應(yīng)用反例　建構(gòu)數(shù)學(xué)高品質(zhì)課堂

摘 要：隨著教育改革的不斷深化，傳統(tǒng)的教學(xué)模式在一定程度上束縛了學(xué)生的思維發(fā)展，不利于中學(xué)生思維的發(fā)展與提升.教師在教學(xué)時(shí)，以反例的教學(xué)形式構(gòu)建初中數(shù)學(xué)課堂，可以打破常規(guī)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式，為初中生數(shù)學(xué)思維的拓展與進(jìn)步點(diǎn)亮一盞明燈.本文主要講解了在初中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)以抓取關(guān)鍵信息、拓展內(nèi)涵外延、進(jìn)行想象發(fā)散、形成鮮明對(duì)比、否定主觀謬論、進(jìn)行探究學(xué)習(xí)等方式，致力于應(yīng)用反例來(lái)建構(gòu)數(shù)學(xué)高品質(zhì)課堂.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；反例教學(xué)；初中生；應(yīng)用；構(gòu)建

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）02-0016-03

所謂反例法，即使用與原本的知識(shí)和概念相反的命題來(lái)佐證原命題的正確性.初中數(shù)學(xué)教師在課堂中巧妙地應(yīng)用反例法教學(xué)，可以幫助學(xué)生辯證的看待問(wèn)題，加深其對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)識(shí)，有助于拓展其視野，同時(shí)，在辯證中發(fā)展創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維、提升其邏輯思維能力.筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從引發(fā)屬性理解、開(kāi)闊視野、縝密思維、建立表象、糾正錯(cuò)誤、逆向推理等幾個(gè)方面入手，談一談自己在這方面的教學(xué)心得.

1 抓取關(guān)鍵信息，理解屬性

學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，真正地理解和掌握數(shù)學(xué)概念，最重要的是認(rèn)清和理解好數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性.唯有這樣，學(xué)生才能真正走進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)在，感悟數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)也才會(huì)得心應(yīng)手.在教材中，數(shù)學(xué)概念的闡述往往都是正面表述，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中很容易錯(cuò)過(guò)關(guān)鍵特征而造成認(rèn)識(shí)不清，導(dǎo)致解題時(shí)張冠李戴.而在課堂中，教師利用反例法教學(xué)數(shù)學(xué)概念，可以幫助

學(xué)生抓取概念中的關(guān)鍵信息，真正理解和掌握概念的屬性，從而提升數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)效率.

比如，在教學(xué)《認(rèn)識(shí)三角形》這節(jié)內(nèi)容時(shí)，有相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)三角形的概念有一定的誤解，他們簡(jiǎn)單地認(rèn)為三角形是由三條線(xiàn)段構(gòu)成的，而忽略了其中的兩個(gè)關(guān)鍵信息“不在同一直線(xiàn)”和“首尾相連”.為了及時(shí)矯正學(xué)生們的這一片面認(rèn)知，我設(shè)計(jì)了幾個(gè)反面的實(shí)例圖形：第一個(gè)圖形是其中有兩條線(xiàn)段是交叉連接的，第二個(gè)圖形是三條平行的線(xiàn)段，第三個(gè)圖形是三條線(xiàn)段的一端重合在一起，第四個(gè)圖形是有兩條線(xiàn)段的首尾沒(méi)有連接在一起.我向?qū)W生們提出問(wèn)題“這幾個(gè)圖形是否為三角形？” 學(xué)生們很容易看出這幾個(gè)圖形并不是三角形，但是它們也確實(shí)是由三條線(xiàn)段構(gòu)成，從而對(duì)三角形的概念有了深刻的認(rèn)識(shí)，明確了“不在同一直線(xiàn)”和“首尾相連”這兩個(gè)關(guān)鍵信息是缺一不可的.能夠捕獲關(guān)鍵信息是學(xué)生正確解題的重要保證，也是學(xué)生綜合能力的體現(xiàn).在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中利用反例法教學(xué)，不僅可以幫助學(xué)生抓住概念中的關(guān)鍵信息，理解屬性，提升對(duì)概念的理解和記憶，還能幫助學(xué)生在正反案例的沖突中，提升思維能力.

2 拓展內(nèi)涵外延，開(kāi)闊視野

數(shù)學(xué)中很多的概念、定理、性質(zhì)、公式、法則皆有它成立的前提和其適宜使用的局限范圍，很多學(xué)生正是因?yàn)楹鲆暳烁拍?、定理、公式、法則等成立的條件，在運(yùn)用時(shí)才會(huì)漏洞百出.如果我們教師在進(jìn)行這些概念、定理、性質(zhì)、公式、法則教學(xué)時(shí)，不細(xì)心剖析和指導(dǎo)，學(xué)生很容易忽視這些條件限制，導(dǎo)致應(yīng)用時(shí)凌駕于范疇之外，造成嚴(yán)重錯(cuò)誤，這不僅會(huì)導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)解題效率的下降，更會(huì)弱化學(xué)生的學(xué)習(xí)自信.因此，教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師可以提供一些供學(xué)生判斷的反面案例，以拓展內(nèi)涵外延，開(kāi)闊學(xué)生的視野，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

比如，在學(xué)習(xí)《弧長(zhǎng)及扇形的面積》中推算弧長(zhǎng)的公式時(shí)，弧長(zhǎng)等于弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角占的整個(gè)圓的角度份額的比例乘以整個(gè)圓的周長(zhǎng)，學(xué)生們?cè)谧雠袛囝}“弧長(zhǎng)就是n360圓的周長(zhǎng)”時(shí)，很容易將之判斷為正確，而忽略了限制條件“所對(duì)應(yīng)”.為了幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，我列舉了一個(gè)反例：已知一個(gè)圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，和另一個(gè)明顯較大的圓的半徑，可否求出這個(gè)圓弧的長(zhǎng)度？有的學(xué)生還是認(rèn)為可以求出來(lái)，甚至冠冕堂皇地列出了算式，我讓他們依據(jù)題目中的已知條件動(dòng)手畫(huà)一下，他們很快就直觀發(fā)現(xiàn)了兩段弧長(zhǎng)不一樣，于是思考：原來(lái)公式中要求的是所對(duì)應(yīng)的圓才行，頓時(shí)變得豁然開(kāi)朗.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師利用反例教學(xué)法獨(dú)特的魅力，不僅可以直觀形象地展示數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)、公式、法則中的限制條件，使學(xué)生更好地理解這些概念、定理、性質(zhì)、公式、法則中的內(nèi)涵外延，開(kāi)闊視野，還能讓學(xué)生的邏輯思維得到很好地鍛煉和發(fā)展.

3 進(jìn)行想象發(fā)散，縝密思維

學(xué)生思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要循循善誘地傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)新知，更要不留痕跡地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.初中生由于其尚未建立完善的數(shù)學(xué)體系，思考問(wèn)題往往比較片面，不利于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)成績(jī)的提高.因此，教學(xué)中，為了提升初中生思維的縝密性，可以考慮引導(dǎo)其利用想象來(lái)構(gòu)建反例，指引其考慮反例的各種可能性，以此來(lái)鍛煉初中生發(fā)散性思維，并且提升其思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

比如，在教授《有理數(shù)和無(wú)理數(shù)》這節(jié)內(nèi)容時(shí)，為了幫助學(xué)生更好地理解有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的性質(zhì)和概念，幫助他們形成縝密的數(shù)學(xué)思維，我設(shè)計(jì)了這樣一組思考性的數(shù)學(xué)題目：任意兩個(gè)無(wú)理數(shù)，他們的和或者差是否一定是無(wú)理數(shù)？任意兩個(gè)無(wú)理數(shù)乘以或者除以一個(gè)無(wú)理數(shù)的結(jié)果是否一定是無(wú)理數(shù)？任何一個(gè)無(wú)理數(shù)加上或者減去一個(gè)有理數(shù)，計(jì)算結(jié)果是否一定是無(wú)理數(shù)？無(wú)理數(shù)乘以或者除以一個(gè)除零外的有理數(shù)，結(jié)果是否一定是無(wú)理數(shù)？這組題目其實(shí)就是要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的想象構(gòu)建反例，來(lái)對(duì)題目進(jìn)行否定，如果能成功找出反例，即該命題不成立，如果窮其所思也找不出一條反例，則該命題成立.其實(shí)對(duì)于這種題目往往具有一定的競(jìng)技性，學(xué)生們都想找出一個(gè)否定的答案來(lái)，因而參與度也很高.顯然，通過(guò)這種引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)想象和思考構(gòu)建反例的學(xué)習(xí)方式，不僅很受學(xué)生歡迎，可以很好地提升課堂的活躍度，還可以鍛煉初中生全面思考問(wèn)題的能力，養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.

4 形成鮮明對(duì)比，建立表象

數(shù)學(xué)中很多知識(shí)和概念都是抽象的，這也是制約學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)提升的原因之一.若在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師只是一味地從正面進(jìn)行闡述，學(xué)生很難真正領(lǐng)悟知識(shí)的內(nèi)涵與外延，自然也就難以游刃有余地運(yùn)用知識(shí).而憑借學(xué)生們都能夠感知的實(shí)物來(lái)構(gòu)造反例，使抽象的概念具體化、形象化，可以給學(xué)生呈現(xiàn)鮮明的對(duì)比，讓其更好地理解和掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而提升數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率.

比如，在學(xué)習(xí)《探索平行線(xiàn)的性質(zhì)》這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和探索到“兩條直線(xiàn)平行同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”這一基本真相，我在黑板上畫(huà)出兩條平行的直線(xiàn)被一直線(xiàn)所截，同時(shí)又畫(huà)出幾條與之不平行的方向不同的直線(xiàn)作為反面圖形案例，讓學(xué)生對(duì)比它們的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角.同時(shí)我還用多媒體展示了一組圖片，泳池中的隔欄、火車(chē)的軌道等生活中應(yīng)用平行線(xiàn)性質(zhì)的實(shí)例，再讓他們想象一下若這些不做成平行線(xiàn)會(huì)發(fā)生什么狀況.接著，我讓學(xué)生們親自測(cè)量，并且通過(guò)實(shí)例的正反面的鮮明對(duì)比，建立表象，他們很快就認(rèn)識(shí)和理解了這一平行線(xiàn)的性質(zhì).通過(guò)聯(lián)系實(shí)際的正反案例的對(duì)比，將抽象的知識(shí)形象化、具體化，這樣學(xué)生很容易在腦海中建立表象，從而更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí).

5 否定主觀謬論，糾正錯(cuò)誤

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)歷程中，時(shí)常會(huì)有學(xué)生只憑自己的主觀臆想就隨意地得出一個(gè)不正確的論斷，而不自知.為了規(guī)避此種錯(cuò)誤的頻繁發(fā)生，幫助學(xué)生主動(dòng)否定自己的主觀謬論，及時(shí)糾正自己的錯(cuò)誤認(rèn)知，教學(xué)中，可以考慮使用反例法，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，提高數(shù)學(xué)思維能力，加深對(duì)同類(lèi)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，避免同類(lèi)錯(cuò)誤屢次發(fā)生.

6 進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，逆向推理

反例是傾覆錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)和錯(cuò)誤答案最直接且有成效的手段，因此，在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要積極采用反例法，幫助學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，形成逆向推理思維，更全面地考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例如，在學(xué)習(xí)《全等三角形》這一章節(jié)內(nèi)容時(shí)，遇到這樣一個(gè)題目：兩個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形是全等三角形嗎？學(xué)生們很容易將之判斷為全等三角形，并且自己用筆畫(huà)出了兩個(gè)全等的三角形.我并沒(méi)有馬上對(duì)他們進(jìn)行否定，而是假設(shè)他們是正確的，然后讓他們改變其中一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，再試著看看這兩個(gè)三角形同樣也是三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，是否還為全等三角形？學(xué)生們很快就發(fā)現(xiàn)他們之前的認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的，要確定兩個(gè)三角形是否為全等三角形除了要考慮角度問(wèn)題，還要考慮邊長(zhǎng)的問(wèn)題，他們之前就是太武斷了，沒(méi)有查找反例，逆向推理進(jìn)行探究性學(xué)習(xí).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師要積極引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反例例證自己的觀點(diǎn)和論題，從而提升學(xué)生的逆向邏輯思維能力，提高對(duì)數(shù)學(xué)題目判斷的準(zhǔn)確率，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的飛速發(fā)展.

總而言之，應(yīng)用反例來(lái)建構(gòu)初中數(shù)學(xué)課堂，對(duì)初中生思維的發(fā)展、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和把握都具有不可磨滅的作用，也是學(xué)生數(shù)學(xué)能力得以發(fā)展的重要渠道.因此，在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該積極地將這種教學(xué)方法運(yùn)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，幫助初中生更全面地考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題，更深刻地認(rèn)識(shí)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提升思維的創(chuàng)造意識(shí)和邏輯能力，從而為構(gòu)建高品質(zhì)數(shù)學(xué)課堂奠定基石.

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［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-10-15

作者簡(jiǎn)介：陳豐（1980.11-），男，江蘇省淮安人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.