水輪混沌旋轉(zhuǎn)的力學(xué)機(jī)理與能量演化研究*

王賀元, 肖勝中, 梅鵬飛, 張 熙

(1.廣東科技學(xué)院 通識(shí)教育學(xué)院, 廣東 東莞 523083;2.沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034;3.廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 廣州 510507)

0 引 言

混沌研究的歷史最早可追溯到Poincare對(duì)三體問題的研究.1963年美國的氣象學(xué)家Lorenz在研究局部區(qū)域小氣候的數(shù)值實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象,開啟了混沌研究的先河,引發(fā)了后續(xù)的大量研究,相關(guān)文獻(xiàn)非常豐富[1-12].受數(shù)值結(jié)果的啟發(fā),Lorenz設(shè)計(jì)了與我國古代的水車相似的混沌水輪實(shí)驗(yàn)裝置,其轉(zhuǎn)動(dòng)的示意圖如圖1所示.其主要組成部分為存在摩擦阻力的水平軸和豎直的與其相連的輪,水輪頂端連有水管,可以將速度可調(diào)節(jié)的水流注入到掛在輪邊緣的水杯中,每只水杯的底部均有一個(gè)能恒定漏水的小孔.如果注入水流的速度很慢,頂部杯中水量較少,因而不能克服輪軸摩擦力,水輪靜止不動(dòng).如果水流加大,杯中的水來不及漏出,隨著頂部杯中水的增多,產(chǎn)生力矩驅(qū)動(dòng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng).如果保持水流速度恒定,水輪開始勻速旋轉(zhuǎn),隨著水流繼續(xù)加大,水會(huì)不斷地注入其他水杯中,這些水杯來不及裝滿就轉(zhuǎn)到下側(cè),下側(cè)的水杯來不及漏空就轉(zhuǎn)到頂端,形成了反向力矩,從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)速減小,甚至發(fā)生逆轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)逐漸變得無序混亂,發(fā)生非勻速旋轉(zhuǎn)、倒轉(zhuǎn)、周期反轉(zhuǎn)等現(xiàn)象,最終呈混沌狀態(tài),轉(zhuǎn)動(dòng)的方向和速度會(huì)因系統(tǒng)內(nèi)在的非線性而顯現(xiàn)出非常復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)特征,可以觀察到十分豐富的混沌旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.1972年,Malkus改進(jìn)了Lorenz混沌水輪實(shí)驗(yàn)裝置,完成了通過實(shí)驗(yàn)演示Lorenz方程混沌行為的這一挑戰(zhàn)性工作,引起了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注,開展了分析和解釋水輪混沌旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的一系列研究工作,具體見文獻(xiàn)[6,8,10].上述研究工作都是分析和解釋實(shí)驗(yàn)中觀察到的水輪的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)及其相互演化的過程等,而對(duì)水輪為什么會(huì)混沌旋轉(zhuǎn)、混沌旋轉(zhuǎn)的生成機(jī)理、其能量轉(zhuǎn)換等問題目前還沒有文獻(xiàn)涉及,本文將在這方面展開研究與探索.

圖1 混沌水輪示意圖

探討混沌生成的力學(xué)機(jī)理及其能量演化方面的研究已取得了一些進(jìn)展.文獻(xiàn)[13]利用Kolmogorov系統(tǒng)描述了具有Hamilton函數(shù)的不同強(qiáng)迫動(dòng)力系統(tǒng)、流體動(dòng)力系統(tǒng)等.文獻(xiàn)[14]對(duì)Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行了研究,給出了統(tǒng)一的Kolmogorov和Lorenz系統(tǒng).文獻(xiàn)[15]利用Casimir函數(shù)分析了Chen系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和能量轉(zhuǎn)換,揭示了能量轉(zhuǎn)換和軌道與平衡點(diǎn)間的距離,估計(jì)了混沌吸引子的邊界.文獻(xiàn)[16]分析了Chen系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理與能量轉(zhuǎn)換.文獻(xiàn)[17]研究了Qi四翼混沌系統(tǒng)的力學(xué)機(jī)理與能量轉(zhuǎn)換,通過力矩的5種耦合模式分析了四翼混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的動(dòng)力學(xué)機(jī)制.借助擴(kuò)展的Kolmogorov系統(tǒng),文獻(xiàn)[18]研究了Lorenz系統(tǒng)的能量演化.文獻(xiàn)[15-17]中的混沌系統(tǒng)均為通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)的混沌系統(tǒng),沒有明確的物理意義.文獻(xiàn)[11-12]探討了同軸圓筒間旋轉(zhuǎn)流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理,研究了具有明確物理意義的C-T流問題,分析了C-T流的動(dòng)力機(jī)制、物理意義和能量轉(zhuǎn)換.

基于這些研究工作,本文探討Malkus水輪混沌旋轉(zhuǎn)的內(nèi)在機(jī)理.將Malkus水輪系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為Kolmogorov系統(tǒng), 分析和仿真了不同動(dòng)力學(xué)模式下Malkus水輪模型的旋轉(zhuǎn)行為, 進(jìn)而解釋了Malkus水輪混沌旋轉(zhuǎn)的力學(xué)機(jī)理.

因?yàn)镸alkus水輪系統(tǒng)的軌道和平衡點(diǎn)之間的距離隨參數(shù)和時(shí)間變化,所以理論分析和數(shù)值模擬Malkus水輪系統(tǒng)的混沌吸引子是非常困難的.由于Casimir函數(shù)與距離息息相關(guān),本文借鑒文獻(xiàn)[18]關(guān)于Lorenz吸引子的研究思想,引入Casimir函數(shù)研究了Malkus水輪系統(tǒng)全局吸引子的邊界和能量演化問題.

1 Malkus水輪系統(tǒng)及其Kolmogorov系統(tǒng)

文獻(xiàn)[6]利用質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量矩方程結(jié)合Fourier展開等數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出 Malkus水輪的數(shù)學(xué)模型為如下三維非線性微分方程組(以下簡稱為Malkus水輪系統(tǒng)):

(1)

這里x,y,z是Fourier系數(shù),它們是時(shí)間t的函數(shù),x是與水輪旋轉(zhuǎn)角速度有關(guān)的物理量,y和z是與水杯中水的質(zhì)心坐標(biāo)有關(guān)的物理量,σ是正的參數(shù),r為Rayleigh數(shù),它們是與漏水率和注水率有關(guān)的變量.由于系統(tǒng)(1)是著名的Lorenz系統(tǒng)的特例(b=1),其混沌現(xiàn)象是顯著的.經(jīng)數(shù)值仿真得當(dāng)σ=5,5.45≤r≤210.51,212.07≤r≤301.53,348.13≤r≤510.53時(shí),系統(tǒng)(1)存在混沌吸引子.其分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)如圖2所示.

(a)分岔圖 (b)最大Lyapunov指數(shù)

為探討水輪混沌旋轉(zhuǎn)的力學(xué)機(jī)理,我們引進(jìn)如下的Kolmogorov系統(tǒng):

(2)

其中X=[x,y,z]T,反對(duì)稱括號(hào){·,·}表示Hamilton函數(shù)H動(dòng)能部分的代數(shù)結(jié)構(gòu),與cosymplectic矩陣J,或Lie-Poisson結(jié)構(gòu)[19],

{F,G}=Jik?iF?kG.

(3)

(4)

系統(tǒng)(4)與原系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的數(shù)量和性質(zhì)相同,但位置發(fā)生了改變.系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)如下:

下面采用線性穩(wěn)定性分析方法討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

容易求得方程(4)線性化方程在平衡點(diǎn)O處的特征方程為

(λ+1)[λ2+(σ+1)λ+σ(1-r)]=0.

(5)

特征值為

(6)

相應(yīng)的特征矢分別為

(7)

先看r=r1=1的情形,當(dāng)rr1時(shí),O變?yōu)椴环€(wěn)定的,系統(tǒng)分叉出另外兩個(gè)穩(wěn)定的定態(tài)P+和P-.故在r=r1=1時(shí)出現(xiàn)音叉分岔(圖3(a)),具體分析請(qǐng)參考文獻(xiàn)[2-5].

(a)r=r1處的音叉分岔 (b)P±點(diǎn)r=rh處的亞臨界Hopf分岔

下面討論定點(diǎn)P+和P-的穩(wěn)定性.

系統(tǒng)(4)具有反射對(duì)稱性:當(dāng)(x,y,z)變?yōu)?-x,-y,z)時(shí),方程不變.因此若(x0,y0,z0)是方程的解,則(-x0,-y0,z0)自然也是方程的解,而且此二解具有相同的性質(zhì),即P+(x0,y0,z0)和P-(-x0,-y0,z0)性質(zhì)完全相同,故只需分析其中之一即可,下面只分析P+.

系統(tǒng)(4)的線性化方程在P+處的特征方程為

λ3+(σ+2)λ2+(σ+r)λ+2σ(r-1)=0.

(8)

于是得到其Routh-Hurwitz判別行列式為

(9)

令Δ2=(σ+2)(σ+r)-2σ(r-1)=0時(shí)的r為rh,則

(10)

當(dāng)σ<2時(shí),rh<0,但r(表示無量綱Reynolds數(shù))取負(fù)值是沒有意義的,因此這種情形應(yīng)摒棄,而只限于討論σ>2的情形.由式(10)可知:當(dāng)r0,Δ3>0;反之,當(dāng)r>rh時(shí),Δ2<0,Δ3<0.因此根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可知:當(dāng)rrh時(shí),P+和P-都是不穩(wěn)定的.

當(dāng)r=rh時(shí),特征方程化為

(λ+σ+2)[λ2+(rh+σ)]=0.

(11)

定義Hamilton能量H=K+U,其中動(dòng)能K=(x2+2y2+2z2)/2,勢(shì)能U=σz.則系統(tǒng)(4)可描述為如下的Kolmogorov系統(tǒng):

(12)

其中

Λ=diag(σ,1,1),f=(0,0,-r(1+σ))T.

2 系統(tǒng)(4)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理分析

各種類型的力矩對(duì)Malkus水輪旋轉(zhuǎn)都具有不同程度的影響,本節(jié)從力矩的不同耦合模式展開討論,從而闡釋了水輪混沌旋轉(zhuǎn)的力學(xué)機(jī)理.

情形1 系統(tǒng)只包含由動(dòng)能K產(chǎn)生的慣性力矩:

(13)

顯然系統(tǒng)(13)是保守系統(tǒng),其閉合的周期軌道如圖4(a)所示,狀態(tài)變量z的軌跡如圖4(b)所示.由于x是常量,系統(tǒng)(13)是線性系統(tǒng).

(a)周期軌道的3維視圖 (b)狀態(tài)變量z的軌跡

情形2 系統(tǒng)包含慣性力矩和內(nèi)力矩,即系統(tǒng)僅包含內(nèi)能,相應(yīng)的方程為

(14)

由于沒有耗散,系統(tǒng)(14)也是保守系統(tǒng),其閉合的周期軌道如圖5(a)所示,狀態(tài)z的軌跡如圖5(b)所示.比較情形1和情形2,勢(shì)能U的出現(xiàn)使解更頻繁地振蕩.由于σ>0,系統(tǒng)是非線性系統(tǒng),并且勢(shì)能U的存在使產(chǎn)生的周期解頻率比情形1大得多,這意味著內(nèi)力矩使系統(tǒng)解移動(dòng)的速度比情形1快得多.頻率取決于參數(shù)σ,由U釋放的內(nèi)力矩導(dǎo)致了軌道的拉伸和收縮,這對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定和混沌的生成是潛在有效的.

(a)周期軌道的3維視圖 (b)狀態(tài)變量z的軌跡

情形3 系統(tǒng)包含慣性力矩、內(nèi)力矩和耗散力矩,即系統(tǒng)包含內(nèi)能和耗散因素,但不包含驅(qū)動(dòng)因素,此時(shí)方程為

(15)

對(duì)于σ>0,容易獲得

其中V是系統(tǒng)相空間的體積,此時(shí)系統(tǒng)是耗散的[20].Hamilton函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

與文獻(xiàn)[14, 18]不同,無法通過Hamilton能量的變化來確定能量耗散.圖6(a)給出了Hamilton函數(shù)H的時(shí)間演化,顯示能量是耗散的,由于V收縮從而能量減少,如圖6(b)所示.

圖6 能量函數(shù)的時(shí)間演化

情形4 系統(tǒng)在慣性力矩、內(nèi)力矩和外力矩作用下,此時(shí)系統(tǒng)包含內(nèi)能和驅(qū)動(dòng)因素,但不包含耗散因素,方程為

(16)

(a)螺旋狀軌道的3維視圖 (b)狀態(tài)變量z的軌跡

圖8 能量的演化

為了分析比較各種力矩對(duì)Malkus水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的影響,上面構(gòu)造的4種力矩缺失模式均為虛擬的狀態(tài),下面的全力矩模式5才具有真實(shí)的物理意義.

情形5 系統(tǒng)包括全部力矩,此時(shí)系統(tǒng)包含內(nèi)能、耗散因素和驅(qū)動(dòng)因素,方程為

(17)

當(dāng)r=32時(shí)系統(tǒng)(17)的混沌吸引子如圖9(a)所示.情形3缺少外力矩,Malkus水輪系統(tǒng)的解趨于平衡點(diǎn)O.情形4的Malkus水輪系統(tǒng)的解由于沒有耗散而無限增長.因此,外力和耗散耦合是Malkus水輪系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件.當(dāng)外力矩與耗散力矩不匹配時(shí),耗散并不能保證Malkus水輪系統(tǒng)的能量衰減.雖然外力和耗散是產(chǎn)生混沌的基本因素,但外力和耗散簡單的耦合并不足以保證系統(tǒng)產(chǎn)生混沌,例如,大參數(shù)r可以使系統(tǒng)具有周期性或無窮大,如圖9(b)所示.圖10(a)繪制了當(dāng)r=376時(shí),系統(tǒng)的準(zhǔn)周期吸引子.只有當(dāng)參數(shù)r在一定范圍內(nèi)取值(σ=5,5.45≤r≤210.51,212.07≤r≤301.53,348.13≤r≤510.53),也就是外力與耗散相匹配時(shí),系統(tǒng)才會(huì)產(chǎn)生混沌.圖10(b)繪制了動(dòng)能和勢(shì)能的時(shí)間演化(r=30),其中上曲線表示動(dòng)能,下曲線為勢(shì)能,當(dāng)動(dòng)能接近波峰時(shí),勢(shì)能到達(dá)波谷,說明兩種能量相互轉(zhuǎn)化.

(a)r=32 (b)r=34

(a)擬周期軌道的3維視圖 (b)動(dòng)能和勢(shì)能

3 系統(tǒng)(4)的全局穩(wěn)定性分析

混沌系統(tǒng)解的邊界性質(zhì)在混沌系統(tǒng)研究中是至關(guān)重要的,確定混沌吸引子的邊界通常是困難的.本文利用Lagrange乘數(shù)法和Casimir函數(shù)法分析了Malkus水輪系統(tǒng)混沌吸引子的邊界,數(shù)值模擬給出了清晰的邊界.Casimir函數(shù)C由括號(hào)(3)的內(nèi)核定義,即

{C,G}=0, ?G∈C∞(g*),

這意味著在Lie-Poisson括號(hào)下Casimir函數(shù)與每個(gè)函數(shù)交換[19].對(duì)于Malkus水輪系統(tǒng)來說,Casimir函數(shù)定義為

由方程(3)和文獻(xiàn)[19],我們有

{C,G}=-X·(?C×?G)=-X·(X×?G)=0,

其中X=[x,y,z]T.根據(jù)方程(4)得

令

定理1 Casimir函數(shù)被限制在如下集合內(nèi):

Ξ={(x,y,z)|x2+y2+z2≤(r+σ)2}.

證明根據(jù)上述分析,C(t)的最大最小值點(diǎn)均位于集合Ξ0內(nèi),因此,可由如下條件極值問題來獲得C(t)的上界:

(18)

定義Lagrange函數(shù):

其中λ是Lagrange乘子.

經(jīng)計(jì)算得到如下偏導(dǎo)數(shù):

(19)

得到兩個(gè)解

(x,y,z,λ)=(0,0,0,0) or (0,0,-(r+σ),-1).

所以,C的最大值為(r+σ)2/2,即

定理1給出了Malkus水輪系統(tǒng)混沌吸引子邊界的精確估計(jì).Casimir函數(shù)的值如圖11(a)(r=40)所示,可見函數(shù)C(t)以C(t)<(r+σ)2/2為上界振蕩.混沌吸引子被包圍在矩形邊界內(nèi),如圖11(b)所示.為了顯示Casimir函數(shù)與平衡點(diǎn)P±之間的關(guān)系,定義兩種距離:

(a)Casimir能量時(shí)間演化 (b)混沌吸引子的邊界

D1(t)=|X(t)-P+|,D2(t)=|X(t)-P-|,

(20)

這表示系統(tǒng)(12)的軌道與平衡點(diǎn)P±之間的距離.在圖12(a)(r=30)中,實(shí)線是Casimir函數(shù),虛線是D1(t)和D2(t).圖12(a)表明,當(dāng)軌線遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)P+或P-時(shí),Casimir函數(shù)達(dá)到最大值.當(dāng)軌線同時(shí)接近平衡點(diǎn)P±時(shí),Casimir函數(shù)達(dá)到最小值.圖12(b)(r=31)顯示了更緊密的關(guān)系,在這個(gè)圖中,虛線是D1(t)與D2(t)之和,它與Casimir函數(shù)具有類似的動(dòng)態(tài).其極值點(diǎn)幾乎在同一時(shí)刻,而且有相同的上升和下降趨勢(shì).

圖12 函數(shù)與距離D1,D2的關(guān)系

當(dāng)注水率(參數(shù)r)增大時(shí),系統(tǒng)(4)的動(dòng)能增加,如圖13所示,外力矩主要增加了動(dòng)能,導(dǎo)致水輪失穩(wěn)而出現(xiàn)混沌旋轉(zhuǎn).圖14顯示了距離D1和D2的總和與Casimir函數(shù)隨參數(shù)r的變化趨勢(shì).

(a)能量 (b)Casimir函數(shù)

(a)D1與D2的距離和 (b)Casimir函數(shù)

根據(jù)以上理論分析和仿真結(jié)果,得出如下結(jié)論,當(dāng)r<1時(shí),系統(tǒng)(4)僅存在平衡點(diǎn)O,這種定常的狀態(tài)表明水輪處于靜止?fàn)顟B(tài).當(dāng)r>1時(shí),系統(tǒng)(4)存在以下3個(gè)平衡:O,P+,P-,平衡點(diǎn)O從穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)變成鞍結(jié)點(diǎn),新平衡點(diǎn)P±是穩(wěn)定的,這種穩(wěn)定的狀態(tài)代表水輪勻速的旋轉(zhuǎn),如圖1(a)所示.新的平衡點(diǎn)隨著r增加逐漸喪失其穩(wěn)定性,它們從穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)發(fā)展到穩(wěn)定焦點(diǎn),最后變成了鞍結(jié)點(diǎn).同時(shí),系統(tǒng)(4)的軌線趨于P±,在P+和P-之間來回跳躍,這對(duì)應(yīng)水輪的實(shí)際狀態(tài)是出現(xiàn)倒轉(zhuǎn)現(xiàn)象,依次正向或反向旋轉(zhuǎn)如圖1(b)、1(c)所示.距離D1與D2之和隨r增大而單調(diào)遞增.動(dòng)能從最小值逐漸增加,Casimir函數(shù)也有類似的增加趨勢(shì).隨著水輪穩(wěn)定性的喪失(圖1(a))正向或反向旋轉(zhuǎn)相繼出現(xiàn)(圖1(b)、1(c)),在耗散和驅(qū)動(dòng)的內(nèi)稟作用下,系統(tǒng)的內(nèi)能不斷增大,從分岔經(jīng)由暫態(tài)混沌最終到達(dá)混沌,對(duì)應(yīng)水輪從正向或反向的勻速旋轉(zhuǎn),然后到不穩(wěn)定的非勻速旋轉(zhuǎn),進(jìn)而到達(dá)混沌旋轉(zhuǎn).表1給出了相關(guān)結(jié)論的細(xì)節(jié).

表1 σ=5,r取不同值時(shí),水輪系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為與能量演化及其相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)

4 能 量 轉(zhuǎn) 換

系統(tǒng)(12)的首項(xiàng)是由Hamilton能量傳遞的力矩,其似乎與耗散和外力矩?zé)o關(guān),但從圖13中發(fā)現(xiàn)能量與這兩項(xiàng)有關(guān).由于每種力矩是耦合的線性或非線性的矢量,其作用于質(zhì)點(diǎn)上,因此很難研究系統(tǒng)(12)的力矩.由于能量是一個(gè)標(biāo)量,所以通過研究能量來發(fā)現(xiàn)力矩特征是很容易的.下面討論能量與這兩種力矩的關(guān)系.文獻(xiàn)[22]通過Lyapunov函數(shù)將Hamilton動(dòng)力學(xué)的Lie-Poisson括號(hào)擴(kuò)展為

(21)

(22)

其中

方程(22)解釋為整個(gè)混沌系統(tǒng)包含動(dòng)能、勢(shì)能、耗散能和外力能,這些能量轉(zhuǎn)換為慣性力矩、內(nèi)力矩、耗散力矩和外力矩.對(duì)于水輪系統(tǒng),包含注水能量和源自于水重力、摩擦損失以及漏水的耗散能量,作用于水輪上的總力矩產(chǎn)生角加速度.

根據(jù)方程(3)和(22),有

(23)

那么

{K,H}+〈K,L〉+〈K,G〉={K,U}+〈K,L〉+〈K,G〉-

σxy-[σx2+2y2+2z2+2(r+σ)z],

(24)

其中{K,U}=-σxy.因此,動(dòng)能的變化率與勢(shì)能、耗散能、外能量有一定的關(guān)系.同理,也有

(25)

這意味著勢(shì)能的變化率等于它與動(dòng)能、耗散能量和外部能量的交換.

-(2L+G)[21].Casimir函數(shù)是熱力學(xué)能,則Casimir函數(shù)變化率為耗散與供給能量之間的交換率.類似的有

-[2σ2-2σ+(r+σ)]xy+2σ2x2+2y2+2z2+3(r+σ)z+(r+σ)2.

(26)

然后,水輪系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換為

(27)

這考慮了在K,U和W交換項(xiàng)中的耗散和力.方程(24)—(27)表明參數(shù)r對(duì)水輪系統(tǒng)的能量演化有顯著影響.

在上面的公式中,當(dāng)xy<0時(shí),{K,U}是正數(shù),因而有勢(shì)能轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能的凈轉(zhuǎn)換.相應(yīng)地,當(dāng)xy>0時(shí),{K,U}為負(fù)數(shù),有動(dòng)能變?yōu)閯?shì)能的凈轉(zhuǎn)換.

Malkus水輪系統(tǒng)有螺旋式軌道,它的軌道從一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).當(dāng)軌道遠(yuǎn)離不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)之一時(shí),D1與D2的距離和因參數(shù)r增大而逐漸增大,如圖14所示.也就是r增大,使得驅(qū)動(dòng)與耗散相匹配,二者共同作用導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)能增大,水輪不穩(wěn)定最終出現(xiàn)混沌旋轉(zhuǎn).因此,軌線在兩個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)之間頻繁跳躍導(dǎo)致了D1與D2的距離和逐漸增大.

Malkus水輪混沌系統(tǒng)作為Lorenz系統(tǒng)的特殊形式,其能量轉(zhuǎn)換時(shí)間演化與文獻(xiàn)[18]的結(jié)果相似,能量、Casimir函數(shù)及D1與D2的距離和與外力矩(Rayleigh數(shù)r)間的演化關(guān)系是本文的重要發(fā)現(xiàn).

5 結(jié) 論

本文研究了Malkus水輪混沌系統(tǒng)的力學(xué)機(jī)理和能量演化問題,揭示了水輪混沌旋轉(zhuǎn)的力學(xué)機(jī)制.首先,探討了Malkus水輪的數(shù)學(xué)模型作為Kolmogorov系統(tǒng)的物理意義.研究了水輪混沌系統(tǒng)4種力矩耦合的5種情形,分析了導(dǎo)致水輪不穩(wěn)定和混沌旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵因素.保守情形下,Hamilton能量為常量,對(duì)應(yīng)的方程有周期解.外力矩或耗散力矩加入到保守系統(tǒng)中,Hamilton能量趨于無窮或零,對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)不可能產(chǎn)生混沌.只有全力矩模式下,水輪系統(tǒng)才產(chǎn)生混沌,并且動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化.對(duì)于水輪混沌系統(tǒng),內(nèi)能、耗散和驅(qū)動(dòng)因素并存是產(chǎn)生混沌的必要條件,而且,只有當(dāng)耗散與驅(qū)動(dòng)相匹配時(shí),系統(tǒng)才能生成混沌.注水為水輪系統(tǒng)提供能量,增加的動(dòng)能導(dǎo)致水輪不穩(wěn)定,依次發(fā)生正向穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)、反向穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)等經(jīng)過暫態(tài)混沌旋轉(zhuǎn),最終到達(dá)混沌旋轉(zhuǎn).其次,將水輪混沌系統(tǒng)作為擴(kuò)展的Kolmogorov系統(tǒng),引進(jìn)Casimir函數(shù)來分析系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為和能量轉(zhuǎn)換.經(jīng)分析獲悉:平衡點(diǎn)的距離和與Casimir函數(shù)的時(shí)間演化是一致的.作為內(nèi)能的Casimir函數(shù)的變化率是耗散與供給能量間的交換率,起著能量轉(zhuǎn)換的作用,平衡點(diǎn)距離的時(shí)間演化也是類似的.利用Lagrange乘數(shù)和Casimir函數(shù),分析仿真獲得了混沌吸引子的邊界.