蔡少毅

[摘 ?要] 文章受原有的時(shí)針與分針的夾角公式的啟發(fā)，推導(dǎo)出鐘面上時(shí)針與分針關(guān)于整點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的一般求解公式，并舉例應(yīng)用和比較.

[關(guān)鍵詞] 分針;時(shí)針;整點(diǎn);對(duì)稱(chēng);夾角

問(wèn)題提出

鐘面問(wèn)題中指針的角度運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的難點(diǎn)，近年來(lái)不少學(xué)者致力于對(duì)其進(jìn)行探究（參見(jiàn)文[1-5]）. 公務(wù)員考試的行測(cè)題常常提出鐘面問(wèn)題，例如，“當(dāng)5點(diǎn)剛過(guò)多少分時(shí)，時(shí)針與分針離‘5’的距離相等，并且在‘5’的兩邊？”等等. 這就是鐘面上時(shí)針與分針關(guān)于整點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題. 這樣的問(wèn)題最常見(jiàn)，但只能解決時(shí)針?biāo)笗r(shí)間點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)的整點(diǎn)相一致（即時(shí)針位于其整點(diǎn)刻度線之前且?jiàn)A角小于30度）的情形. 文[1]和文[2]給出了指針與對(duì)稱(chēng)軸（整點(diǎn)刻度線）的夾角為任意角的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的例子，但文[1]和文[2]的例子比較特殊——文[1]中的對(duì)稱(chēng)軸是鉛垂線（即“12”與“6”的連線），文[2]中的對(duì)稱(chēng)軸是水平線（即“3”與“9”的連線），解題中充分利用這些特殊情況，各自給出了利用夾角公式或建立方程式求解的不同方案. 本文受文[1]中的時(shí)針與分針的夾角公式的啟發(fā)，得出鐘面上時(shí)針與分針關(guān)于整點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的一般求解公式，可以運(yùn)用它解決包括文[1]和文[2]提出的任何時(shí)針與分針關(guān)于整點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，并進(jìn)行了比較.

在鐘面上，時(shí)間的整點(diǎn)刻度把鐘面分成12等分，每等分為30度，時(shí)針與分針同時(shí)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).每小時(shí)分針轉(zhuǎn)過(guò)一圈為360度，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)十二分之一圈為30度，因此時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)速比為1∶12. 本文把時(shí)間h點(diǎn)m分記為h：m，并且規(guī)定：當(dāng)m<0時(shí)，h：m=（h-1）：（m+60）;當(dāng)m≥60時(shí)，h：m=（h+1）：（m-60）.

先介紹文[1]中的夾角公式：

公式1 設(shè)時(shí)間h：m時(shí)，分針相對(duì)于時(shí)針的夾角為θ度，則

30h-5.5m=θ ①

該公式可改寫(xiě)為

30h-5.5m=±θ ②

注：當(dāng)時(shí)針指向鐘面的刻度大于分針指向鐘面的刻度時(shí)取“+”，否則取“-”

例1 當(dāng)5點(diǎn)剛過(guò)多少分時(shí)，時(shí)針與分針離“5”的距離相等，并且在“5”的兩邊？

解 當(dāng)5點(diǎn)剛過(guò)時(shí)，時(shí)針指向鐘面的刻度大于分針指向鐘面的刻度，設(shè)兩針的夾角為θ度，則處于對(duì)稱(chēng)位置的時(shí)針與5整點(diǎn)的刻度線的夾角為度. 又知每2分時(shí)針旋轉(zhuǎn)1度，則m=2

=θ，把m=θ及h=5代入式②，得30×5-5.5m=m. 即m==23（分）.

答 當(dāng)5點(diǎn)剛過(guò)23分時(shí)，時(shí)針與分針離“5”的距離相等，并且在“5”的兩邊.

時(shí)針與分針的對(duì)稱(chēng)公式

本文進(jìn)一步探究時(shí)針與分針關(guān)于任意整點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，給出求解公式.

公式2 當(dāng)時(shí)間為h：m時(shí)，時(shí)針與分針關(guān)于l（l=0，1，2，…，11）整點(diǎn)的刻度線對(duì)稱(chēng)，則h和m滿(mǎn)足

m=（h=0，1，2，3，…，12） ?③

證明 設(shè)l整點(diǎn)對(duì)應(yīng)的刻度線為l，h整點(diǎn)對(duì)應(yīng)的刻度線為h. 時(shí)針與分針關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的時(shí)間是h：m，如果以h整點(diǎn)起（這時(shí)時(shí)針與h重合，分針與0或12整點(diǎn)對(duì)應(yīng)的刻度線重合），兩針同時(shí)旋轉(zhuǎn)至各自的對(duì)稱(chēng)位置止. 此時(shí)，假設(shè)時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ度，而對(duì)于分針旋轉(zhuǎn)的角度，就分針與時(shí)針相對(duì)位置的兩種情況進(jìn)行探討：

（1）當(dāng)時(shí)針位于分針之前. h與l的夾角為30（h-l）度，從而處于對(duì)稱(chēng)位置的時(shí)針與l的夾角為30（h-l）+θ度，由對(duì)稱(chēng)關(guān)系可得，處于對(duì)稱(chēng)位置的分針與l的夾角為-30（h-l）-θ度，又分針從0或12整點(diǎn)對(duì)應(yīng)的刻度線旋轉(zhuǎn)至l時(shí)共30l度，因此分針從0或12整點(diǎn)對(duì)應(yīng)刻度線旋轉(zhuǎn)至其對(duì)稱(chēng)位置時(shí)共-30（h-l）-θ+30l度，即30（2l-h）-θ度.

（2）當(dāng)時(shí)針位于分針之后. h與l的夾角為30（l-h）度，從而處于對(duì)稱(chēng)位置的時(shí)針與l的夾角為θ-30（l-h）度，由對(duì)稱(chēng)關(guān)系可得，處于對(duì)稱(chēng)位置的分針與l的夾角為30（l-h）-θ度，又分針從0或12整點(diǎn)對(duì)應(yīng)的刻度線旋轉(zhuǎn)至l時(shí)共30l度，因此分針從0或12整點(diǎn)對(duì)應(yīng)的刻度線旋轉(zhuǎn)至其對(duì)稱(chēng)位置時(shí)共30（l-h）-θ+30l度，即30（2l-h）-θ度.

綜上所述，不論分針與時(shí)針前后的相對(duì)位置如何都有：當(dāng)時(shí)針與分針以h整點(diǎn)起，同時(shí)旋轉(zhuǎn)至各自的對(duì)稱(chēng)位置時(shí)止，時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ度，分針旋轉(zhuǎn)30（2l-h）-θ度. 由于時(shí)針與分針旋轉(zhuǎn)的速度比為1∶12，則=?θ=.又知每2分時(shí)針旋轉(zhuǎn)1度，即m=2θ，則公式2成立.

應(yīng)用舉例

例1另解：把l=5，h=5代入公式2，得m==23（分）.

例2 李警官在晚上7點(diǎn)多回家，看到馬路上發(fā)生了一起車(chē)禍，下意識(shí)看了下手表，發(fā)現(xiàn)分針與時(shí)針剛好關(guān)于8點(diǎn)“對(duì)稱(chēng)”. 處理完事故已經(jīng)10點(diǎn)多，又看了下手表，分針與時(shí)針又剛好關(guān)于7點(diǎn)“對(duì)稱(chēng)”. 請(qǐng)問(wèn)車(chē)禍發(fā)生的具體時(shí)間是多少？李警官花了多長(zhǎng)時(shí)間處理車(chē)禍?zhǔn)鹿剩?/p>

解 把l=8，h=7代入公式2，得m==41. 車(chē)禍發(fā)生的具體時(shí)間為7：41.

把l=7，h=10代入公式2，得m==18. 處理完事故的時(shí)間為10：18.

由于9-7=2，60+18-41=36，所以李警官花了2時(shí)36分處理完事故.

例3[2] 早晨7點(diǎn)到晚上7點(diǎn)的12個(gè)小時(shí)內(nèi)，（1）鐘面上時(shí)針與分針第一次關(guān)于水平線（“3”與“9”的連線）對(duì)稱(chēng)是幾點(diǎn)幾分？（2）時(shí)針與分針有幾次關(guān)于水平線對(duì)稱(chēng)？

解 （1）把l=9，h=7代入公式2，得m==50，即鐘面上時(shí)針與分針第一次關(guān)于水平線對(duì)稱(chēng)的時(shí)間是7：50.

（2）把l=9，h=0，1，2，3，…，12分別代入公式2，則時(shí)針與分針有13次關(guān)于水平線對(duì)稱(chēng)，其時(shí)間依次為1：23，2：18，3：13，4：9，5：4，6：00， 6：55，7：50， 8：46，9：41， 10：36，11：32，12：27.

文[2]對(duì)問(wèn)題（2）的解答并沒(méi)有給出時(shí)針與分針13次關(guān)于水平線對(duì)稱(chēng)的具體時(shí)間，本文的上述解答可作為其補(bǔ)充.

由公式2可知，求關(guān)于位于鐘面同一條中心直線兩個(gè)整點(diǎn)中的任何一個(gè)整點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得到的結(jié)果均相同.本文用文[1]的例8來(lái)加以說(shuō)明：

例4[1] 有一天課間休息時(shí)，小明看了一下墻上的掛鐘，時(shí)間是9點(diǎn)多，他發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針正好處在關(guān)于鉛垂線對(duì)稱(chēng)位置，則此時(shí)是9點(diǎn)幾分？

解 由于鐘面的鉛垂線是0或12整點(diǎn)和6整點(diǎn)所處的中心直線，所以分別求9點(diǎn)多時(shí)時(shí)針與分針關(guān)于l=0，l=12或l=6整點(diǎn)的刻度線對(duì)稱(chēng).

①把l=0，h=10代入公式2，得m==-46，得10：-46.

②把l=12，h=8代入公式2，得m==73，得8：73.

③把l=6，h=9代入公式2，得m==13，得9：13.

對(duì)于10：-46和8：73，換算后結(jié)果均為9：13，即9點(diǎn)13分.

本文通過(guò)對(duì)若干文獻(xiàn)關(guān)于鐘面問(wèn)題的探究，推導(dǎo)出了鐘面問(wèn)題中時(shí)針與分針關(guān)于整點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的一般求解公式，通過(guò)舉例應(yīng)用以及與其他方法的比較，可見(jiàn)本文提出的公式更簡(jiǎn)單易記，求解更方便簡(jiǎn)潔.

參考文獻(xiàn)：

[1] 王耀德. 鐘面角的計(jì)算[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2005（S7）：89-90.

[2] 沈建新. 鐘表問(wèn)題的分類(lèi)和解決策略[J]. 數(shù)理天地（初中版），2020（10）：32-34.

[3] 謝宇靈. 鐘面上的數(shù)學(xué)問(wèn)題解法[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（03）：45-46.

[4] 潘秀亮. 在課題學(xué)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——以“鐘面上的秘密”為例[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（03）：26-27.

[5] 趙生初. 應(yīng)用比及比例的方法求解與時(shí)鐘快慢有關(guān)的問(wèn)題舉例[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2021（06）：18-20.