操禮林 王念康 李愛群

(1江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院, 鎮(zhèn)江 212013)

(2東南大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京 211189)

(3北京建筑大學(xué)北京未來城市設(shè)計(jì)高精尖創(chuàng)新中心, 北京 100044)

隨著結(jié)構(gòu)逐漸向大跨、輕質(zhì)與低頻的方向發(fā)展,人群行走導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生過度振動(dòng)的問題不容忽視.評(píng)估結(jié)構(gòu)振動(dòng)是否滿足舒適度要求時(shí)主要以加速度響應(yīng)為指標(biāo),如需準(zhǔn)確計(jì)算人群行走下的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng),則應(yīng)建立合理的行人荷載模型[1].行人在正常行走過程中每步的步頻、步速與步長都具有隨機(jī)性的特點(diǎn),且不同時(shí)刻行人荷載力大小不斷變化,故隨機(jī)人群荷載模型比較符合實(shí)際情況[2].研究行人在結(jié)構(gòu)上行走時(shí)需要考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用,若僅簡單地將行人荷載簡化為移動(dòng)力,則忽略了相互作用力,會(huì)導(dǎo)致預(yù)測的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)與真實(shí)的人致振動(dòng)響應(yīng)相差較大[3].

當(dāng)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)加速度響應(yīng)超過舒適度要求時(shí),需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行減振處理.目前,學(xué)者們主要采用安裝減振器的方法來降低結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅度,其中減振器包括單個(gè)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器 (TMD)或多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器 (MTMD).惠曉麗等[4]采用單個(gè)TMD對(duì)單人行走及人群同步行走下的大跨連廊進(jìn)行減振,發(fā)現(xiàn)單個(gè)TMD系統(tǒng)能夠有效控制大跨連廊的人致過度振動(dòng).沈文愛等[5]以人行懸索橋?yàn)閷?duì)象,設(shè)計(jì)MTMD系統(tǒng)參數(shù),對(duì)人致結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行控制,達(dá)到了理想的減振效果.由此表明,單個(gè)TMD與MTMD均具有良好的減振性能,MTMD在減振魯棒性方面優(yōu)于單個(gè)TMD[6-7].

目前,人致振動(dòng)問題的研究已趨于成熟,而對(duì)于隨機(jī)行走人群與大跨樓蓋的耦合振動(dòng)及考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的MTMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究還有待開展.本文基于隨機(jī)人群行走荷載模型,推導(dǎo)了人群-大跨樓蓋-TMD耦合動(dòng)力方程,開展了隨機(jī)人群行走下大跨樓蓋動(dòng)力特性參數(shù)及加速度響應(yīng)的不確定性研究,建立了基于人-結(jié)構(gòu)相互作用的大跨樓蓋MTMD減振優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,并通過數(shù)值計(jì)算對(duì)比了單個(gè)TMD與優(yōu)化MTMD的減振效果.

1 人群-大跨樓蓋-TMD耦合方程

1.1 隨機(jī)人群行走荷載模型

針對(duì)人行過程中步行參數(shù)隨機(jī)性的特點(diǎn),將行人行走過程等效為有限段步長的疊加.參考文獻(xiàn)[8],建立行人步頻與步速的關(guān)系式為

(1)

(2)

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[9]中提出的與步速相關(guān)的單人行走荷載模型,可得行人i第k步的步行力荷載為

(4)

(5)

根據(jù)疊加原理,可將隨機(jī)人群行走荷載表示為

(6)

式中,Si為行人i走完全程的步數(shù);r為行走總?cè)藬?shù).

1.2 動(dòng)力方程

當(dāng)人群在大跨樓蓋上行走時(shí),結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)過度振動(dòng),從而影響行人正常行走,因此需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)控制.圖1為附加TMD減振系統(tǒng)的大跨樓蓋示意圖.圖中,kTMD、cTMD分別為TMD減振系統(tǒng)的剛度和阻尼;a、b分別為大跨樓蓋長度和寬度.

圖1 附加TMD減振系統(tǒng)的大跨樓蓋示意圖

(7)

行人i的位移函數(shù)為zp,i(xi,yi,t),行人與樓蓋一直保持接觸,且板上的外部激勵(lì)全部由行人行走引起.大跨樓蓋的彎曲振動(dòng)方程為

(8)

將廣義質(zhì)量歸一化,模態(tài)函數(shù)正則化可得

(9)

式(8)可轉(zhuǎn)化為

(10)

式中,f(x,y,t)為大跨樓蓋所受外荷載.

分析人群行走對(duì)大跨樓蓋的影響,需要考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用,故本文采用人體質(zhì)量-剛度-阻尼(MSD)模型,同時(shí)將TMD減振系統(tǒng)簡化為質(zhì)量-剛度-阻尼模型.假設(shè)大跨樓蓋上包含若干個(gè)TMD減振系統(tǒng),則減振系統(tǒng)j的位移函數(shù)為zd,j(xd,j,yd,j,t).當(dāng)行人行走在包含附加TMD減振系統(tǒng)的大跨樓蓋上時(shí),人體與減振系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程分別為

式中,mp,i、cp,i、kp,i分別為行人i的人體模態(tài)質(zhì)量、阻尼和剛度;md,j、cd,j與kd,j分別為TMD減振系統(tǒng)j的質(zhì)量、阻尼和剛度.

采用振型分解法,式(11)和(12)可分別轉(zhuǎn)化為

(13)

(14)

由于大跨樓蓋上附加了TMD減振系統(tǒng),故樓蓋所受的激振力由行人激振力和TMD減振系統(tǒng)引起的激振力2個(gè)部分組成,即

f(x,y,t)=fp(t)+fd(t)

(15)

(16)

(17)

式中,Fp,i(t)為行人i的行走激振力;Fd,j(t)為TMD減振系統(tǒng)j阻尼器激振力;s為TMD總個(gè)數(shù).

(18)

聯(lián)立式(13)、(14)、(18),可得人群-大跨樓蓋-TMD耦合動(dòng)力學(xué)方程為

(19)

式中

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

C11=diag(2ζlωl)l=1,2,3,…,N

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

q={q1,q2,…,qN,qp,1,qp,2,…,qp,r,qd,1,qd,2,…,qd,s}

(31)

(32)

針對(duì)上述非比例阻尼時(shí)變微分方程,利用狀態(tài)空間法求解時(shí)變系統(tǒng)的模態(tài)特性,并采用變步長四階五級(jí)龍格庫塔法求解其動(dòng)力響應(yīng).

2 隨機(jī)人群行走下大跨樓蓋振動(dòng)響應(yīng)分析

2.1 算例參數(shù)

對(duì)于某大跨鋼-混凝土樓蓋[11],a=9.144 m,b=9.144 m,h=0.222 m,ρ=2 322.9 kg/m3,泊松比為0.2,結(jié)構(gòu)基頻為4.98 Hz,前3階阻尼比ζ取為1%,將此樓蓋等效為四邊簡支的正交各向異性板.

人群行走路徑如圖2所示,共5條路徑,行走路徑長度均為樓蓋寬度a.行走人數(shù)為r,每條路徑各分配r/5人.行人初始進(jìn)入結(jié)構(gòu)的時(shí)間間隔為1 s,各路徑行人同時(shí)出發(fā),并依次排隊(duì)行走,直至最后一人走完全程.由文獻(xiàn)[12]可知,不同密度人群的步頻服從正態(tài)分布.表1為不同行走人數(shù)對(duì)應(yīng)的步頻均值及標(biāo)準(zhǔn)差.

圖2 人群行走路徑

表1 不同行走人數(shù)下步頻均值及標(biāo)準(zhǔn)差

人體質(zhì)量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布N(73.85,15.682)kg[13].根據(jù)文獻(xiàn)[14]中行人動(dòng)力學(xué)參數(shù)與步頻的關(guān)系式,確定行人MSD模型的模態(tài)質(zhì)量mp,i、剛度kp,i、阻尼cp,i分別為

(33)

式中,Mp,i為行人i的實(shí)際質(zhì)量;fp,i為行人i的步頻.

2.2 結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性參數(shù)分析

為研究隨機(jī)人群行走下大跨樓蓋動(dòng)力特性參數(shù)的變化規(guī)律,對(duì)不同模態(tài)質(zhì)量的大跨樓蓋在隨機(jī)人群行走下的動(dòng)力特性參數(shù)峰值進(jìn)行100次計(jì)算.其中,簡支板模態(tài)質(zhì)量為物理質(zhì)量的1/4[15].假定結(jié)構(gòu)基頻與阻尼比恒定,模態(tài)質(zhì)量分別取8 780、9 780、10 780、11 780、12 780 kg.

受行走參數(shù)隨機(jī)性影響,每次計(jì)算結(jié)果均存在差異.因此,為研究隨機(jī)行走人群對(duì)樓蓋動(dòng)力特性參數(shù)的影響,分別取100次計(jì)算的一階瞬時(shí)阻尼比峰值的統(tǒng)計(jì)均值ζ1,in與一階瞬時(shí)頻率峰值的統(tǒng)計(jì)均值f1,in進(jìn)行分析,結(jié)果見圖3.圖中,Dn為行走人數(shù).

(a) 一階瞬時(shí)阻尼比峰值

(b) 一階瞬時(shí)頻率峰值

由圖3(a)可知,與大跨樓蓋初始阻尼比1%相比,隨機(jī)人群行走下的結(jié)構(gòu)阻尼比變化較為明顯.隨著行走人數(shù)的增多,大跨樓蓋一階瞬時(shí)阻尼比逐漸升高.對(duì)于模態(tài)質(zhì)量為12 780 kg的大跨樓蓋,行走人數(shù)為10時(shí),大跨樓蓋瞬時(shí)阻尼比峰值均值達(dá)到1.60%,較空載時(shí)增大60%,說明隨機(jī)人群與結(jié)構(gòu)耦合作用明顯.對(duì)于模態(tài)質(zhì)量為11 780 kg的大跨樓蓋,當(dāng)行走人數(shù)為10時(shí),大跨樓蓋瞬時(shí)阻尼比峰值均值達(dá)到1.67%.大跨樓蓋模態(tài)質(zhì)量為10 780、9 780、8 780 kg時(shí),10人隨機(jī)行走下的結(jié)構(gòu)瞬時(shí)阻尼比峰值均值分別上升至1.75%、1.84%、1.96%.由此可見,隨著模態(tài)質(zhì)量的減小,相同行走人數(shù)下大跨樓蓋一階瞬時(shí)阻尼比會(huì)逐漸升高.

由圖3(b)可知,隨著行走人數(shù)的增多,大跨樓蓋一階瞬時(shí)頻率逐漸降低.對(duì)于模態(tài)質(zhì)量為8 780 kg的大跨樓蓋,當(dāng)行走人數(shù)為80時(shí),大跨樓蓋瞬時(shí)頻率峰值均值下降至4.953 5 Hz,人群-結(jié)構(gòu)耦合作用明顯.同時(shí),對(duì)比分析模態(tài)質(zhì)量為9 780～12 780 kg的樓蓋瞬時(shí)頻率峰值均值可知,隨著結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量的減小,相同行走人數(shù)下大跨樓蓋一階瞬時(shí)頻率逐漸降低,且降幅逐漸增大.

2.3 結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)分析

為進(jìn)一步研究大跨樓蓋在隨機(jī)人群行走下加速度響應(yīng)的變化規(guī)律,取樓蓋中心位置的豎向加速度進(jìn)行分析,對(duì)不同模態(tài)質(zhì)量的大跨樓蓋在隨機(jī)人群行走下的加速度響應(yīng)峰值進(jìn)行100次計(jì)算,結(jié)果見圖4.圖中,a1,in與a1s,in分別為瞬時(shí)加速度響應(yīng)峰值的統(tǒng)計(jì)均值與1 s均方根加速度響應(yīng)峰值的統(tǒng)計(jì)均值.

(a) 瞬時(shí)加速度響應(yīng)峰值

(b) 1 s均方根加速度響應(yīng)峰值

由圖4可知,當(dāng)大跨樓蓋模態(tài)質(zhì)量為8 780 kg,行走人數(shù)從10遞增到60時(shí),大跨樓蓋的加速度響應(yīng)逐漸增加.行走人數(shù)為60時(shí),樓蓋加速度響應(yīng)峰值均值達(dá)到最大值,其中瞬時(shí)加速度響應(yīng)峰值均值為0.669 m/s2,均方根加速度響應(yīng)峰值均值為0.347 m/s2.但隨著行走人數(shù)的持續(xù)增加,大跨樓蓋的加速度響應(yīng)反而降低;這是因?yàn)殡S著人流密度的增大,高密度人群之間出現(xiàn)擁擠現(xiàn)象,個(gè)體步頻與步速有所下降,從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)降低.對(duì)比分析模態(tài)質(zhì)量為9 780～12 780 kg的樓蓋加速度響應(yīng)峰值均值可以發(fā)現(xiàn),隨著結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量的減小,相同行走人數(shù)下大跨樓蓋的加速度響應(yīng)逐漸增大.

3 大跨樓蓋MTMD減振優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 MTMD減振優(yōu)化方法

針對(duì)人群行走下大跨樓蓋過度振動(dòng)的問題進(jìn)行減振設(shè)計(jì).由于單個(gè)TMD具有調(diào)頻范圍窄、控制效果不穩(wěn)定等缺陷,因此采用減振魯棒性更強(qiáng)的MTMD減振系統(tǒng).為了提高計(jì)算效率,本文的MTMD系統(tǒng)只設(shè)置了3個(gè)子TMD(見圖5).3個(gè)子TMD以0.5 m的間隔沿x方向布置,其中TMD2安裝在樓蓋中心位置.

圖5 大跨樓蓋MTMD安裝位置示意圖

假設(shè)MTMD系統(tǒng)的平均頻率與結(jié)構(gòu)基頻相同.第j個(gè)子TMD的頻率為[16]

(34)

式中,ft為MTMD系統(tǒng)的平均頻率;s1為子TMD個(gè)數(shù);β為MTMD系統(tǒng)的頻率間隔.

第j個(gè)子TMD的剛度與阻尼分別為

kd,j=(2πfd,j)2md,j

(35)

cd,j=2×(2πfd,j)md,jζopt,j

(36)

式中,md,j、ζopt,j分別為第j個(gè)子TMD的質(zhì)量和阻尼比.

將樓蓋基頻不小于4 Hz、豎向峰值加速度不大于0.15 m/s2作為判斷本文樓蓋是否滿足振動(dòng)舒適度要求的標(biāo)準(zhǔn)[17].本文樓蓋基頻4.98 Hz已滿足限值要求,為降低結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng),使其滿足舒適度要求,基于人群-大跨樓蓋-TMD耦合動(dòng)力方程,設(shè)計(jì)考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的MTMD減振優(yōu)化方法,主要包括以下2個(gè)方面:

1) 控制MTMD系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)性,設(shè)置系統(tǒng)總質(zhì)量比μ=0.01,且使每個(gè)子TMD的質(zhì)量和阻尼比均相等.

2) 控制頻率間隔和子TMD阻尼比在限值范圍內(nèi),采用遺傳算法中的單目標(biāo)優(yōu)化算法,得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)達(dá)到舒適度要求時(shí)每個(gè)子TMD的最優(yōu)剛度和最優(yōu)阻尼.

設(shè)計(jì)公式如下:

(37)

式中,Md為大跨樓蓋質(zhì)量;βmin和βmax分別為頻率間隔的下限值和上限值,此處分別取為0.01和0.5;ζopt為TMD阻尼比;ζopt,min和ζopt,max分別為子TMD阻尼比的下限值和上限值,此處分別取為0.02和0.2.

3.2 人群行走下的結(jié)構(gòu)減振分析

采用本文提出的MTMD減振設(shè)計(jì)方法,對(duì)人群行走下的大跨樓蓋進(jìn)行減振.選取40、60、80人行走下的工況進(jìn)行減振分析,得到人群同步行走和隨機(jī)行走下結(jié)構(gòu)中心減振前后的加速度響應(yīng)曲線(見圖6).人群同步行走步頻為1.66 Hz,即大跨樓蓋基頻4.98 Hz的1/3倍頻.圖中同時(shí)給出了采用單個(gè)TMD減振后的結(jié)果.單個(gè)TMD的參數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[18]中的最優(yōu)取值方法確定,即

(38)

fd=fopt+f

(39)

(40)

式中,fopt為最優(yōu)TMD參數(shù)設(shè)計(jì)頻率比;μs為TMD與結(jié)構(gòu)質(zhì)量比;fd為TMD系統(tǒng)的基頻;f為大跨樓蓋基頻;ζopts為最優(yōu)TMD參數(shù)設(shè)計(jì)阻尼比.

由圖6可知,采用優(yōu)化MTMD對(duì)大跨樓蓋進(jìn)行減振的效果顯著.表2給出了各工況下結(jié)構(gòu)中心減振前后的峰值加速度及提升率.由表可知,各工況下采用MTMD設(shè)計(jì)方法減振后的結(jié)果均達(dá)到樓蓋舒適度要求,且與單個(gè)TMD相比,優(yōu)化MTMD的減振效果提升明顯,最大提升率為46.36%.究其原因在于,大跨樓蓋結(jié)構(gòu)具有多組豎向振型,單個(gè)TMD僅能控制其中某一振型,而優(yōu)化MTMD系統(tǒng)則能針對(duì)結(jié)構(gòu)的數(shù)組振型進(jìn)行控制.

(a) 40人同步

(b) 60人同步

(c) 80人同步

(d) 40人隨機(jī)

(e) 60人隨機(jī)

(f) 80人隨機(jī)圖6 結(jié)構(gòu)中心減振前后加速度響應(yīng)

表2 不同行走人數(shù)下結(jié)構(gòu)減振前后峰值加速度

4 結(jié)論

1) 基于隨機(jī)人群行走荷載模型建立的人群-大跨樓蓋-TMD耦合動(dòng)力學(xué)方程可以較好地反映人-結(jié)構(gòu)相互作用與行人隨機(jī)性.

2) 大跨樓蓋上行走人數(shù)越多、模態(tài)質(zhì)量越小,大跨樓蓋的一階瞬時(shí)阻尼比升高幅度越大,一階瞬時(shí)頻率降低幅度也越大.隨著行走人數(shù)的增多,大跨樓蓋加速度響應(yīng)先增大后減小,行走人數(shù)為60時(shí)結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)達(dá)到最大值.相同行走人數(shù)下,模態(tài)質(zhì)量越小,結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)越大.

3) 基于人-結(jié)構(gòu)相互作用,建立了大跨樓蓋MTMD減振優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.人群同步行走下與隨機(jī)行走下大跨樓蓋減振后的加速度響應(yīng)均能達(dá)到樓蓋舒適度要求,且優(yōu)化MTMD的減振效果較單個(gè)TMD提升明顯,最大提升率為46.36%.