■江蘇省張家港中等專業(yè)學校 韓文美

函數(shù)與導數(shù)之間的關系是貫穿于整個高中數(shù)學體系的一個基本知識點,借助導數(shù)法,以函數(shù)為根本,實現(xiàn)函數(shù)問題的進一步深入與拓展,是歷年高考中考查的重點與難點之一。涉及導數(shù)及其應用問題,可以從以下四個“基本點”入手解答。

1.夯實基點

導數(shù)與應用中的基點是:利用函數(shù)的構(gòu)造或已有函數(shù)的應用,通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等,關鍵在于基本運算。

綜上分析,當x∈(-∞,x0)時,r(x)≥0,即h′(x)≥0,h(x)單調(diào)遞增;當x∈(x0,+∞)時,r(x)<0,即h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減。

而h(0)=0,當x<0時,h(x)0時,x>sinx,h(x)>0,且當x趨于正無窮時,h(x)趨于0。

點評:本題以多選題的形式出現(xiàn),利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點問題,實現(xiàn)題設條件與結(jié)論之間的無縫鏈接,借助構(gòu)造新函數(shù),利用導數(shù)及其應用來確定新函數(shù)的單調(diào)性,這是此類問題中最重要的基本考點,也是解決問題的關鍵所在。

2.突出重點

導數(shù)及其應用中的重點是:指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)的數(shù)學運算,以及與之相應的不等式存在或恒成立問題,涉及恒成立問題、存在性問題以及極值點偏移問題,關鍵在于函數(shù)作差。

分析:根據(jù)題設中給定的變量取值范圍所對應的不等式恒成立,通過等價轉(zhuǎn)化與指數(shù)式、對數(shù)式的恒等變形,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性合理構(gòu)造對應的函數(shù)解析式,利用函數(shù)求導并結(jié)合導函數(shù)的零點,以及不同區(qū)間的包含關系來確定參數(shù)的最值。

點評:本題以含參背景下不等式恒成立問題為背景,轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間下的單調(diào)性問題,合理構(gòu)造相應的函數(shù),并結(jié)合函數(shù)的導數(shù)求解以及導函數(shù)的零點的確定等一系列“常規(guī)性”的動作來分析與處理,實現(xiàn)函數(shù)模型的構(gòu)建與應用,達到利用導數(shù)解決綜合應用問題的目的。

3.關注熱點

導數(shù)與應用中的熱點是:導數(shù)與函數(shù)、方程的關系,導數(shù)與三角函數(shù)、數(shù)列等知識的交匯,特別涉及相關函數(shù)的周期、對稱性質(zhì)與導數(shù)的綜合應用,關鍵在于分段計算。

例3(2023 屆上海市松江區(qū)高三上學期期末數(shù)學試卷)已知函數(shù)f(x)=,若函數(shù)y=f(x)-g(x)的圖像經(jīng)過四個象限,則實數(shù)k的取值范圍為( )。

分析:依題意,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在x軸的正負半軸都有兩個交點。作出函數(shù)y=f(x)的圖像,而直線g(x)=kx+1 過定點P(0,1),利用導數(shù)的幾何意義求出直線y=kx+1 與函數(shù)y=x2-4x+2(x≥0)相切時的切線斜率,再求出直線y=kx+1過點(-2,0)的斜率,數(shù)形結(jié)合即可求出k的取值范圍。

解:如圖1所示。

圖1

過點P(0,1)作y=x2-4x+2(x≥0)的切線,切點設為M(x0,x02-4x0+2)。

由于y′=2x-4,結(jié)合導數(shù)的幾何意義知k=2x0-4。

所以切線的方程為y-(x02-4x0+2)=(2x0-4)(x-x0)。

把點P(0,1)代入上述切線方程,可得1-x02+4x0-2=-x0(2x0-4),解得x0=1或-1(舍去),所以k=-2。

點評:此題以分段函數(shù)的圖像和零點個數(shù)來命題,結(jié)合函數(shù)的圖像與基本性質(zhì)進行解題,實現(xiàn)參數(shù)取值范圍的直觀分析與判斷。從函數(shù)的解析式、函數(shù)與方程、函數(shù)與零點等知識點進行問題的設置,利用導數(shù)及其應用來分析與處理,是高考中此類命題設置的熟悉面孔與熱點問題之一。

4.突破難點

導數(shù)與應用中的難點是:構(gòu)建函數(shù)模型,借助放縮來判斷或證明對應的不等式,實現(xiàn)大小關系的判定、不等式的證明等相關綜合應用問題,關鍵在于超越放縮。

分析:根據(jù)題設中變量的取值范圍,合理構(gòu)造函數(shù)模型,通過求導及其應用確定對應的三角不等式,進而加以合理放縮與巧妙應用,實現(xiàn)對應角大小關系的比較與判斷。解題的關鍵是對常見三角不等式模型的理解記憶,對放縮的要求較高。

點評:本題是以三角函數(shù)為背景的角的大小比較問題,利用相關的三角不等式進行放縮和構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解。含有一定條件(等式或不等式)的比較大小問題,日漸成為高考數(shù)學考試命題的一個熱點。而多變量往往是這類問題中處理的一個難點,解決的途徑通常首先分離變量,結(jié)合表達式的結(jié)構(gòu)特征,合理構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù),借助函數(shù)的單調(diào)性與最值等相關問題來轉(zhuǎn)化與應用。

導數(shù)及其應用作為高中數(shù)學的核心內(nèi)容與工具性知識之一,也是高考考查的主要重點之一。同學們在學習過程中,要抓住問題的本質(zhì),從導數(shù)及其應用自身特點入手,打?qū)嵒A,夯實基點,突出重點,把握考點,關注熱點,突破難點,進而真正有效備考。