黃巖渠 喻采平 湯春玲

摘要：銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)是系統(tǒng)性金融風(fēng)險傳播的主要渠道之一，其具體網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)因商業(yè)秘密等原因需要采用網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)方法得出。重構(gòu)結(jié)果直接關(guān)系到對系統(tǒng)性金融風(fēng)險測度的研究。不同于已有的基于基礎(chǔ)約束條件和機構(gòu)行為約束條件的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)方法，本文提出了一種新的基于基礎(chǔ)約束條件和已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的銀行債務(wù)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)方法，新方法在約束條件下通過數(shù)值分析和最大熵結(jié)合方法重構(gòu)銀行間網(wǎng)絡(luò)。因為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是機構(gòu)行為的結(jié)果，所以直接用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束重構(gòu)可以得到更真實的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)。最后本文利用我國銀行機構(gòu)的銀行間債務(wù)基礎(chǔ)約束數(shù)據(jù)和無標(biāo)度異配網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的約束條件，使用數(shù)值分析與最大熵結(jié)合方法重構(gòu)了最可能的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)，并解釋了重構(gòu)結(jié)果。

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)；網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)；最大熵

中圖分類號：F239? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A? ? ? ? 文章編號：1007-0753（2023）05-0042-12

一、引言

網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)有很多應(yīng)用場景，如貨物運輸網(wǎng)絡(luò)、商品交易網(wǎng)絡(luò)、CDS網(wǎng)絡(luò)、支付網(wǎng)絡(luò)以及銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)等的重構(gòu)。在對系統(tǒng)性金融風(fēng)險的風(fēng)險傳染測度以及壓力測試中，銀行間債務(wù)傳染是最基本的傳染渠道之一，然而在實際建模過程中，這些銀行間的債務(wù)連接往往不為人所知，銀行間的雙邊風(fēng)險敞口只有交易對手知道。雖然在某些情況下可以從監(jiān)管備案或者信貸登記處得到相關(guān)資料，但更常見的情況是各國央行和監(jiān)管機構(gòu)不對該網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行監(jiān)控，各金融機構(gòu)并不報告雙邊風(fēng)險敞口。為了進(jìn)行風(fēng)險傳染研究，學(xué)者們采用各種方法來重構(gòu)金融系統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

Upper和Worms（2004） 提出使用最大熵算法來重構(gòu)德國銀行的同業(yè)債務(wù)網(wǎng)絡(luò)。該方法在已知各銀行機構(gòu)銀行間總資產(chǎn)和總負(fù)債的約束下采用最大熵方法來重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接。初始網(wǎng)絡(luò)中，機構(gòu)i與機構(gòu)j的網(wǎng)絡(luò)連接采用機構(gòu)i的銀行間總資產(chǎn)和機構(gòu)j的銀行間總負(fù)債標(biāo)準(zhǔn)化后的乘積得到。最終網(wǎng)絡(luò)通過設(shè)置初始網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣對角線為0，隨后采用RAS方法縮放，首先沿著行，然后沿著列，迭代直到滿足資產(chǎn)負(fù)債約束條件。Baral和Fique（2012）用二元copula來重構(gòu)鄰接矩陣，豐富了最大熵方法。copula是一個累積分布函數(shù)，它生成了機構(gòu)之間連接的概率，機構(gòu)之間連接的概率被輸入到最大熵方法中，生成隨機鄰接矩陣以重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。Drehmann和Tarashev（2013）通過擾動最大熵法來生成高密度網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)。Halaj和Kok（2013）通過迭代分配網(wǎng)絡(luò)連接，以相等的概率隨機繪制，銀行間負(fù)債和資產(chǎn)的存量隨著分配減少，通過迭代分配直到銀行間負(fù)債被分配完畢，從而完成網(wǎng)絡(luò)連接的重構(gòu)。Anand和Craig（2015）基于網(wǎng)絡(luò)連接代價最小原則提出了最小密度方法。該方法假定網(wǎng)絡(luò)連接是有代價的，在選擇網(wǎng)絡(luò)連接時，采用機構(gòu)之間資產(chǎn)與負(fù)債差距最大的方法來選擇連接形成網(wǎng)絡(luò)，從而使重構(gòu)得到的網(wǎng)絡(luò)代價最小。Cimini等（2015）采用適應(yīng)度方法，在給定機構(gòu)屬性（如資產(chǎn)）與連接屬性（出度與入度）的情況下，從統(tǒng)計物理學(xué)的角度校準(zhǔn)連接，并計算連接強度。Squartini等（2017）提出了一種基于適應(yīng)度的資產(chǎn)投資網(wǎng)絡(luò)重建方法。Anand等（2015）采用適應(yīng)度模型重建了13個地區(qū)的金融網(wǎng)絡(luò)。Petropoulos等（2021） 基于XGBOOST法、最大熵法、最小密度法采用機器學(xué)習(xí)的方式重建了希臘的銀行間市場網(wǎng)絡(luò)。Engel等（2021） 采用隨機指數(shù)圖模型（ERGM）的方法研究了跨國金融網(wǎng)絡(luò)的重構(gòu)。Maringer等（2022）在最小密度法的基礎(chǔ)上，提出了連接代價規(guī)模效益遞減的改進(jìn)方式，利用隨機搜索啟發(fā)方法重構(gòu)金融網(wǎng)絡(luò)。

綜上，已有文獻(xiàn)的重構(gòu)方法一般可以歸納為三種：一是根據(jù)金融網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)約束特性，如在已知各機構(gòu)的銀行間資產(chǎn)與負(fù)債的基礎(chǔ)上采用最大熵、最小密度法來重建金融網(wǎng)絡(luò)；二是通過各機構(gòu)的特性，如總資產(chǎn)、出度、入度等，利用適應(yīng)度方法來估計各機構(gòu)之間的網(wǎng)絡(luò)連接概率，在此基礎(chǔ)上重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接；三是利用網(wǎng)絡(luò)約束、機構(gòu)特性、網(wǎng)絡(luò)行為（互惠、傳遞等）等方法來重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接，如指數(shù)隨機圖模型。這些方法都是在已知網(wǎng)絡(luò)約束條件、機構(gòu)相關(guān)特性、機構(gòu)行為方式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的重構(gòu)。用上述方法構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)在滿足基礎(chǔ)約束條件的情況下，符合金融機構(gòu)的部分行為特征，但由于只考慮了部分行為因素，重構(gòu)的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)不是異配無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。然而，已有研究表明銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)是異配無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。如Cont等（2013）研究了巴西的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)該網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。Inaoka等（2012）研究了日本銀行間支付網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)該網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)；Fricke等（2013）發(fā)現(xiàn)金融網(wǎng)絡(luò)的形成是異配的，如小銀行機構(gòu)傾向于向大銀行機構(gòu)借款。在已知金融網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的情況下，利用適應(yīng)度、指數(shù)隨機圖等基于機構(gòu)特性、機構(gòu)行為約束條件的方法重構(gòu)得到一個不符合觀測結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)是不合理的。

鑒于此，本文在滿足基礎(chǔ)約束條件的情況下，依據(jù)附加網(wǎng)絡(luò)是“異配無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)”的約束條件，提出了一種采用數(shù)值分析和最大熵方法重構(gòu)最可能網(wǎng)絡(luò)的方法，并利用我國的銀行機構(gòu)數(shù)據(jù)重構(gòu)最可能的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)。

二、基礎(chǔ)約束條件下的網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)

（一） 基礎(chǔ)約束條件模型

考慮由n個金融機構(gòu)組成的金融機構(gòu)間債務(wù)形成網(wǎng)絡(luò)，銀行之間的相互借貸形成一個n×n的網(wǎng)絡(luò)，用矩陣X表示。

采用最大熵方法重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)時，網(wǎng)絡(luò)連接xij的大小可以直接由xij = ailj給出，這是一個非常好的特性，可以大大減少求解方程的計算工作量。但正如上文討論的，缺點是利用最大熵結(jié)果得到的網(wǎng)絡(luò)與實際網(wǎng)絡(luò)情況有很大差距，需要改進(jìn)。

（三）基礎(chǔ)約束條件下的網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)量區(qū)間

在已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束時，實際上給出了網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)量約束的條件。為了保證施加網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束后網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)能夠進(jìn)行，式（２）仍然存在解，需要研究基礎(chǔ)約束條件下的網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)量區(qū)間。

假如每家銀行機構(gòu)均存在同業(yè)業(yè)務(wù)，ai，li均大于0，此時網(wǎng)絡(luò)的連接數(shù)為n2-n。在采用最大熵方法求解時，首先求得網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)量n2，然后令對角線上的元素值為0，通過RAS方法將網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)調(diào)整為n2-n，采用RAS方法時只需要通過左乘行乘數(shù)對角矩陣，右乘列乘數(shù)對角矩陣進(jìn)行迭代，主要執(zhí)行n階矩陣乘法。也可以采用最大熵法直接求解，但需要求一個n2-n個網(wǎng)絡(luò)連接的解，該方程組的解沒有解析函數(shù)表達(dá)式，時間和空間復(fù)雜度都比較高。

考慮到網(wǎng)絡(luò)連接成本問題，保持最小的連接數(shù)對機構(gòu)的成本分?jǐn)偸怯幸娴?。在機構(gòu)i和機構(gòu)j之間沒有連接的情況下，xij = 0，因此希望盡量保持更多的xij為0?？紤]到方程組的通解為式（9），可以令x22 = 0，…， x2n = 0， x32 = 0，…， x3n = 0， x42 = 0，…， xnn = 0，通過式（9）可以直接得到方程中其他2n-1個未知數(shù)x11， x12，…， x1n， x21，…， xn1 的值，得到不少于2n-1個網(wǎng)絡(luò)連接。

考慮限制為基礎(chǔ)約束（6）的情況，并假定銀行不向自己借貸，對角線元素為0，也就是說，網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)分布區(qū)間為[2n-1， n2-n]。在網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)為k時（n2-n≥k≥2n-1），可以自由選擇的網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)為k-2n+1，此時解空間的維度為k-2n+1。

在實際的網(wǎng)絡(luò)中，很多情況下由于機構(gòu)行為的原因，例如維持網(wǎng)絡(luò)連接需要成本，小機構(gòu)多選擇大機構(gòu)進(jìn)行交易，因此網(wǎng)絡(luò)連接的分布并不是均勻的，即每個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的概率并不相等。實際的網(wǎng)絡(luò)分布主要為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（冪律網(wǎng)絡(luò)）、小世界網(wǎng)絡(luò)、中心外圍式網(wǎng)絡(luò)等。即網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)的概率更大，需要在給定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下研究網(wǎng)絡(luò)連接的計算。給定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時，實際上就是給定了網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)k的約束，這也是討論網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)量區(qū)間的意義。已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)在區(qū)間[2n-1， n2-n]時，網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)一定是可行的，否則不能重構(gòu)。

三、基礎(chǔ)約束與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束下的網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)方法

基礎(chǔ)約束與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束下的網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)分為兩個步驟：第一步是根據(jù)已知信息確定具體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，第二步是根據(jù)給定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與最大熵方法用數(shù)值分析方法計算重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)連接強度。在確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時使用以下已知信息進(jìn)行重構(gòu)：一是網(wǎng)絡(luò)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，二是小機構(gòu)通常情況下更愿意選擇與大機構(gòu)交易。因為大機構(gòu)更穩(wěn)定，可以減小風(fēng)險，大機構(gòu)通常能滿足小機構(gòu)的借貸需求，而大機構(gòu)也通常選擇大機構(gòu)進(jìn)行借貸。在計算網(wǎng)絡(luò)連接強度時，采用網(wǎng)絡(luò)連接強度數(shù)值滿足最大熵要求的方法。為了將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、機構(gòu)行為、借貸限制以及最大熵方法結(jié)合，本文將連接的重構(gòu)分為兩個步驟來完成：第一步是重構(gòu)滿足網(wǎng)絡(luò)連接異配條件的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)；第二步是在無標(biāo)度異配網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，利用借貸限制以及最大熵方法重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接強度。

（一）異配無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成方法

Barabasi和Albert（1999）指出無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是社會網(wǎng)絡(luò)的固有特征，并提出了使用BA算法生成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，此后很多權(quán)威期刊如《自然》《科學(xué)》《物理評論快訊》都發(fā)表了相關(guān)的研究成果。后續(xù)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成算法主要研究動態(tài)增加節(jié)點與邊（Albert和Barabási，2002）邊連接的概率與節(jié)點的度數(shù)成正比（Bollobási和Riordan，2004）、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成效率等內(nèi)容（Albert和Barabási，2000）。本文從網(wǎng)絡(luò)成長的角度來構(gòu)建無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，先生成一個很少節(jié)點數(shù)（m個節(jié)點）的完全網(wǎng)絡(luò)，然后增加一個新的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，新節(jié)點與老節(jié)點之間形成m0條邊（m0＜m），新節(jié)點與前面的網(wǎng)絡(luò)之間邊的連接概率與原網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的度數(shù)成正比，Barabasi和Albert（1999）證明了當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點不斷增長時形成的網(wǎng)絡(luò)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。

針對本文的情況，首先，為了保證網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)結(jié)果存在，網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)需保持在[2n-1， n2-n]區(qū)間。Barabasi和Albert（1999）生成的網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)為m0（m0-1） + m（n-m0） 。也就是說，構(gòu)建無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)時需要選擇合適的m和m0。當(dāng)m0很小時，為了保證連接數(shù)大于2n-1，須有m0＞3。

其次，要在連接形成時讓小機構(gòu)優(yōu)先選擇大機構(gòu)。假定有n個銀行機構(gòu)，各銀行的借出信息為ai，首先選擇借出數(shù)量最大的銀行（ai）形成完全網(wǎng)絡(luò)，然后按照機構(gòu)從小到大的順序，將各個金融機構(gòu)加入到網(wǎng)絡(luò)中來，這樣形成的網(wǎng)絡(luò)就是異配的。大銀行先加入網(wǎng)絡(luò)，具有更高的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度數(shù)；小銀行后加入網(wǎng)絡(luò)，具有的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度數(shù)小，優(yōu)先與大銀行形成網(wǎng)絡(luò)連接。本文模擬初始銀行為6個金融機構(gòu)的完全網(wǎng)絡(luò)，初始銀行都是大銀行，然后將各金融機構(gòu)的借出數(shù)量（ai）按照從小到大的順序加入到這個網(wǎng)絡(luò)中形成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。這樣，小金融機構(gòu)有著更大的概率與大金融機構(gòu)連接，同時又符合無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成規(guī)律。

（二）給定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)方法

由于給定的網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，不是全連接網(wǎng)絡(luò)，采用解析函數(shù)方法得不出一個完美的解析表達(dá)式解。本文中采用數(shù)值方法求解無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)連接強度，主要是基于迭代方法求解。這里主要討論以下幾個內(nèi)容：一是極值函數(shù)的變形，降低計算的空間與時間復(fù)雜度；二是如何選取初始迭代點，使迭代能夠進(jìn)行（xij＞0）且計算時間更短；三是采用迭代方法求最大熵的結(jié)果及其驗證。

首先，為了改善計算性能效果，本文對網(wǎng)絡(luò)連接的重構(gòu)最大熵方法進(jìn)行變形。連接主要采用式（12）作為極值條件，采用式（13）作為限制，如果直接使用拉格朗日法求極值得到式（14），則需要用數(shù)值方法求解一個包含n2-2n個未知數(shù)（xij， λj， βi），由n2-2n個非線性方程組成的方程組（其中2n個方程為線性）。為了簡化計算，將式（9）的2n-1個線性方程代入極值表達(dá)式（12），得到：

從迭代表格（見表1）中可以發(fā)現(xiàn)，在各個不同自變量的方向上，收斂速度是不一樣的，有的在第4次已經(jīng)收斂，有的在第5次才完成收斂（x23， x32， x33， x34方向）。重復(fù)迭代直到極值函數(shù)的值不再降低，整個函數(shù)的迭代在第5步才收斂完成，并取得與解析函數(shù)法一樣的最大熵結(jié)果。

在迭代完成后，根據(jù)式（9）求解其余的自變量，得到：

x22 = 0.180， x12 = 0.060， x13 = 0.100，? x14 = 0.060，

x21 = 0.081， x31 = 0.099， x41 = 0.090

在給定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)情況下進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)連接重構(gòu)的思路是，在鄰接矩陣中將不在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的邊全設(shè)置為0，出現(xiàn)的邊設(shè)置為未知數(shù)xij或約束表達(dá)式，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)造求最大熵的極值表達(dá)式，然后再利用表達(dá)式求偏導(dǎo)得到雅可比矩陣與海森矩陣，并設(shè)置初始值進(jìn)行迭代得到極值表達(dá)式的極小值，返回此時的各網(wǎng)絡(luò)連接的數(shù)值。

由于限制條件的方程數(shù)目為2n-1，在重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)時，網(wǎng)絡(luò)連接的邊數(shù)要大于2n-1才有解。在初始網(wǎng)絡(luò)過小時，方程組可能出現(xiàn)無非負(fù)數(shù)解的情況；在初始網(wǎng)絡(luò)較大時，運算需要計算的邊數(shù)（未知數(shù)）呈線性增長，計算時間也呈線性增長。按照本文生成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的方式，初始6個機構(gòu)共30條邊，然后每增加一家機構(gòu)，增加10條邊（其中借入5條邊，借出5條邊），總共邊的數(shù)目為10（n-6）+30=10n-30條邊，然后根據(jù)式（9）有2n-1個方程可以減小未知數(shù)的數(shù)目。實際上，解空間的自由度為10n-30-（2n-1）= 8n-29個（機構(gòu)數(shù)目n≥6），也就是說，本文要計算一個包含8×62-29=467個未知數(shù)的非線性表達(dá)式的極值。

實際上求解的表達(dá)式中未知數(shù)的計算復(fù)雜度是O（n）級別的，這和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是一個稀疏網(wǎng)絡(luò)有關(guān)。當(dāng)n較大時，實際邊的數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于n2，可以用最大熵方法直接求解方程組。方法是將式（19）中等于0的xij移出極值表達(dá)式，在定義求導(dǎo)參數(shù)時將xij移出變量列表，對式（19）求極值時，由于有8n-29個自變量，即有8n-29個偏導(dǎo)數(shù)方程，利用迭代法可以求出該函數(shù)的極值點。

對于極值表達(dá)式的具體構(gòu)造，因所求無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的矩陣是一個稀疏矩陣，該稀疏矩陣中有2n-1個未知數(shù)用式（6）替代，替代后生成一個包含8n-29個未知數(shù)的極值表達(dá)式。極值表達(dá)式構(gòu)造算法流程如下：

1.從無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣第2行、第1列開始將n-1個不為0的元素替換為資產(chǎn)表達(dá)式，替換后鄰接矩陣元素標(biāo)記為2，記錄替換位置，替換后的元素值為xik = ai-∑ j≠k xij {xij≠0}，總共替換的元素有n-1個，相當(dāng)于應(yīng)用了式（9）中資產(chǎn)方程組通解的結(jié)果。

2.從無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣第2列、第1行開始將n-1個不為0的元素替換為負(fù)債表達(dá)式，替換后鄰接矩陣元素標(biāo)記為3，記錄替換位置，替換后的元素值為xik = li-∑? i≠k xij {xij≠0}，總共替換的元素為n-1個，相當(dāng)于應(yīng)用了式（9）中負(fù)債方程組通解的結(jié)果。

3.因為在步驟1中的表達(dá)式中可能有元素在步驟2中被替換，也就是說步驟1中被替換的表達(dá)式中的元素有的可能不是未知數(shù)（只有被替換后剩余的元素才是未知數(shù)），需再次執(zhí)行步驟1，使步驟1中出現(xiàn)在表達(dá)式中的未知數(shù)全部為解空間的基向量。

4.因為在步驟2中的表達(dá)式可能有元素在步驟3中被替換，需要再次執(zhí)行步驟2，使步驟2中出現(xiàn)在表達(dá)式中的未知數(shù)全部為解空間的基向量。

5.本文已經(jīng)替換了2（n-1）個變量，剩下的一個變量替換分3步完成：

6.替換完成后，對矩陣的6n-12個元素求最大熵，組成的極值表達(dá)式只包含4n-11個自變量（未知數(shù)）以及ai，lj（2n個已知數(shù)），對極值表達(dá)式求偏導(dǎo)可以得到4n-11個方程，可以用式（15）通過迭代方法求得最大熵時4n-11個變量的值，然后利用上述步驟2、3、4中的表達(dá)式得到2n-1個未知數(shù)的值，至此稀疏矩陣6n-12個元素被完全求解。

四、我國銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)的重構(gòu)

本文選取我國62家銀行2022年的年報數(shù)據(jù)生成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，初始的完全網(wǎng)絡(luò)由農(nóng)業(yè)銀行（Yny）、中國銀行（Yzg）、工商銀行（Ygs）、建設(shè)銀行（Yjs）、國開銀行（Ygk）、交通銀行（Yjt）6個銀行節(jié)點組成（按借出金額從大到小排列，標(biāo)準(zhǔn)化后借出數(shù)量都大于0.07），然后按照各銀行的借出金額從小到大順序依次構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)（Yqh、Yjh、Ywl、Ybb、Ylz、Yxm、Yhk、Yfh、Yjj、Yft、Yql、Ynx、Ync、Ygz、Ydw、Ylh、Ygy、Ygh、Ynu、Yhr、Yqz、Yca、Yzy、Ysx、Yqd、Yhb、Ycs、Yzz、Ywz、Ysz、Yxa、Ynb、Ygo、Yhs、Yhe、Ybs、Yhz、Ytj、Ycd、Ygf、Ycq、Yxy、Yjo、Ynj、Ysj、Ysh、Yhx、Ynf、Ypa、Ybj、Yzs、Yjc、Ypf、Ygd、Yzx、Yms），圖2為生成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的算法流程圖，圖3為按照規(guī)則生成的62個節(jié)點的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)（無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)）。

在網(wǎng)絡(luò)中，在銀行代碼前加Y，表示機構(gòu)是銀行，從圖3中可以看到，中國銀行、工商銀行、建設(shè)銀行、農(nóng)業(yè)銀行、國開銀行、交通銀行位于網(wǎng)絡(luò)的中心，小銀行優(yōu)先與大銀行連接，說明生成的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是異配的，即小銀行優(yōu)先連接大銀行機構(gòu)。

在圖3的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，利用最大熵方法求得該網(wǎng)絡(luò)的連接數(shù)值。首先由2022年各銀行年報得到銀行間市場借入、借出數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化（各機構(gòu)銀行間資產(chǎn)除以銀行間總資產(chǎn)）。然后利用國有大銀行農(nóng)業(yè)銀行（Yny）、中國銀行（Yzg）、工商銀行（Ygs）、建設(shè)銀行（Yjs）、國開銀行（Ygk）、交通銀行（Yjt）形成初始完全網(wǎng)絡(luò)。最后將銀行機構(gòu)借款數(shù)目按照從小到大的順序進(jìn)行排序，形成一個包含機構(gòu)代碼的三維數(shù)據(jù)框。數(shù)據(jù)框數(shù)據(jù)按順序?qū)x值，以便在生成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)時滿足銀行機構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接異配的要求。

無標(biāo)度異配網(wǎng)絡(luò)的連接計算流程見圖4。采用上文中極值表達(dá)式生成的6個步驟，構(gòu)造出極值表達(dá)式（包含ai，lj以及467個未知數(shù)xij的表達(dá)式），并對極值表達(dá)式求導(dǎo)得到雅可比矩陣與海森矩陣，最終得到迭代表達(dá)式。銀行間網(wǎng)絡(luò)連接的迭代初值有8n-29=467個，初值的選取需滿足保證各網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)為正數(shù)。首先采用無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)邊xij = γ * ailj，其余值為0。然后通過RAS方法對γ * ailj為元素的矩陣進(jìn)行迭代，得到xij的一個初值，計算得到該初值下的網(wǎng)絡(luò)連接的熵-∑ni=1∑n j=1xijln（xij），此時極值表達(dá)式的值為-5.071 511。最后再對ai，lj賦初值，給個未知網(wǎng)絡(luò)連接xij賦給初值，并在得到雅可比矩陣與海森矩陣的基礎(chǔ)上，使用式（21）進(jìn)行迭代，經(jīng)過1 347次迭代后收斂時，極值表達(dá)式得到最小值-5.325 441，并得到返回的各銀行機構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接的具體數(shù)據(jù)。

經(jīng)過驗證，本文通過迭代得到的各銀行機構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)據(jù)的值均為正數(shù)，網(wǎng)絡(luò)連接鄰接矩陣行、列的和滿足限制條件式（6），重構(gòu)得到的網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度且異構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)連接值的熵-∑ni=1∑n j=1xijln（xij）為5.325 441是最大的，是滿足約束條件下最可能出現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)。求解無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)連接的運行結(jié)果以銀行間的連接拓?fù)鋱D方式展現(xiàn)，見圖5。

實際上在給定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（給定鄰接矩陣連通性）的情況下，不管給定的網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)還是中心外圍式網(wǎng)絡(luò)，都可以用本文中的數(shù)值計算方法使用最大熵方法來求解表達(dá)式的極值，計算得到網(wǎng)絡(luò)連接強度的數(shù)值。因為極值表達(dá)式的構(gòu)造只與鄰接矩陣的連通性有關(guān)，采用最大熵方法可以得到網(wǎng)絡(luò)連接強度數(shù)值的唯一解。

五、結(jié)論

本文的貢獻(xiàn)在于提出了一種新的基于基礎(chǔ)約束條件和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束條件的網(wǎng)絡(luò)銀行債務(wù)重構(gòu)新方法，網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)連接強度兩個步驟組成，這兩個步驟都直接影響到網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)的效果。在該方法下重構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)具備更接近真實網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)特征，即在滿足基礎(chǔ)約束條件的情況下，還滿足網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度異配的。由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)直接影響系統(tǒng)性金融風(fēng)險的測度，在經(jīng)新方法重構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)下測度系統(tǒng)性金融風(fēng)險，能夠得到更接近真實風(fēng)險狀況的測度結(jié)果。

網(wǎng)絡(luò)連接的形成不僅與當(dāng)前的環(huán)境有關(guān)，還與歷史情況有關(guān)，本文只考慮了影響當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)連接的因素，沒有考慮網(wǎng)絡(luò)連接的歷史因素影響，下一步的研究可以在考慮當(dāng)前與歷史選擇的情況下（使用指數(shù)隨機圖模型）重構(gòu)更為現(xiàn)實的金融網(wǎng)絡(luò)，并展示網(wǎng)絡(luò)連接情況的演化歷史。

參考文獻(xiàn)：

[1] UPPER C，WORMS A. Estimating bilateral exposures in the German interbank market：Is there a danger of contagion？[J].European Economic Review，2004，48（04）：827-849.

[2] BARAL P，F(xiàn)IQUE J.Estimation of bilateral exposures-a copula approach an extended abstract and brief overview[J].Economics，2012.

[3]DREHMANN M，TARASHEV N.Measuring the systemic importance of interconnected banks[J].Journal of Financial Intermediation，2013，22（04）：586-607.

[4] HALAJ G， KOK C.Assessing interbank contagion using simulated networks[J].Computational Management Science，2013，10（02）：157-186.

[5] ANAND K， CRAIG， B. Filling in the blanks： Interbank linkages and systemic risk[J]. In Proceedings of the BIS working paper， 2015， 15： 625-636.

[6] CIMINI G，SQUARTINI T，GARLASCHELLI D，et al.Systemic risk analysis on reconstructed economic and financial networks[J].Scientific Reports，2015，5（01）：1-12.

[7]SQUARTINI T，ALMOG A，CALDARELLI G，et al.Enhanced capital-asset pricing model for the reconst?

ruction of bipartite financial networks[J].Physical Review E，2017，96（03）：032315.

[8] ANAND K，VAN LELYVELD I，BANAI ?，et al.The missing links：A global study on uncovering financial network structures from partial data[J].Journal of Financial Stability，2018，35：107-119.

[9] PETROPOULOS A，SIAKOULIS V，LAZARIS P，et al.Re-constructing the interbank links using machine learning techniques.An application to the Greek interbank market[J].Intelligent Systems With Applications，2021，12：200055.

[10] ENGEL J，PAGANO A，SCHERER M.A block-structu?red model for banking networks across multiple countries[J]. Journal of Network Theory in Finance，2021，3：1–33.

[11] MARINGER D，CRAIG B，PATERLINI S.Constructing banking networks under decreasing costs of link formation[J].Computational Management Science，2022，19（01）：41-64.

[12] CONT R， MOUSSA A， SANTOS E B.Network structure and systemic risk in banking systems[M]//Handbook on Systemic Risk. Cambridge： Cambridge University Press，2013：327-368.

[13]? INAOKA H，TAKAYASU H，SHIMIZU T，et al.Self -similarity of banking network[J].Physica A Statistical? Mechanics and Its Applications，2012，339（03/04）：621-634.

[14] FRICKE D， FINGER K， LUX T.On assortative and disassortative mixing in scale-free networks：The case of interbank credit networks[R]. Kiel Working Papers，2013.

[15] BARABASI A L， ALBERT R. Emergence of scaling in random networks[J]. Science，1999，286（5439）：509-512.

[16]ALBERT R， BARAB?SI A L. Statistical mechanics of complex networks[J].Reviews of Modern Physics，2002，74（01）：47-97.

[17] BOLLOB?SI B， RIORDAN O. The diameter of a scale-free RandomGraph[J].Combinatorica，2004，24（01）：5-34.

[18] ALBERT R， BARAB?SI A L. Topology of evolving networks： Local events and universality[J]. Physical Review Letters，2000，85（24）：5234-5237.

（責(zé)任編輯： 唐詩柔/校對：曾向宇）