L,Q)L和維持存款經(jīng)營成本GQ(L,Q)Ln＇(ζ(i))ζ＇(i),使得新的流動存款邊際價值GL(L,Q)ζ＇(i)L與銀行減少股東利潤的邊際成本相等。新的流動存款邊際價值可表示為:

將存款增長率ζ(i)和存款成本函數(shù)n(ζ(i))參數(shù)化。首先將存款增長率定義為存款利率的一個簡單線性函數(shù):

式中,η表示銀行存款與利率的半彈性參數(shù)。

其次定義一個銀行吸引新存款的成本函數(shù)n[ζ(i)] 為:

式中,μ表示存款調(diào)整成本參數(shù)。

最后聯(lián)立式(21)～(23)可以得到:

本文設置存款利率的下限為零,實現(xiàn)負利率后,儲戶不愿意在銀行進行存款,銀行就會失去成本較低的貸款資金來源。

根據(jù)上述討論,可以得出以下結(jié)論。

命題1 在本文的假設條件下,銀行的特許經(jīng)營權價值函數(shù)、銀行存款的邊際價值函數(shù)GL(L,Q)、短期債務與存款比例、貸款權重φP、貸款資本比率、最優(yōu)存款利率i依次由式(7)～(9)、式(11)～(12)和式(24)給出。其中,g(q)由滿足邊界條件式(17)～(20)的HJB方程(10)解得。

2 數(shù)值分析與經(jīng)濟學解釋

在數(shù)值模擬中,參考Bolton等[3]研究,取銀行決策者的模糊厭惡系數(shù)c1＝0.3和模糊中性系數(shù)c2＝0.5,銀行無風險利率r＝1%,股東貼現(xiàn)率ρ＝4.5%,銀行超額收益λP ＝0.2%,資產(chǎn)回報波動率αP ＝10%,存款平均流出率h＝0,銀行存款調(diào)整成本μ＝0.5,存款需求半彈性η＝5.3,存款波動風險αL ＝5%,股票發(fā)行的固定成本φ0＝0.1%,股票發(fā)行的建議成本φ1＝5.0%,補充杠桿χL ＝20,銀行資本監(jiān)管要求χQ ＝14.3。圖1～6由式(7)～(9)、式(11)～(12)和式(24)式通過數(shù)值模擬得出。圖1a

圖1 銀行特許經(jīng)營權價值g(q)-q 與銀行風險承擔

為了理解模糊厭惡下銀行的長期行為,即銀行在q的不同區(qū)域花費的時間比例,有必要進一步分析q的平穩(wěn)概率密度。

模糊厭惡和模糊中性下,q的平穩(wěn)概率密度(p.d.f)和累積分布函數(shù)(c.d.f)如圖2所示。由圖2a可知,隨著q的增加,概率密度的峰值大幅減小,其原因是當q接近q時,股權的邊際價值在急劇上升,意味著此時銀行能夠獲得高額的資本收益。由圖2a也可知,在模糊厭惡水平下,q的平穩(wěn)概率密度越不集中在q接近下邊界的區(qū)域。說明銀行對未來不確定性更加厭惡,從而降低了花費在獲得高額收益的臨界點附近的時間比例。

圖2 q 的平穩(wěn)概率密度和累積分布函數(shù)

股權資本邊際價值g＇(q)與q的累積分布函數(shù)之間的關系如圖3a所示。橫軸上的間隔表示股權資本的邊際價值在相應區(qū)域的時間比例。該銀行約有25% 的時間,在模糊厭惡下,股權資本的邊際價值在1.035～1.041,而g＇(q)約有4.2% 的時間超過1.08,即銀行約有4.2% 的時間會違反杠桿約束;在模糊中性下,股權資本的邊際價值在1.045 7～1.054,而g＇(q)約有3.6%的時間超過1.08,即銀行約有3.6%的時間會違反杠桿約束。說明了當決策者處于模糊厭惡下,股權資本邊際價值更低且更容易違反杠桿。最優(yōu)貸款資本比例與q的累積分布函數(shù)之間的關系如圖3b所示。在模糊厭惡情況下的曲線趨勢平緩且處于資本監(jiān)管上限(右端曲線水平部分)的時間減少。這說明了長期行為下,相比于模糊中性,模糊厭惡的銀行決策者面對風險借貸更加慎重。

圖3 銀行股權資本的邊際價值g＇(q)和貸款資本比例

進一步分析研究決策者處于模糊厭惡下,銀行存款邊際價值對銀行估值的影響。

銀行存款邊際價值GL(L,Q)＝g(q)-qg＇(q)、存款利率i(q)與q的關系如圖4所示。由圖4可得,當q遠離(即銀行資本相對于存款較高)時,相比于模糊中性,模糊厭惡下銀行存款邊際價值在增加;當q接近(即銀行資本相對于存款較低)時,相比于模糊厭惡,模糊中性下銀行存款的邊際價值更低。在模糊厭惡下,存款利率增加的趨勢更加明顯。原因是銀行決策者處于模糊厭惡情況下,存款邊際價值在增加,銀行會通過提高利率來吸引存款的流入。

圖4 銀行存款邊際價值G L(L,Q)＝g(q)-qg＇(q)和存款利率i(q)

存款邊際價值GL(L,Q)＝g(q)-qg＇(q)、存款利率(分布)與q累積分布函數(shù)之間的關系如圖5所示。由圖5a可知,在模糊中性和模糊厭惡情況下,GL分別約在97%和98.8%的時間內(nèi)＞0.185;在股票發(fā)行邊界的下限附近[即c.d.f(q)＝0] ,GL≤-0.224。由圖5b可見,在模糊厭惡的情況下,存款利率徘徊在零的下限附近時間短。存款有助于為貸款融資(即銀行賺取借貸利差),但當負面沖擊耗盡銀行股本且q下降時,存款可能會成為銀行負擔。

圖5 存款邊際價值G L(L,Q)＝g(q)-qg＇(q)和存款利率(分布)

圖6 銀行的短期債務 及其分布

3 小結(jié)

本文在Bolton等[3]研究框架的基礎上,考慮銀行決策者是模糊厭惡,分析了模糊厭惡下銀行最優(yōu)存款利率與資本結(jié)構之間的關系。研究發(fā)現(xiàn):銀行決策者模糊厭惡程度的增加、銀行的特許經(jīng)營價值和存款邊際價值增加、存款的最優(yōu)利率可調(diào)節(jié)的空間增加,但更容易突破杠桿約束。銀行通過持有無風險資產(chǎn)和下調(diào)存款利率來控制杠桿,從而通過減少了股票發(fā)行成本來維持銀行股東的價值。