以終為始：結(jié)果導(dǎo)向型思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

陳瑩

［摘 要］結(jié)果導(dǎo)向型思維方式是從最終的結(jié)果出發(fā)，反向分析過(guò)程或原因，尋找關(guān)鍵信息，找到解決問(wèn)題的方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)果導(dǎo)向型思維，以終為始，有利于學(xué)生打破思維定式，提升解決問(wèn)題的效率。結(jié)果導(dǎo)向型思維可以運(yùn)用于運(yùn)算、解決問(wèn)題、幾何圖形等領(lǐng)域，改變學(xué)生的固有思維，拓寬學(xué)生的思維廣度。

［關(guān)鍵詞］結(jié)果導(dǎo)向型思維；解決問(wèn)題；數(shù)學(xué)游戲

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）11-0074-04

一、現(xiàn)狀分析

自2013年起，筆者所在的數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)就開(kāi)始實(shí)踐數(shù)學(xué)游戲教學(xué)。在多年的一線教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生在解決數(shù)學(xué)游戲問(wèn)題的過(guò)程中會(huì)選擇最容易想到的方式，而非最便捷的方式。

比如，解決人教版教材四年級(jí)上冊(cè)中的“漢諾塔”問(wèn)題（如圖1）。

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，筆者在不同學(xué)校給不同班級(jí)的學(xué)生講授，并統(tǒng)計(jì)了學(xué)生在第一次自主探究環(huán)節(jié)的探究結(jié)果（見(jiàn)表1）。

回答正確的學(xué)生認(rèn)為第一次選擇對(duì)了桿，就比較節(jié)省時(shí)間，如果第一次選擇錯(cuò)誤了，就要再一次嘗試。只有3個(gè)珠子時(shí)，移動(dòng)的次數(shù)較少，一般通過(guò)一兩次嘗試都能成功，因此正確率相對(duì)較高。有4個(gè)珠子時(shí)，移動(dòng)的次數(shù)多了，在移動(dòng)的過(guò)程中，要選好桿，若選錯(cuò)了，就得從頭再來(lái)，因此，有4個(gè)珠子時(shí)，正確率較低，耗費(fèi)的時(shí)間較多。

又如，學(xué)生最開(kāi)始接觸“算24點(diǎn)”時(shí)，大都用已知數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除，以湊出結(jié)果?！坝盟膭t運(yùn)算去湊出結(jié)果”成了學(xué)生唯一的解決問(wèn)題的方法，這樣的方式是耗時(shí)費(fèi)力的。這樣看來(lái)，思維方式會(huì)直接影響解決問(wèn)題的效率。

二、原因分析

1.思維定式

學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，最常用的是正向思維，即根據(jù)已知條件，通過(guò)假設(shè)法、嘗試法等解決問(wèn)題。這是學(xué)生慣用的思維方式，也是一種定式思維，定式思維一旦形成，若沒(méi)有新的思維方式介入，就難以改變。

2.目標(biāo)離心

學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，總會(huì)被一些因素干擾而忘了最終目標(biāo)。目標(biāo)一旦不夠明確，解決問(wèn)題的道路就會(huì)又難又長(zhǎng)。

三、結(jié)果導(dǎo)向型思維在課堂教學(xué)中的立論依據(jù)

1.以終為始，打破思維定式

結(jié)果導(dǎo)向型思維是一種逆向思維，即從最終的結(jié)果出發(fā)，反向分析過(guò)程或原因，尋找關(guān)鍵信息，找到解決問(wèn)題的方法。用結(jié)果導(dǎo)向型思維思考問(wèn)題，或許會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

2.少走彎路，提高解題效率

運(yùn)用結(jié)果導(dǎo)向型思維思考，探求有效的解題策略和方法，能夠提高解題效率。

3.全面剖析，提高解題正確率

運(yùn)用結(jié)果導(dǎo)向型思維全面分析，是從結(jié)果倒推出解題步驟，是為尋找正確答案而做出的科學(xué)選擇，這樣的選擇是有正確性保障的。

四、結(jié)果導(dǎo)向型思維在“漢諾塔”游戲教學(xué)中的范式應(yīng)用

一個(gè)人要新建一種思維方式是不易的，因此載體的選擇尤為重要。游戲是學(xué)生喜歡的娛樂(lè)項(xiàng)目，筆者認(rèn)為，以數(shù)學(xué)游戲?yàn)檩d體建立結(jié)果導(dǎo)向型思維，不失為打開(kāi)學(xué)生思維大門(mén)的好辦法。

筆者將課堂作為滲透結(jié)果導(dǎo)向型思維的主陣地，以數(shù)學(xué)游戲“漢諾塔”作為教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了嘗試教學(xué)。

1.充分試錯(cuò)，體會(huì)優(yōu)勢(shì)

在課堂教學(xué)中，學(xué)生是主體，教師應(yīng)該扮演好組織者、引導(dǎo)者與合作者的角色。教師應(yīng)做到“不憤不啟，不悱不發(fā)”，只有在學(xué)生充分體驗(yàn)和嘗試后仍無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)，再進(jìn)行引導(dǎo)，才能讓學(xué)生充分理解和接受所學(xué)知識(shí)。

要讓學(xué)生體會(huì)結(jié)果導(dǎo)向型思維的優(yōu)勢(shì)，就先讓學(xué)生感受固有思維方式的不足。在玩“漢諾塔”游戲的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)過(guò)多次嘗試，逐漸發(fā)現(xiàn)從一開(kāi)始就要考慮第一個(gè)珠子往哪個(gè)桿移，運(yùn)用嘗試法非常耗時(shí)費(fèi)力。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生感悟到，原來(lái)從結(jié)果出發(fā)，倒過(guò)來(lái)思考第一步，能少走很多彎路，就好像玩“走迷宮”游戲時(shí)，從出口倒著尋找路線會(huì)快一些。經(jīng)過(guò)對(duì)比，學(xué)生充分感受到了結(jié)果導(dǎo)向型思維的優(yōu)勢(shì)。

【教學(xué)片段】

活動(dòng)：3個(gè)珠子的移動(dòng)。

合作要求：（1）兩人合作玩“漢諾塔”游戲，探究3個(gè)珠子最少需要移動(dòng)幾次；（2）達(dá)成一致后，一人移動(dòng)珠子，一人將過(guò)程畫(huà)在探究單（如圖2）上；（3）合作時(shí)間為6分鐘，完成后，可以再玩一玩“漢諾塔”游戲。

師（展示一張已完成的探究單，圖略）：這張?zhí)骄繂紊系膬?nèi)容有錯(cuò)嗎？錯(cuò)在哪里？

生1：第一步就錯(cuò)了。

師：如何確定第一步？

生2：假設(shè)第一步像這位同學(xué)一樣，先把最小的珠子移到②號(hào)桿，那中間有重復(fù)的移動(dòng)過(guò)程，這樣步數(shù)不是最少的。因此，第一步要先把最小的珠子移到③號(hào)桿，然后把中間的珠子移到②號(hào)桿，再把最小的珠子也移到②號(hào)桿，這樣③號(hào)桿就空出來(lái)了，最大的珠子就可以移到③號(hào)桿了。

師：如果第一次嘗試失敗了，是不是就會(huì)耗費(fèi)很多時(shí)間呢？你們靜下心來(lái)想一想，有沒(méi)有別的辦法，不用嘗試，就可以直接判斷最小的珠子先往哪根桿移動(dòng)呢？

生3：假如……

（學(xué)生依舊采用嘗試法，只是這次是在腦子里想移動(dòng)過(guò)程）

師：要使步數(shù)最少，你們覺(jué)得哪個(gè)珠子要盡快移到③號(hào)桿，才會(huì)最節(jié)省步數(shù)？

生4：最下面的珠子。

師：這樣我們的目標(biāo)就非常明確了，就是要讓最下面的珠子盡快移到③號(hào)桿?，F(xiàn)在該如何確定最小的珠子移到哪號(hào)桿呢？

生5：可以倒著想，目的是把最下面的珠子移到③號(hào)桿，那中間的珠子就要先移到②號(hào)桿，最小的珠子就要先移到③號(hào)桿。

師：這種倒過(guò)來(lái)想的思維叫結(jié)果導(dǎo)向型思維。

2.難度升級(jí)，鞏固方法

要鞏固新的思維方式，就要選擇相關(guān)活動(dòng)讓學(xué)生在實(shí)踐中充分體驗(yàn)感知，收獲成功經(jīng)驗(yàn)。由于移動(dòng)4個(gè)珠子的思考方法與移動(dòng)3個(gè)珠子的一致，難度升級(jí)的幅度也靠近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，因此選擇移動(dòng)4個(gè)珠子來(lái)幫助學(xué)生鞏固結(jié)果導(dǎo)向型思維較為恰當(dāng)。

【教學(xué)片段】

活動(dòng)：4個(gè)珠子的移動(dòng)。

師：這次要先考慮哪個(gè)珠子呢？

生：最下面的珠子。把最下面的珠子盡快移到③號(hào)桿，就要把從下往上數(shù)的第二個(gè)珠子移到②號(hào)桿，把從下往上數(shù)的第三個(gè)珠子移到③號(hào)桿，把最上面的珠子移到②號(hào)桿。

師：看來(lái)，你們已經(jīng)會(huì)用結(jié)果導(dǎo)向型思維來(lái)玩“漢諾塔”游戲了，大家都動(dòng)手試一試吧。

不過(guò)，要讓學(xué)生內(nèi)化結(jié)果導(dǎo)向型思維，并將其熟練運(yùn)用于“漢諾塔”游戲中，僅移動(dòng)4個(gè)珠子是不夠的。因此，還要安排移動(dòng)5個(gè)珠子的活動(dòng)環(huán)節(jié)。學(xué)生要對(duì)“漢諾塔”游戲有興趣，并在課后對(duì)更多個(gè)珠子的移動(dòng)進(jìn)行實(shí)踐和探索，才能將結(jié)果導(dǎo)向型思維深植于腦海。筆者多次教學(xué)后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生會(huì)把“漢諾塔”當(dāng)成日常游戲，課余時(shí)間，會(huì)三五成群地玩“漢諾塔”游戲。這樣，在不知不覺(jué)中，結(jié)果導(dǎo)向型思維也就深入學(xué)生心中。

3.拓展延伸，用于生活

在課堂小結(jié)的環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)結(jié)果導(dǎo)向型思維不但適用于“漢諾塔”游戲，也適用于其他數(shù)學(xué)游戲和其他數(shù)學(xué)問(wèn)題、生活問(wèn)題，從而讓學(xué)生樹(shù)立運(yùn)用結(jié)果導(dǎo)向型思維解決問(wèn)題的意識(shí)，在學(xué)習(xí)、生活中能夠主動(dòng)去運(yùn)用，很多問(wèn)題就能迎刃而解。

【教學(xué)片段】

師：在哪些方面能用到結(jié)果導(dǎo)向型思維呢？

生1：在算“24點(diǎn)”時(shí)，我們也是從最終目標(biāo)“24”出發(fā)，去思考如何將數(shù)字進(jìn)行組合的。

生2：在玩“走迷宮”游戲時(shí)，從出口倒著尋找入口，更容易找到正確的路線。

師：在生活中會(huì)用到嗎？

生3：開(kāi)學(xué)時(shí)，老師都會(huì)讓我們制定學(xué)習(xí)目標(biāo)，然后我們就會(huì)從目標(biāo)出發(fā)，為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)而不懈努力。

師：結(jié)果導(dǎo)向型思維不但可以運(yùn)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還可以用來(lái)解決生活中的問(wèn)題呢。

五、舉一反三，靈活運(yùn)用結(jié)果導(dǎo)向型思維

1.結(jié)果導(dǎo)向型思維在計(jì)算中的應(yīng)用

在運(yùn)算中，結(jié)果導(dǎo)向型思維是最為常見(jiàn)且被普遍運(yùn)用的思維。比如，減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，學(xué)生最開(kāi)始接觸減法和除法的時(shí)候，就是“想加算減”或“想乘算除”，如算15-7=（? ? ），就會(huì)想（? ? ）+7=15；算63÷9=（? ? ），就會(huì)想（? ? ）×9=63。

通過(guò)逆運(yùn)算得到答案，這就是運(yùn)用了結(jié)果導(dǎo)向型思維，只是專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)“想加算減”“想乘算除”“逆運(yùn)算”等掩蓋了結(jié)果導(dǎo)向型思維的本質(zhì)。在計(jì)算教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生體驗(yàn)“想加算減”“想乘算除”是用結(jié)果導(dǎo)向型思維思考，以一法得通法。

2.結(jié)果導(dǎo)向型思維在解決問(wèn)題中的應(yīng)用

一般解決問(wèn)題時(shí)會(huì)采用分析法，用分析法解決問(wèn)題的思路分為以下幾個(gè)步驟。

第一步，讀題、收集數(shù)學(xué)信息。第二步，明確要解決什么問(wèn)題。第三步，解決這個(gè)問(wèn)題需要知道哪幾個(gè)信息？它們之間有什么聯(lián)系，為什么？第四步，接下來(lái)又要解決什么問(wèn)題？需要知道哪幾個(gè)信息？它們之間有什么聯(lián)系？為什么？第五步，這樣往下分析，直到把問(wèn)題解決為止。

在解決問(wèn)題的這些步驟中，最重要的就是“要解決這個(gè)問(wèn)題需要知道哪幾個(gè)信息？”這一思考過(guò)程，也就是從要解決的問(wèn)題出發(fā)，倒過(guò)去找有用的信息，這樣看，分析法的核心是結(jié)果導(dǎo)向型思維。這種解決問(wèn)題的思路可以快速排除無(wú)關(guān)信息，有利于提高解決問(wèn)題的效率。

3.結(jié)果導(dǎo)向型思維在圖形與幾何中的應(yīng)用

圖3是人教版教材二年級(jí)下冊(cè)的“圖形的運(yùn)動(dòng)（一）”第32頁(yè)例4。該內(nèi)容屬于圖形與幾何領(lǐng)域，教材提供了嘗試法解題思路。剪1個(gè)紙人：先對(duì)折，再畫(huà)出半個(gè)圖案。剪2個(gè)紙人：對(duì)折1次可以剪出1個(gè)紙人，對(duì)折2次就可以剪出2個(gè)。

筆者認(rèn)為教學(xué)時(shí)可以不使用例題所呈現(xiàn)的方式，特別是要剪出4個(gè)手拉手的紙人，如果采用例題所給的方法，就比較復(fù)雜了。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從最終要得到的4個(gè)手拉手的紙人出發(fā)，在腦海中想象把4個(gè)紙人的剪紙作品進(jìn)行對(duì)折，對(duì)折1次可以剪出1個(gè)紙人，對(duì)折2次可以剪出2個(gè)紙人，因?yàn)榧埲耸亲笥覍?duì)稱的，所以需要再對(duì)折1次，也就是一共對(duì)折3次。于是，可以將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折3次，然后在折痕處畫(huà)上半個(gè)小人，為防止剪斷，一定要將手腳朝向開(kāi)口的地方，畫(huà)的時(shí)候要“頂天立地”，這樣就能剪出4個(gè)手拉手的紙人了。相比于例題所給出的方法，用結(jié)果導(dǎo)向型思維，顯然節(jié)省了不少時(shí)間。

結(jié)果導(dǎo)向型思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中廣泛應(yīng)用，對(duì)于很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，換一個(gè)角度思考，以終為始，可能會(huì)找到快捷的解決方法。但結(jié)果導(dǎo)向型思維往往與學(xué)生的一般思維方式相反，有些學(xué)生理解和接受起來(lái)有一定難度，要將其內(nèi)化為自身的思維方式更有難度。這就需要教師在課堂教學(xué)中不斷滲透，學(xué)生只有反復(fù)學(xué)習(xí)、鞏固、運(yùn)用，才能接受結(jié)果導(dǎo)向型思維，從而用它來(lái)解決更多數(shù)學(xué)問(wèn)題。

另外，結(jié)果導(dǎo)向型思維不僅是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常有價(jià)值的思維方式，更是學(xué)生面向未來(lái)生活所需要的思維方式，因?yàn)榻Y(jié)果導(dǎo)向型思維能讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、明朗。一種思維方式的習(xí)得，不是簡(jiǎn)單的獲取知識(shí)，而是獲得一項(xiàng)技能，惠及終身，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)果導(dǎo)向型思維是面向未來(lái)的教學(xué)，是很有價(jià)值的！

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1］ 張奠宙，孔子坤，任敏龍，張園，殷文娣.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理：核心概念的理解與呈現(xiàn)[M].上海：上海教育出版社，2018.

[2］ 余文森.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3］ 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)注”核心詞的解讀與實(shí)踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[4］ 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[5］ 錢(qián)守旺.教好小學(xué)數(shù)學(xué)并不難[M].北京：北京大學(xué)出版社，2012.

（責(zé)編 黃 露）