謝永惠

［摘 要］文章以一道高考題為例，對“概率”復(fù)習(xí)怎樣回歸教材進(jìn)行思考。復(fù)習(xí)要回歸教材，關(guān)注概念及其辨析，可通過微專題，從夯實(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，使學(xué)生掌握核心概念，提高基礎(chǔ)題的得分率，進(jìn)而切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］高考；概率；復(fù)習(xí)；回歸教材

［中圖分類號(hào)］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號(hào)］ ? ?1674-6058（2023）02-0007-03

一、原題呈現(xiàn)

（2021年高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)第8題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）。

A. 甲與丙相互獨(dú)立B. 甲與丁相互獨(dú)立

C. 乙與丙相互獨(dú)立D. 丙與丁相互獨(dú)立

二、得分情況

福建省教育考試院編發(fā)的《2021年福建省普通高考學(xué)科評價(jià)報(bào)告》顯示，此題的平均得分率最低，具體從全省各類學(xué)校選擇題答題平均得分可知（見表1）。

而全省考生本題四個(gè)選項(xiàng)的選擇情況如表2所示。

從表2可以看出，本題實(shí)測難度為0.05，屬于超難題，總體區(qū)分度0.01，區(qū)分功能極差，說明絕大多數(shù)考生對該考點(diǎn)知識(shí)的掌握極差。

三、失分原因

本題主要考查古典概型的概率計(jì)算及事件相互獨(dú)立的判斷等內(nèi)容。實(shí)際答卷中，錯(cuò)選A或D選項(xiàng)的人數(shù)占?xì)v史組總?cè)藬?shù)的90.5%，占物理組總?cè)藬?shù)的91.85%。錯(cuò)選A選項(xiàng)的考生誤解了兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，他們認(rèn)為“第一次取出的球的數(shù)字是1”與“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”顯然不可能同時(shí)發(fā)生，從而得出甲與丙相互獨(dú)立，這是混淆了“事件互斥”與“事件相互獨(dú)立”這兩個(gè)概念。選擇D選項(xiàng)的考生則是把丙與丁之間的互斥關(guān)系當(dāng)成了相互獨(dú)立關(guān)系。有少數(shù)學(xué)生選C，部分原因是在表示乙或丙所包含的基本事件時(shí)出錯(cuò)或者概率計(jì)算錯(cuò)誤。歸結(jié)錯(cuò)因是考生未能掌握好事件相互獨(dú)立的概念，對古典概率的運(yùn)算不熟練。

四、教學(xué)思考

這道選擇題在命題專家及任課教師眼中只能算是基礎(chǔ)題?；A(chǔ)題的設(shè)置目的是引導(dǎo)學(xué)生重視學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)。從2021年和2022年高考全國卷的數(shù)學(xué)試題來看，基礎(chǔ)題失分是許多考生的難言之痛。如何有效減少基礎(chǔ)題失分 ，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中師生關(guān)注的重點(diǎn)。 那么，在高考改革 “穩(wěn)中求進(jìn)”的背景下，教師如何做好“概率”內(nèi)容的有效復(fù)習(xí)呢？在“概率”復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)立足基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，讓學(xué)生切實(shí)掌握核心概念。

（一）立足基礎(chǔ)，回歸教材，應(yīng)關(guān)注概念的定義

以本題為例，其四個(gè)選項(xiàng)都只關(guān)注了兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-3用投擲一枚骰子和一枚硬幣引出“當(dāng)事件的全集[Ω1和Ω2]獨(dú)立，對于[A?Ω1]，[B?Ω2]，有[P（A∩B）=P（A）P（B）]，這時(shí)我們也稱事件[A]、[B]獨(dú)立”。也就是說，可以用[P（A∩B）=P（A）P（B）]來判斷事件[A]、[B]相互獨(dú)立。因此，在解答本題時(shí)，我們可把“隨機(jī)取兩次”的每一個(gè)結(jié)果記為[（i，j）] [i，j∈1，2，3，4，5，6]，則甲包含的基本事件有[（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）]，用集合[A]表示 ，則[P（A）=636=16]。同理，用集合[B]、[C]、[D]表示乙、丙、丁包含的基本事件，有[P（B）=636=16]，[P（C）=536]，[P（D）=636=16]。因?yàn)榧着c丙表示的事件不可能同時(shí)發(fā)生，所以[P（AB）=0]，顯然[P（AB）≠P（A）P（B）]，可知A選項(xiàng)錯(cuò)誤。同理，丙與丁表示的事件也不可能同時(shí)發(fā)生，因此D選項(xiàng)也錯(cuò)誤。對于選項(xiàng)B與C，甲與丁含有共同的基本事件（1，6），則[P（AD）=136=P（A）P（D）]，乙與丙含有共同的基本事件（6，2），則[P（BC）=136≠P（B）P（C）]，所以本題正確選項(xiàng)為B?；貧w教材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步關(guān)注概念的定義，從定義出發(fā)解決問題，以不變應(yīng)萬變。

（二）立足基礎(chǔ)，回歸教材，應(yīng)關(guān)注概念的辨析

以本題為例，從相關(guān)數(shù)據(jù)可以看出，超過90%的考生選擇A、D選項(xiàng)，多數(shù)考生對于事件相互獨(dú)立的概念理解不當(dāng)，混淆了“事件互斥”與“事件獨(dú)立”這兩個(gè)概念。事實(shí)上，教材中的例題與練習(xí)更側(cè)重于讓學(xué)生計(jì)算兩個(gè)獨(dú)立事件的概率。若“回歸教材”只是讓學(xué)生重復(fù)讀例題、做練習(xí)，那么可能仍然不能使學(xué)生充分理解兩個(gè)事件的獨(dú)立性。因此，我們還需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一些變式問題，引導(dǎo)學(xué)生辨析概念，讓學(xué)生能深刻理解相關(guān)概念的區(qū)別。

例如可設(shè)置問題1：有4個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字小于3”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字小于3”。寫出甲、乙包含的基本事件，甲、乙互斥嗎？相互獨(dú)立嗎？

解析：把“有放回的隨機(jī)取兩次”的每一個(gè)結(jié)果記為[（i，j）] [i，j∈1，2，3，4]，事件甲、乙分別用集合[A]、[B]表示，則[A=（1，1）]，（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），[（2，4）]，[B=（1，1）]，（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），[（4，2）]，有[P（A）=816=12]，[P（B）=816=12]，則[A∩B=（1，1），（1，2），（2，1），（2，2） ]。

顯然[A∩B≠?，]所以甲、乙不互斥。

又因?yàn)橛衃P（AB）=416=12×12=P（A）P（B）]，所以甲、乙相互獨(dú)立。

緊接著提出問題2：若把問題1改為“無放回隨機(jī)抽取兩次”呢？

解析：把“無放回隨機(jī)取兩次”的每一個(gè)結(jié)果記為[（i，j）] [i，j∈1，2，3，4，i≠j]，事件甲、乙分別用集合C、D表示，[C=（1，2）]，（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），[（2，4）]，[D=（1，2）]，（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），[（4，2）]，有[PC=612=12]，[ P（D）=612=12]，則[C∩D=（2，1），（1，2）]。

顯然[C∩D≠?]，甲、乙不互斥。

又因?yàn)閇P（CD）=212≠12×12=P（C）P（D）]，所以甲、乙不相互獨(dú)立。

這樣的引導(dǎo)，能使學(xué)生更好地理解事件的相互獨(dú)立。

（三）回歸教材，關(guān)注概念辨析，應(yīng)重視“微專題”的復(fù)習(xí)

在復(fù)習(xí)過程中，如果只是讓學(xué)生完成例題及課后練習(xí)，復(fù)習(xí)提升的力度顯然不夠。若教師設(shè)置變式練習(xí)，幫助學(xué)生進(jìn)一步辨析概念，也僅能提高單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)效率。想要進(jìn)一步提高學(xué)生解決問題的能力，教師還需要把相關(guān)知識(shí)整合成“微專題”，讓學(xué)生通過對一類問題的解答整合解決這一類問題的方法，進(jìn)而提升學(xué)生的解題能力。如前面的問題1中，還可增加條件概率的問題設(shè)置，即在判斷甲、乙是否獨(dú)立之前，增加：甲是否發(fā)生會(huì)影響乙發(fā)生的概率嗎？有放回抽取時(shí)，則“若甲發(fā)生，則乙發(fā)生”的概率為[P（B|A）=48=12]，而“若甲不發(fā)生，則乙發(fā)生”的概率為[P（B|A）=48=12]。這表明甲是否發(fā)生不影響乙發(fā)生的概率，此時(shí)有[P（AB）=P（A）P（B）]，從而進(jìn)一步驗(yàn)證甲、乙為相互獨(dú)立事件。無放回抽取時(shí)，“若甲發(fā)生，則乙發(fā)生”的概率為[P（B|A）=26=13]，而“若甲不發(fā)生，則乙發(fā)生”的概率為[P（B|A）=46=23]。這表明甲是否發(fā)生會(huì)影響乙發(fā)生的概率，此時(shí)有[P（AB）≠P（A）P（B）]，從而進(jìn)一步驗(yàn)證無放回抽取時(shí)，甲、乙不是相互獨(dú)立的。這樣，在一個(gè)問題的解答中，學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)概率的相關(guān)知識(shí)，把古典概型與條件概率的計(jì)算、互斥事件與對立事件及事件相互獨(dú)立的判斷聯(lián)系起來，在解題過程中對比、辨析，漸漸厘清知識(shí)脈絡(luò)，總結(jié)出解決這一類概率問題的方法。

下面以2022年高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題第20題為例進(jìn)行說明。

某醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣的關(guān)系，在已患病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（病例組），同時(shí)在未患病的人群中隨機(jī)調(diào)查100人（對照組），得到如下表所示的數(shù)據(jù)。

[ 不夠良好 良好 病例組 40 60 對照組 10 90 ]

試題中的問題（2）：從該地的人群中任選一人，用[A]表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，[B]表示事件“選到的人患病”，記[R]為[P（B|A）P（B|A）]與[P（B|A）P（B|A）]的比值，[R]是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)。求證：[R=P（A|B）P（A|B）·P（A|B）P（A|B）]。

顯然，如果學(xué)生理解條件概率的意義，明白[P（A|B）=P（AB）P（B）]的運(yùn)算法則，則本題可迎刃而解。事實(shí)上，高考卷對知識(shí)點(diǎn)的考查很少是割裂的，試題更側(cè)重于考查學(xué)生理解和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，以及他們的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力。以高考試題為教學(xué)導(dǎo)向，我們在復(fù)習(xí)中必須以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)運(yùn)用，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，對于有內(nèi)在聯(lián)系的各部分知識(shí)重點(diǎn)區(qū)分關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生厘清脈絡(luò)。在“概率”復(fù)習(xí)中，我們只有加強(qiáng)概念教學(xué)，重視概念辨析，開展“微專題”復(fù)習(xí)，才能強(qiáng)化學(xué)生的解題思維，提升學(xué)生的解題能力。

我們還可以通過課后練習(xí)的形式對這類專題的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鞏固。

題目1.假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)隨機(jī)選擇一個(gè)有3個(gè)孩子的家庭，則下列說法正確的是（）。

A.事件“該家庭3個(gè)孩子中至多有2個(gè)女孩”和事件“該家庭3個(gè)孩子中至多有2個(gè)男孩”是互斥事件

B.事件“該家庭3個(gè)孩子都是男孩”和事件“該家庭3個(gè)孩子都是女孩”是對立事件

C.事件“該家庭3個(gè)孩子中至少有1個(gè)女孩”發(fā)生的概率為[18]

D.當(dāng)已知該家庭3個(gè)小孩中有男孩的條件下，事件“3個(gè)小孩中至少有2個(gè)男孩”的概率為[47]

（本題的解析略）

題目2.設(shè)[n]是給定的正整數(shù)（[n>2]），現(xiàn)有[n]個(gè)外表相同的袋子，里面均裝有[n]個(gè)除顏色外其他無區(qū)別的小球，第[k（k=1，2，3，…，n）]個(gè)袋中有[k]個(gè)紅球，[n-k]個(gè)白球?，F(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個(gè)袋子，并且從中連續(xù)取出三個(gè)球（每次取后不放回）。

（1）若[n=4]，假設(shè)已知選中的恰為第2個(gè)袋子，求第三次取出為白球的概率；

（2）若[n=4]，求第三次取出為白球的概率；

（3）對于任意的正整數(shù)[n（n>2）]，求第三次取出為白球的概率。

解析：（1）[n=4]時(shí)，第三次取出為白球的情況：紅紅白，紅白白，白紅白。利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出第三次取出為白球的概率。

（2）先求出第三次取出的是白球的種數(shù)，再求出在第[k]個(gè)袋子中第三次取出的是白球的概率，選到第[k]個(gè)袋子的概率為[14]，由此能求出第三次取出的是白球的概率。

（3）先求出第三次取出的是白球的種數(shù)，再求出在第[k]個(gè)袋子中第三次取出的是白球的概率，選到第[k]個(gè)袋子的概率為[1n]，由此能求出第三次取出的是白球的概率。

總之，在高考復(fù)習(xí)中，教師不僅要充分認(rèn)識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)、回歸教材的重要性，而且要讓學(xué)生在理解核心概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行有針對性的練習(xí)，從而提升學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?童其林.高考中概率問題的常考題型［J］.廣東教育（高中版），2021（10）：31-35.

［2］ ?福建省教育考試院.2021年福建省普通高考學(xué)科評價(jià)報(bào)告：語文、數(shù)學(xué)、英語［M］.福州：福建教育出版社，2021：56-57，80.

［3］ ?丁菁.打破慣性 從“新”出發(fā)：對蘇教版新教材“概率”必修部分的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（31）：38-41.

［4］ ?潘冬麗. 對2022年數(shù)學(xué)新高考卷Ⅰ的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2022（7）：49-52.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）