紅細(xì)胞超彈性變形特性的有限元分析

王穎 桑建兵 馬鈺 付博偉

摘要 人類健康的紅細(xì)胞具有較強(qiáng)的變形能力，對(duì)其力學(xué)性能進(jìn)行研究并揭示其變形機(jī)理是生物力學(xué)領(lǐng)域重點(diǎn)關(guān)注的課題之一。論文采用SolidWorks軟件建立了雙凹形紅細(xì)胞的三維有限元模型，并對(duì)其光鑷?yán)爝^程和原子力顯微鏡納米壓痕過程進(jìn)行了有限元仿真，分別得到了紅細(xì)胞整體和局部的變形特征與應(yīng)力分布規(guī)律。細(xì)胞膜的本構(gòu)模型采用neo-Hooken超彈性材料，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)細(xì)胞膜的本構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，得到了能夠準(zhǔn)確描述細(xì)胞膜變形行為的材料參數(shù)。研究結(jié)果可以用來對(duì)紅細(xì)胞的變形能力進(jìn)行評(píng)估，所搭建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能夠較好地為生物力學(xué)的實(shí)時(shí)多尺度預(yù)測(cè)提供技術(shù)上的支持。

關(guān) 鍵 詞 紅細(xì)胞；超彈性；有限元模擬；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；力學(xué)性能

中圖分類號(hào) Q27? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

Finite element analysis of hyperelastic deformability of

red blood cell

WANG Ying， SANG Jianbing， MA Yu， FU Bowei

（School of Mechanical Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300401， China）

Abstract Human healthy red blood cells have strong deformability. It is one of the key topics in the field of biomechanics to study their mechanical properties and reveal their deformation mechanism. In this paper， the three-dimensional finite element model of double concave red blood cells is established with SolidWorks software， and the finite element simulation of the stretching process of optical tweezers and AFM indentation process are carried out， and the whole and part of deformation characteristics and stress distribution law of red blood cells are obtained respectively. The constitutive model of cell membrane uses neo-Hooken hyperelastic material. Based on neural network， the constitutive parameters of cell membrane are predicted， and the material parameters that can accurately describe the deformation behavior of cell membrane are obtained. The results can be used to evaluate the deformability of red blood cells. The neural network model can provide technical support for real-time multi-scale prediction of biomechanics.

Key words red blood cell; hyperelastic; finite element analysis; neural network; mechanical properties

0 引言

人類紅細(xì)胞是通過血管輸送氧氣的主要工具，通過清除血液中的廢物而起到免疫系統(tǒng)的作用[1]。平均直徑約為8 μm的正常紅細(xì)胞呈兩面中間凹的雙凹形，使其能最大限度地吸收周圍的氧氣。在人體內(nèi)循環(huán)時(shí)的典型壽命為3個(gè)月[2]，期間不斷通過直徑小于其一半的狹窄血管[3]，這就要求紅細(xì)胞具有足夠的柔韌性。細(xì)胞膜由磷脂雙層、細(xì)胞骨架和跨膜蛋白組成，細(xì)胞膜的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)對(duì)紅細(xì)胞的變形能力有很大的影響，這取決于細(xì)胞骨架的抗拉伸和抗剪切能力以及雙層的抗彎曲能力[4]。許多與血液相關(guān)的疾病與紅細(xì)胞的幾何結(jié)構(gòu)和膜特性的變化有關(guān)，影響紅細(xì)胞的變形能力。因此，研究紅細(xì)胞的彈性和變形性能具有重要意義，這是研究紅細(xì)胞微觀力學(xué)性能的基礎(chǔ)?？紤]到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在生物力學(xué)中材料參數(shù)預(yù)測(cè)上的廣泛性，本研究將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法用于對(duì)紅細(xì)胞膜材料參數(shù)的預(yù)測(cè)上。1972年，Evans等[5]估計(jì)了懸浮在不同滲透壓溶液中紅細(xì)胞的平均橫截面形狀，并給出了紅細(xì)胞的平均雙凹形狀函數(shù)。2003年，Dao等[2]在三維有限元分析框架內(nèi)，通過對(duì)彈性和粘彈性行為的幾種不同本構(gòu)關(guān)系，分析了細(xì)胞在加載和釋放光力時(shí)的力學(xué)響應(yīng)，以提取細(xì)胞膜的彈性特性，將實(shí)驗(yàn)和計(jì)算分析的結(jié)果與其他獨(dú)立實(shí)驗(yàn)技術(shù)獲得的有關(guān)紅細(xì)胞機(jī)械響應(yīng)的信息進(jìn)行了比較。2017年，Barns等[6]用AFM壓痕法和粗粒法研究了紅細(xì)胞的力學(xué)性能。2018年，Liu等[7]使用機(jī)器學(xué)習(xí)方法估計(jì)主動(dòng)脈壁的體內(nèi)本構(gòu)參數(shù)，利用有限元仿真的數(shù)據(jù)集，建立了兩個(gè)加載形狀與本構(gòu)參數(shù)之間的非線性關(guān)系。本文用有限元法對(duì)紅細(xì)胞受光鑷?yán)旒癆FM壓痕進(jìn)行有限元仿真，并結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法研究雙凹形紅細(xì)胞基本變形能力。

1 紅細(xì)胞有限元模型的建立

1.1 用于光鑷?yán)斓募t細(xì)胞模型

1972年Evans和Fung從實(shí)驗(yàn)觀察中總結(jié)歸納了有關(guān)紅細(xì)胞形狀的幾何數(shù)據(jù)，歸納出人類紅細(xì)胞的雙凹形形狀函數(shù)[5]：

該函數(shù)有4個(gè)可調(diào)參數(shù)（R0，a0，a1，a2）， R0是細(xì)胞的平均半徑，其他3個(gè)參數(shù)的具體值取決于紅細(xì)胞的狀態(tài)[5]。本模塊選取a0，a1，a2值分別為0.207 161、2.002 558和-1.122 762的正常雙凹形紅細(xì)胞進(jìn)行研究。

基于紅細(xì)胞幾何形狀和加載條件的對(duì)稱性，將計(jì)算模型簡(jiǎn)化為半。不可壓縮的固體殼單元被用于創(chuàng)建膜的截面特性并生成了11 900個(gè)網(wǎng)格單元。利用基準(zhǔn)面切割出代表細(xì)胞與硅微珠接觸的橢圓區(qū)域。由于接觸面積的特殊性，在其上設(shè)置了密度較大的網(wǎng)格，如圖2所示。雖然實(shí)驗(yàn)中用計(jì)算機(jī)軟件可以很容易地控制光鑷的強(qiáng)度和位置，但在有限元模擬中建立位移邊界條件很難使結(jié)果收斂。因此，在光鑷?yán)爝^程中，通過在建立的與橢圓區(qū)域耦合的參考點(diǎn)上施加位移邊界條件，來模擬紅細(xì)胞受徑向拉伸的動(dòng)態(tài)特性。在之前的研究中，細(xì)胞質(zhì)流體被建模為牛頓不可壓縮流體，由不可壓縮Navier–Stokes方程描述[8]。本研究利用ABAQUS中流體腔的函數(shù)模型來實(shí)現(xiàn)紅細(xì)胞膜和細(xì)胞質(zhì)之間的液固耦合模擬。假設(shè)腔體完全由具有相同性質(zhì)和狀態(tài)的流體填充，考慮到流體（細(xì)胞質(zhì)）和結(jié)構(gòu)（細(xì)胞膜）之間的相互作用和耦合，空腔中的流體行為可以基于液壓或氣動(dòng)模型。由于水力模型可以模擬幾乎不可壓縮的流體行為，因此選擇類型為流體腔的相互作用來模擬細(xì)胞質(zhì)，并參考人體血液密度將腔內(nèi)流體密度設(shè)置為1 g/cm3。

1.2 用于AFM壓痕的紅細(xì)胞模型

為了探索紅細(xì)胞在局部區(qū)域的變形能力，提出了一種檢測(cè)紅細(xì)胞局部變形能力的實(shí)驗(yàn)方法，即原子力顯微鏡（AFM）壓痕法。與光鑷?yán)旆ㄑ芯考t細(xì)胞的整體變形能力相比，AFM壓痕法可以進(jìn)一步了解膜性能是如何控制紅細(xì)胞的物理行為的。AFM壓痕技術(shù)是一種相對(duì)較新的技術(shù)，它包括一個(gè)懸臂探針，用于向試樣施加位移，利用懸臂梁的剛度特性可以測(cè)量引起試樣變形的力。為了對(duì)細(xì)胞進(jìn)行有效的壓痕，細(xì)胞必須粘附在基底上，以防止它們從探針下方滑出。當(dāng)細(xì)胞粘附于基底時(shí)，紅細(xì)胞的表面出現(xiàn)圓頂形[6]。AFM壓痕是一種相對(duì)較新的技術(shù)，它包含了在測(cè)量位移的同時(shí)將力施加到樣本上的懸臂式探針。傳感器能夠測(cè)量從懸臂反射的激光束的偏轉(zhuǎn)，以此檢測(cè)出探針的位置。利用懸臂的剛度特性可以對(duì)引起樣本變形的力進(jìn)行測(cè)量。為了進(jìn)行壓痕，細(xì)胞必須粘附在基底上，以防止它們從探針下方滑出。一旦粘附，紅細(xì)胞表面可呈現(xiàn)穹頂形狀或雙凹形狀[9]。AFM壓痕研究的另一個(gè)主要考慮因素是探針形狀的選擇，在以往的研究中，錐形[10]，金字塔形[11，13]和球形尖端[9，14]的探針用于研究紅細(xì)胞的力學(xué)性能。探針的尺寸也有很大的變化，錐形和金字塔形探針尖端的半徑在10～50 nm[11]之間，球形探針的直徑在6～15 μm[9]之間。錐形和金字塔形探針能夠精準(zhǔn)地靶向細(xì)胞膜的特定區(qū)域，然而，它們尖銳的頂端將集中力作用于細(xì)胞膜上，使膜超出生理極限，導(dǎo)致滲透和破裂，球形探針可以克服這些風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)槠浔砻婀饣琜10]，因此本次有限元建模中選用球形探頭直接加力到細(xì)胞膜上。為了驗(yàn)證有限元模擬結(jié)果的正確性，有必要與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。Barns等[6]用AFM壓痕和粗粒度法研究了紅細(xì)胞的力學(xué)性能，本研究在ABAQUS中對(duì)紅細(xì)胞的AFM壓痕進(jìn)行有限元模擬，并與Barns等人用粗粒度法研究的結(jié)果有較好的吻合。Barns等[6]的研究報(bào)告中紅細(xì)胞粘附時(shí)的共聚焦圖像（圖3）顯示，當(dāng)紅細(xì)胞粘附在基質(zhì)上時(shí)，與基質(zhì)的接觸直徑約為8 μm，此時(shí)紅細(xì)胞的高度約為2 μm，細(xì)胞頂部呈穹頂狀。本研究在ABAQUS中建立了相同大小和形狀的用于AFM壓痕的紅細(xì)胞的有限元模型（圖4）。為了與Barns的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比從而對(duì)本文建立的模型以及有限元結(jié)果的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，本次模擬中使用與Barns的實(shí)驗(yàn)中相同直徑（5 μm）的球形探針，考慮到在壓痕過程中，只有探針的頂部與紅細(xì)胞有接觸，因此只取探針頂部的球形區(qū)域進(jìn)行建模。如圖4所示，在紅細(xì)胞模型上生成了16 248個(gè)不可壓縮的實(shí)體殼單元。

2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)紅細(xì)胞本構(gòu)參數(shù)的預(yù)測(cè)

復(fù)雜的非線性映射人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由大量神經(jīng)元連接而成的網(wǎng)絡(luò)，通過對(duì)人腦的抽象、簡(jiǎn)化和模擬，反映人腦的基本特征。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法的一個(gè)分支，其動(dòng)機(jī)是建立和模擬人腦的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析和學(xué)習(xí)。它已經(jīng)成功地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，包括語音或圖像識(shí)別[12-13]、新藥設(shè)計(jì)醫(yī)學(xué)[14]、多模態(tài)數(shù)據(jù)融合[15] 和計(jì)算機(jī)視覺[16]。深度學(xué)習(xí)的本質(zhì)是通過構(gòu)造隱含層多、訓(xùn)練數(shù)據(jù)量大的機(jī)器學(xué)習(xí)模型來學(xué)習(xí)更多有用的特征，最終提高分類或預(yù)測(cè)的精度。復(fù)雜的非線性關(guān)系往往難以用傳統(tǒng)的數(shù)理方法描述，輸入和輸出數(shù)據(jù)之間的映射規(guī)則可以在學(xué)習(xí)階段自動(dòng)抽取并分布存儲(chǔ)在網(wǎng)絡(luò)的所有連接中，這使得設(shè)計(jì)合理的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠以任意精度逼近。

本研究中完整的利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)過程主要包括以下步驟。

1）收集訓(xùn)練集：由于細(xì)胞膜的超彈性是決定紅細(xì)胞變形能力的一個(gè)重要因素，在以往的許多對(duì)紅細(xì)胞力學(xué)性能的研究中，均采用應(yīng)變能密度函數(shù)來刻畫細(xì)胞膜的非線性彈性，并將其視為新胡克超彈性材料。根據(jù)ABAQUS分析用戶指南，新胡克應(yīng)變能勢(shì)的形式為

式中：U是應(yīng)變勢(shì)能；C10和D1是材料參數(shù)，Jel是彈性體積比；I1為材料中的扭曲度量。在不考慮溫度的情況下，ABAQUS中只需要設(shè)置2個(gè)參數(shù)（C10和D1）?？紤]到材料的不可壓縮性，D1的值被設(shè)置為零。通過將有限元模擬結(jié)果與M.DAO等實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的初步擬合[2]，得到了C10的初始值為75 Pa。因此，將作為網(wǎng)絡(luò)輸入的材料參數(shù)C10的取值范圍設(shè)定為65～85 Pa之間，步長(zhǎng)為0.1。將上述范圍內(nèi)的201個(gè)C10逐個(gè)輸入到ABAQUS中并通過計(jì)算得到201組能反映紅細(xì)胞變形的拉伸力，作為網(wǎng)絡(luò)的輸出。在TensorFlow中利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)探索材料參數(shù)C10與拉伸力之間的映射關(guān)系，當(dāng)輸入Dao等人實(shí)驗(yàn)曲線上正確的一組拉伸力時(shí)，便可得到與其對(duì)應(yīng)的材料參數(shù)。

2）網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)：確定網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)和每一個(gè)隱藏層的節(jié)點(diǎn)數(shù)以及激活函數(shù)，和輸出層的激活函數(shù)與損失函數(shù)。在網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)過程中，確定隱藏層中的單元數(shù)是非常重要的。隱藏層中單元過多會(huì)增加網(wǎng)絡(luò)計(jì)算量，導(dǎo)致過擬合問題。如果單元數(shù)量太少，網(wǎng)絡(luò)性能會(huì)受到影響，無法達(dá)到預(yù)期效果。網(wǎng)絡(luò)中隱藏層單元的數(shù)量直接關(guān)系到實(shí)際問題的復(fù)雜性、輸入輸出層單元的數(shù)量以及預(yù)期誤差的設(shè)置。目前還沒有明確的隱層單元數(shù)計(jì)算公式，只有一些經(jīng)驗(yàn)公式。本文采用以下經(jīng)驗(yàn)公式選取了隱層單元數(shù)。

式中：n和m分別是輸入層和輸出層中的單位數(shù)；a是介于1和10之間的常數(shù)。通過上述方程的計(jì)算，隱層1和隱層2的單元數(shù)分別為10和8。

3）本文采用多輸入單輸出包含2個(gè)隱層的4層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了預(yù)測(cè)模型。本研究中使用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如圖5所示。

由于21個(gè)力值相差較大，為了使數(shù)據(jù)具有可比性，首先將數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將其歸一化，避免大數(shù)值區(qū)間的屬性過分支配了小數(shù)值區(qū)間的屬性，保證程序運(yùn)行時(shí)收斂加快。選用前150組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后50組數(shù)據(jù)作為測(cè)試集用來評(píng)估模型。訓(xùn)練前運(yùn)行初始化代碼來初始化所有的變量，將模型訓(xùn)練100 000次，輸出測(cè)試和訓(xùn)練的損失值，并預(yù)測(cè)出C10的值為68.1 Pa。從圖6可以看出，隨著訓(xùn)練次數(shù)越來越大，訓(xùn)練的損失值逐漸減小并趨近于0，表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型有較好的訓(xùn)練結(jié)果。

3 對(duì)紅細(xì)胞受變形的有限元模擬

3.1 紅細(xì)胞受光鑷?yán)斓挠邢拊M

在后處理過程中，紅細(xì)胞的一半模型被鏡像為整體模型以便更直觀地表達(dá)其變形情況。

從圖7的Mises應(yīng)力云圖可以看出，在距離與硅微珠接觸越近的部位應(yīng)力越大。圖8b）將有限元模擬的結(jié)果與Dao的實(shí)驗(yàn)結(jié)果放在一起進(jìn)行對(duì)比，可以看出模擬的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為吻合，證明了所預(yù)測(cè)的本構(gòu)參數(shù)C10的正確性。

考慮到細(xì)胞質(zhì)對(duì)紅細(xì)胞受光鑷?yán)?，?給出了當(dāng)拉伸位移為4 μm時(shí)，有無細(xì)胞質(zhì)的紅細(xì)胞形態(tài)上的變化。從圖8b）中可以看出，無論細(xì)胞內(nèi)是否含有細(xì)胞質(zhì)，紅細(xì)胞在拉伸過程中軸向直徑上的變化沒有明顯差異。然而，由于細(xì)胞質(zhì)的支撐力，在相同拉伸力下，不含細(xì)胞質(zhì)的細(xì)胞在橫向上的直徑略有收縮。

3.2 紅細(xì)胞受AFM壓痕的有限元模擬

紅細(xì)胞膜的本構(gòu)模型和本構(gòu)參數(shù)與用于拉伸有限元模擬中的紅細(xì)胞模型一致，采用新胡克超彈性材料，材料參數(shù)C10設(shè)置為68.101 19 Pa，D1設(shè)置為0。考慮到圓形探針的剛度和硬度遠(yuǎn)大于細(xì)胞膜的剛度和硬度，設(shè)置其為一個(gè)不可變形的剛體。由于在實(shí)驗(yàn)中紅細(xì)胞粘附在基質(zhì)上，有限元模擬中，在設(shè)置邊界條件時(shí)，將紅細(xì)胞與基質(zhì)接觸的底部完全固定，并在球形探針上施加200 nm垂直向下的位移，探討紅細(xì)胞在AFM壓痕下的局部變形機(jī)制。

如圖10a）所示，在ABAQUS中模擬紅細(xì)胞受壓痕與Barns的粗粒度法進(jìn)行對(duì)比，曲線重合度較高，模擬的結(jié)果較為接近，進(jìn)一步驗(yàn)證了所建立的紅細(xì)胞本構(gòu)模型和本構(gòu)參數(shù)的正確性，在此基礎(chǔ)上采用不同直徑探針對(duì)紅細(xì)胞進(jìn)行壓痕實(shí)驗(yàn)的有限元模擬，以探索探針直徑對(duì)紅細(xì)胞壓痕的影響。使用直徑在1～8 μm之間變化的球形探針對(duì)頂部出現(xiàn)穹頂形的紅細(xì)胞進(jìn)行壓痕實(shí)驗(yàn)的有限元模擬，壓痕力-壓痕深度曲線如圖10b）所示。從圖10b）中可以看出，在小壓痕深度處（約100 nm），當(dāng)探頭尺寸改變時(shí)，所施加的壓痕力變化可以忽略不計(jì)。然而，當(dāng)壓痕深度超過100 nm時(shí)，施加的力有明顯的變化，較大的探針需要更多的力量來使細(xì)胞變形。這一趨勢(shì)只有在較大的壓痕深度時(shí)才會(huì)發(fā)生顯著的變化，是由于細(xì)胞和探針之間的接觸面積逐漸變大，此時(shí)凹面逐步形成，細(xì)胞膜開始形成探針的形狀（見圖10b）），更大直徑的探針通過這一階段出現(xiàn)更大的接觸面積，這意味著需要施加更大的力來使細(xì)胞變形。

4 結(jié)論

紅細(xì)胞承擔(dān)著對(duì)人體運(yùn)輸氧氣和養(yǎng)分的功能，紅細(xì)胞變形能力的下降會(huì)增加其通過極細(xì)的毛細(xì)血管的難度，對(duì)整個(gè)血液循環(huán)的流暢性造成威脅。因此本研究以紅細(xì)胞為研究對(duì)象，對(duì)人類正常雙凹形紅細(xì)胞的力學(xué)性能進(jìn)行研究和分析。為了研究紅細(xì)胞的變形機(jī)理，分別建立用于光鑷?yán)旌虯FM壓痕的有限元模型，根據(jù)紅細(xì)胞的變形特征和機(jī)理，引入能夠準(zhǔn)確反映其變形特征的neo-Hooken本構(gòu)模型，并結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，捕捉有限元算法所確定的底層映射，對(duì)本構(gòu)參數(shù)C10進(jìn)行預(yù)測(cè)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的損失值接近于0，C10的預(yù)測(cè)值為68.1 Pa。在此基礎(chǔ)上探索紅細(xì)胞的整體和局部變形能力，得到了紅細(xì)胞在全局和局部水平的變形機(jī)理。研究每種抗變形機(jī)制有助于理解它們?cè)诩t細(xì)胞物理行為中的作用和重要性，反饋到用于防止變形能力損失的策略中，對(duì)血液病的臨床診斷具有重要意義。

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