結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學深度復習的實踐思考

許茜倩

【摘 要】一節(jié)完整的復習課，其教學目的一般有三個方面，即梳理知識、形成能力、發(fā)展思維，最終指向的是結(jié)構(gòu)化的深度理解和數(shù)學素養(yǎng)的提升。指向結(jié)構(gòu)化的深度復習，要一以貫之地融入數(shù)學思想進行知識統(tǒng)整，重建知識體系；進行技能統(tǒng)整，上串下聯(lián)地多層次設(shè)計練習題組。在整體的視野下，既關(guān)注知識的梳理和歸納，又關(guān)注技能的習得，以及思維習慣、學科素養(yǎng)的同步發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】復習課 內(nèi)容結(jié)構(gòu)化 學科素養(yǎng)

所謂結(jié)構(gòu)化，是指在教學中要抓住知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導學生以整體、關(guān)聯(lián)、開放的視角探究和理解問題，促進學生的學習從碎片化走向整體化、從離散走向聚合、從淺層走向深度?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出了課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合，結(jié)構(gòu)化有助于學生理解和掌握學科基本原理，實現(xiàn)知識與方法的遷移，把握核心概念的進階。

“多邊形的面積整理與練習”是蘇教版數(shù)學五年級上冊第二單元的復習課?！岸噙呅蔚拿娣e”單元共包含六項內(nèi)容（見圖1），前三項屬于“公式探究”，后三項屬于“拓展應(yīng)用”。通過本單元的學習，多數(shù)學生已經(jīng)能夠用拼接、平移、旋轉(zhuǎn)等方法探索和掌握平行四邊形、三角形、梯形的面積公式；能夠正確計算基本圖形的面積；能利用基本圖形的面積探究的經(jīng)驗和方法解決土地相關(guān)的實際問題，以及組合圖形的面積問題。但依然存在以下問題：一是學生頭腦中仍存在“碎片化”的知識，缺少整合融通，難以形成知識網(wǎng)絡(luò)；二是“機械式”練習，缺少思維的拓展，學生解決問題的能力在低水平徘徊；三是缺少數(shù)學思想方法的提煉，學生的數(shù)學學科素養(yǎng)難以落地。

一節(jié)完整的復習課，一般包括三個方面：梳理知識、形成能力、發(fā)展思維，最終指向的是結(jié)構(gòu)化的深度理解和數(shù)學素養(yǎng)的提升。下面，筆者將結(jié)合自身的教學實踐，談一談在多邊形的面積計算整理與練習中如何實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的深度復習。

一、知識整理——溯本求源，重建知識體系

數(shù)學知識的教學，應(yīng)注重學生對所學知識的理解，體會數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)。美國認知心理學家布魯納的認知結(jié)構(gòu)理論認為：掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是用許多其他事物與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它。簡言之，知識的學習就是在學生的頭腦中形成一定的知識結(jié)構(gòu)。在多邊形的面積計算中，各個圖形面積公式之間是有聯(lián)系的，可以相互轉(zhuǎn)化的?；仡櫟闹攸c不僅是計算公式，更是讓學生厘清多邊形面積計算公式之間的聯(lián)系，使學生腦中零散的知識具有連續(xù)性、關(guān)聯(lián)性和生長性，幫助他們重建知識體系。

（一）橫向聯(lián)系，將知識點串聯(lián)起來

以橫向聯(lián)系的方式將知識點串聯(lián)成知識鏈，不僅可以幫助學生理解和記憶公式，還有助于引領(lǐng)學生對原有知識的理解走向更深層，并能在此過程中積累寶貴的整理知識的經(jīng)驗。

在課前引導學生整理時，教師可以讓學生回憶本單元所學習的平面圖形公式，設(shè)置探究性問題：“如果讓你選一個圖形的面積公式為基礎(chǔ)，推導出其他圖形的面積公式，你會選哪一個？說一說推導過程?！辈糠謱W生會選擇由易到難地整理、推導面積公式，教師可根據(jù)學生的實際情況進行整理（見圖2），引導學生感悟從左往右能看到知識的生長和發(fā)展，而從右往左能看到知識的轉(zhuǎn)化和統(tǒng)一。

（二）縱向類比，讓知識鏈活起來

在嘗試整理了常規(guī)的推導過程后，教師應(yīng)尋找學生已有知識經(jīng)驗的生長點，讓學生思考：如果換一個方向，從其他圖形出發(fā)，它們之間又有怎樣的聯(lián)系呢？

1.以梯形的面積公式為基礎(chǔ)

在教學時，教師可引導學生想象，如果將梯形的上底縮短，最終會變成什么圖形呢？此時，下底和高不變，上底會變?yōu)?（見圖3）。

如果將上底延長，此時上底和下底相等，高不變（見圖4）。

在這個過程中，教師可以引導學生發(fā)現(xiàn)：三角形、平行四邊形以及長方形的面積公式也可由梯形的面積公式推導而得。

2.以平行四邊形的面積公式為基礎(chǔ)

教師在引導學生以平行四邊形的面積公式為基礎(chǔ)推導時，可結(jié)合《九章算術(shù)》中的相關(guān)數(shù)學文化知識（見蘇教版數(shù)學教材第10頁“你知道嗎”），用剪、拼的方法讓學生經(jīng)歷全新的探究之路（見圖5）。

3.以三角形的面積公式為基礎(chǔ)

同樣，以三角形為基礎(chǔ)公式也能推導出長方形、平行四邊形和梯形的面積公式（見圖6）。

這樣的復習探究對五年級學生來說可能并不容易，但因為方法的拓展、思路的拓寬，不但使學生將這些面積公式更自然而緊密地聯(lián)結(jié)在一起，更使學生明白，知識之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，使學生突破思維定式，在知識融通的過程中能夠構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)。

二、技能鞏固——融會貫通，多層次設(shè)計練習

教師在結(jié)構(gòu)化深度復習的理念下設(shè)計練習，要先關(guān)注練習設(shè)計的關(guān)聯(lián)性，安排有聯(lián)系、有延續(xù)的練習；接著要關(guān)注練習設(shè)計的層次性，查漏補缺和拓展提升都應(yīng)是練習的重要目標。除此之外，教師在設(shè)計作業(yè)練習時，除了要利用基本圖形的面積探究的經(jīng)驗和方法解決土地相關(guān)的實際問題以及組合圖形的面積問題，還可以編制如下題組：

（1）一個梯形上下底之和為10厘米、高是6厘米，面積是多少平方厘米？

（2）正方形的周長是32厘米，平行四邊形的面積是多少平方厘米（見圖7）？

（3）S甲與S乙誰的面積大？

學生在第（1）題中可直接應(yīng)用梯形的面積公式求得答案，接著教師可引導學生列舉可能的梯形（見圖9）。

學生發(fā)現(xiàn)這樣的梯形例子不能完全列舉完，并在列舉后發(fā)現(xiàn)等底等高的梯形面積是相等的。另外，在整理知識時學生已經(jīng)經(jīng)歷過由梯形面積公式推導平行四邊形、長方形，以及三角形的面積公式的過程，對于練習（2）和（3），學生可以進一步運用平行四邊形和三角形等積變形的結(jié)論解決問題。

這個題組再一次將多邊形的面積公式進行溝通與整合，在練習的過程中二次開發(fā)，不僅使學生的知識體系更為完善，將知識融會貫通；還能引發(fā)學生更深入地思辨，在拓展深化中引發(fā)更多的思考，讓復習課走向更高效。

三、思想貫穿——一以貫之，實現(xiàn)學科育人

數(shù)學思想是人們對數(shù)學理論和內(nèi)容的本質(zhì)認識，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象和概括。數(shù)學思想作為《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》涉及的“四基”之一，在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中仍處于重要的位置，已是數(shù)學學科教育目標的重要組成部分。除了顯性的知識和方法外，數(shù)學思想則是潛默和間接的，常常隱藏在知識背后，但它能使學生獲得價值、動機等情感態(tài)度與價值觀方面的成長。數(shù)學思想的學習過程需要經(jīng)歷操作體驗、明朗化、自覺運用和聯(lián)系發(fā)展4個階段。指向結(jié)構(gòu)化的深度復習，要一以貫之地發(fā)揮數(shù)學思想的作用。

（一）在知識結(jié)構(gòu)的整理中貫穿

數(shù)學思想蘊含在數(shù)學實踐活動中，但形成的關(guān)鍵在于對數(shù)學實踐活動經(jīng)驗的總結(jié)和概括，也就是將實踐經(jīng)驗一般化、模式化的過程。在嘗試從不同角度推導多邊形面積公式時，教師應(yīng)適時滲透，引導學生抽象和提煉出“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學思想。新授課時，教師可以初步引導學生感悟體驗“轉(zhuǎn)化”的思想，復習課中繼續(xù)滲透這一數(shù)學思想，使之發(fā)展到明朗化階段。

（二）在能力提升的練習中貫穿

數(shù)學思想方法是處理數(shù)學問題的指導思想和基本策略，其形成的過程需要充分的樣例積累。在解決組合圖形的面積和與土地相關(guān)的實際問題的練習中已明確：未知圖形的面積可以通過割補、拼接或者平移和旋轉(zhuǎn)等操作轉(zhuǎn)化成已知圖形的面積。用相同的思想方法解決不同形式問題的經(jīng)歷，能提高歸納的信度，把數(shù)學思想推進到自覺應(yīng)用和聯(lián)系發(fā)展的階段。在數(shù)學活動經(jīng)驗的積累、數(shù)學思想方法的感悟，以及數(shù)學情感態(tài)度的涵養(yǎng)過程中，真正實現(xiàn)數(shù)學課堂從“知識為本”向“素養(yǎng)為本”的轉(zhuǎn)變，從“數(shù)學教學”向“數(shù)學育人”的轉(zhuǎn)變。

數(shù)學教育家米山國藏在《數(shù)學的精神、思想和方法》一書中指出，數(shù)學思想方法會影響人的一生。不管學生今后從事什么工作，即使把所教的知識、概念、定理、法則和公式全忘了，但銘刻在他們心中的數(shù)學精神、思想和方法能隨時隨地地發(fā)生作用，使他們終身受益。教師需進一步更新觀念，充分認識到數(shù)學思想方法在培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)方面的作用和在數(shù)學教育中的價值。教師要通過自己的教學，讓學生能夠運用數(shù)學思想方法去解決實際問題，實現(xiàn)數(shù)學學科的育人價值。

綜上所述，指向結(jié)構(gòu)化的深度復習，要一以貫之地融入數(shù)學思想進行知識統(tǒng)整，重建知識體系；進行技能統(tǒng)整，上串下聯(lián)地多層次設(shè)計練習題組，在整體的視野下，既關(guān)注知識的梳理和歸納，又關(guān)注技能的習得，以及思維習慣、學科素養(yǎng)的同步發(fā)展。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]吳亞萍.“新基礎(chǔ)教育”數(shù)學教學改革指導綱要[M].桂林：廣西師范大學出版社，2009.

[3]吳增生.數(shù)學思想方法及其教學策略初探［J］.數(shù)學教育學報，2014（6）.

[4]米山國藏.數(shù)學的精神、思想和方法［M］.成都：四川教育出版社，1986.