陳中祥,韋漢林,任 韋,2

1. 江南機(jī)電設(shè)計研究所,貴陽 550009 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,哈爾濱 150001

0 引言

三回路過載自動駕駛儀結(jié)構(gòu)因其具有良好的系統(tǒng)穩(wěn)定性、快速性和魯棒性[1],廣泛應(yīng)用于戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈領(lǐng)域[2]。常用的三回路過載駕駛儀包括:偽攻角反饋駕駛儀和經(jīng)典的Raytheon三回路駕駛儀。其中,經(jīng)典的Raytheon三回路駕駛儀是由Raytheon公司為應(yīng)對其雷達(dá)導(dǎo)引頭尋的制導(dǎo)回路設(shè)計而首次提出,因該結(jié)構(gòu)不受氣動變化的影響,對高頻噪聲有較強(qiáng)的濾波能力,并可以減低雷達(dá)導(dǎo)引頭天線罩折射誤差斜率對制導(dǎo)回路的影響,而得到廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[3]指出了該經(jīng)典三回路自動駕駛儀頻域設(shè)計方法,通過指定控制系統(tǒng)期望的時間常數(shù)τ,阻尼ζ,開環(huán)截止頻率ωCR,求解閉環(huán)系統(tǒng)二階固有頻率,實現(xiàn)對閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,但是,其設(shè)計過程未考慮到控制系統(tǒng)期望指標(biāo)的工程約束條件,導(dǎo)致當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)截止頻率ωCR不滿足遠(yuǎn)大于彈體固有頻率時,其設(shè)計結(jié)果在工程實際中存在較大誤差。文獻(xiàn)[4]在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上,提出的極點(diǎn)配置設(shè)計方法考慮了舵機(jī)動態(tài)特性等工程實際約束的影響,通過系統(tǒng)參數(shù)尋優(yōu)實現(xiàn)了考慮舵機(jī)動態(tài)特性的極點(diǎn)精確配置,但是其設(shè)計過程未考慮系統(tǒng)開環(huán)截止頻率及最大舵偏角速度約束。文獻(xiàn)[5]提出了經(jīng)典三回路過載自動駕駛儀設(shè)計不應(yīng)以自振頻率為主要設(shè)計指標(biāo),而應(yīng)以系統(tǒng)開環(huán)截止頻率約束為主要設(shè)計指標(biāo)的思想,并給出了相關(guān)設(shè)計方法,但是其設(shè)計過程仍未能充分考慮最大舵偏角速度約束。

而偽攻角反饋增穩(wěn)回路因采用偽攻角反饋,可以消除經(jīng)典三回路駕駛儀的靜差,同時能保留較好的時域、頻域響應(yīng)特性及魯棒性能,因此,在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈上得到廣泛的應(yīng)用[6]。文獻(xiàn)[7]指出了以系統(tǒng)開環(huán)截止頻率為主要設(shè)計指標(biāo)的駕駛儀設(shè)計方法,該方法的實際設(shè)計結(jié)果與期望指標(biāo)一致性較好,但是其設(shè)計過程未考慮相位裕度、舵偏角速度等相關(guān)工程約束。文獻(xiàn)[8-9]指出了偽攻角反饋自動駕駛儀的極點(diǎn)配置設(shè)計方法,通過建立控制增益與閉環(huán)極點(diǎn)、開環(huán)截止頻率的解析關(guān)系式,考慮系統(tǒng)高頻部件約束、舵偏角速度約束及相位裕度約束,并基于Butterworth濾波器提出“共圓準(zhǔn)則”,增加在同樣開環(huán)截止頻率及阻尼條件下,最小化閉環(huán)系統(tǒng)等效時間常數(shù)實現(xiàn)偽攻角反饋形式下,考慮開環(huán)截止頻率約束的極點(diǎn)配置方法。其設(shè)計的期望截止頻率與實際截止頻率差異較小,但是因部分彈體模型采用了近似性計算導(dǎo)致相位裕度具有一定的保守性。

綜上,當(dāng)前三回路過載自動駕駛儀設(shè)計中,對于如何在充分考慮工程實際中舵偏角速度、開環(huán)截止頻率、相位裕度以及高頻部件等的約束條件下,完成參數(shù)的最優(yōu)化、精確化設(shè)計仍需要開展相關(guān)研究。本文首先從常用的三回路過載駕駛儀的模型出發(fā),統(tǒng)一給出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的關(guān)系,然后依據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)確定系統(tǒng)控制增益與閉環(huán)極點(diǎn)、開環(huán)截止頻率的關(guān)系,通過引入舵偏角速度約束、開環(huán)截止頻率、穩(wěn)定裕度指標(biāo)約束,高頻部件約束,進(jìn)而給出最小化閉環(huán)系統(tǒng)等效時間常數(shù)的目標(biāo)函數(shù),形成典型的約束條件下參數(shù)尋優(yōu)范式,通過求解系統(tǒng)最優(yōu)解,實現(xiàn)系統(tǒng)開環(huán)截止頻率、相位裕度的精確設(shè)計,形成一種可工程化的設(shè)計方法。

1 彈體縱向運(yùn)動方程

導(dǎo)彈是一個時變、非線性的彈性結(jié)構(gòu)體,通常將戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈視為剛體。利用小擾動線性化方法,對彈體縱向運(yùn)動方程進(jìn)行簡化,得到便于控制系統(tǒng)設(shè)計用的線性化模型。常用的線性化方程表示如下:

(1)

由此,可得如下傳遞函數(shù):

(2)

(3)

2 三回路過載駕駛儀結(jié)構(gòu)

常用的偽攻角反饋三回路過載駕駛儀結(jié)構(gòu)[9]如圖1所示,經(jīng)典三回路過載駕駛儀結(jié)構(gòu)[9]如圖2所示。圖1中:KAC,Kα和Kg為偽攻角反饋結(jié)構(gòu)中的反饋系數(shù);KDC,KA,ωi和KR為經(jīng)典三回路結(jié)構(gòu)中的反饋系數(shù)。在偽攻角反饋結(jié)構(gòu)中,通常取A4=a4-a2a5/a3。圖2中:c表示加速度計在彈上的安裝位置,正的c表示安裝在導(dǎo)彈質(zhì)心之前。

圖1 偽攻角反饋三回路過載駕駛儀結(jié)構(gòu)圖

圖2 經(jīng)典三回路過載駕駛儀結(jié)構(gòu)圖

彈體氣動參數(shù)的不確定性是整個控制系統(tǒng)中最嚴(yán)重的環(huán)節(jié),通常分析舵機(jī)斷開處的開環(huán)傳遞函數(shù)[10]。當(dāng)忽略圖中舵機(jī)、速率陀螺、加速度計及結(jié)構(gòu)濾波器的高階動態(tài),對于偽攻角反饋結(jié)構(gòu),可得如下形式的開環(huán)傳遞函數(shù)(不考慮c):

(4)

式中:

(5)

同理,對于經(jīng)典三回路結(jié)構(gòu),可得如下形式的開環(huán)傳遞函數(shù)(不考慮c):

(6)

式中:

(7)

對比兩種結(jié)構(gòu)形式的開環(huán)傳遞函數(shù)式(4)和(6),具有相同的形式。

定義:A1=a1+a4,A2=a2+a1a4;對于偽攻角反饋,可以求解從指令到過載的閉環(huán)傳遞函數(shù):

(8)

顯然,其閉環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定增益恒為1,說明偽攻角反饋結(jié)構(gòu)對過載指令是一階無靜差系統(tǒng)[9]。

同理,對于經(jīng)典三回路,可以求解從指令到過載的閉環(huán)傳遞函數(shù):

(9)

在圖2結(jié)構(gòu)中,設(shè)置前置補(bǔ)償系數(shù)[11]KDC能保證指令到過載的穩(wěn)態(tài)傳遞系數(shù)為1。這是解決經(jīng)典三回路對指令有靜差系統(tǒng)的補(bǔ)償措施。

3 三回路過載駕駛儀閉環(huán)特征方程與開環(huán)傳遞函數(shù)

對比式(8)和(9)可知,偽攻角反饋結(jié)構(gòu)與經(jīng)典三回路結(jié)構(gòu)具有相同結(jié)構(gòu)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。當(dāng)兩個結(jié)構(gòu)中閉環(huán)傳遞函數(shù)相同時,式(5)和(7)應(yīng)滿足:N2=N2′、N1=N1′、N0=N0′。

假設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)的的特征方程為:

(10)

對于偽攻角反饋結(jié)構(gòu):

(11)

對于經(jīng)典三回路結(jié)構(gòu)可以推導(dǎo),其結(jié)構(gòu)形式完全相同,只是將式(11)中的Ni換為Ni′,i=0,1,2。

對于偽攻角反饋結(jié)構(gòu),利用閉環(huán)特征方程的參數(shù),確定其控制回路增益,KAC,Kα和Kg如式(12)。

(12)

同理,對于經(jīng)典三回路結(jié)構(gòu),其控制回路增益,KA,ωi和KR滿足如下關(guān)系:

(13)

式中:ωa=a4-a2a5/a3=A4。

為方便后續(xù)描述,采用統(tǒng)一的表達(dá)形式描述系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:

(14)

式中:

(15)

定義:

(16)

則:

(17)

4 三回路過載駕駛儀參數(shù)設(shè)計

4.1 幅頻-相頻特性分析

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)HG(s),令s=jω,可得其幅頻、相頻特性:

(18)

定義復(fù)數(shù):A(ω)和B(ω)如下:

(19)

則復(fù)數(shù)A(ω)、B(ω)的幅值和相位分別為:

(20)

(21)

考慮慣性測量器件、舵機(jī)和結(jié)構(gòu)濾波器等高頻部件對系統(tǒng)特性的影響,定義等效執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型:

GACT(ω)=Γ(ω)∠φ

(22)

式中:Γ(ω)和∠φ分別為等效執(zhí)行機(jī)構(gòu)幅頻特性和相頻特性。

則系統(tǒng)開環(huán)幅頻-相頻特性表示為:

(23)

式中:L(ω)為系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性,∠φ為系統(tǒng)開環(huán)相頻特性。

令系統(tǒng)開環(huán)幅值穿越頻率為ω=ωCR,則有:

(24)

式中:γ為相位裕度。因此有如下關(guān)系式:

(25)

式中:ΓωCR為等效執(zhí)行機(jī)構(gòu)在幅值穿越頻率ωCR處的幅值。

令系統(tǒng)開環(huán)相位穿越頻率為ω=ωG,則有

(26)

式中:L為幅值裕度。因此有如下關(guān)系式:

(27)

式中:ΓωG為等效執(zhí)行機(jī)構(gòu)在幅值穿越頻率ωCR處的幅值。

4.2 開環(huán)截止頻率的約束條件

定義:

對于式(27)有:

(28)

于是有:

(29)

(30)

一般來說,工程設(shè)計中通常將ωCR作為系統(tǒng)帶寬指標(biāo)。系統(tǒng)開環(huán)截止頻率的選擇主要受系統(tǒng)舵機(jī)帶寬、速率陀螺、加速度計及結(jié)構(gòu)濾波器高階動態(tài)環(huán)節(jié)性能的制約。為保證系統(tǒng)穩(wěn)定性,且高頻部件不對系統(tǒng)響應(yīng)造成較大影響,工程上一般將自動駕駛儀開環(huán)截止頻率ωCR取為高頻部件等效帶寬ωACT的1/3～1/5[6],保證高頻部件在ωCR處引起的相移不超過30°。

4.3 最大舵偏角的約束條件

根據(jù)第3節(jié)分析可知,重新書寫偽攻角反饋結(jié)構(gòu)的閉環(huán)傳遞函數(shù):

(31)

由此可得,從指令到舵偏角及舵偏角速度的傳遞函數(shù):

(32)

(33)

根據(jù)文獻(xiàn)[12-13],閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的最大舵偏角速度在初始時刻產(chǎn)生,同時,注意到式(5),N0=-(a3a4-a2a5)KACKgkv,則有:

(34)

式中:δPH和αPH分別是指令為nyc時對應(yīng)的平衡舵偏角和平衡攻角。

因此,考慮最大舵偏角速度約束,則有:

(35)

4.4 最小化閉環(huán)系統(tǒng)等效時間常數(shù)參數(shù)設(shè)計

根據(jù)式(16)和(30),可得如下關(guān)系:

(36)

閉環(huán)系統(tǒng)等效時間常數(shù)為:

(37)

(38)

待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)等效時間常數(shù):

(39)

綜上所述,設(shè)計過程可以概述為:

(40)

式中:

A1=a1+a4,A2=a2+a1a4,

求解式(40)的最優(yōu)解:Zopt=[z1·opt,z2·opt,z3·opt],則有:

(41)

當(dāng)不指定相位裕度γ的設(shè)計值,而僅指定其范圍γ∈[γmin,+∞)時,令z4=γ則設(shè)計過程表述為:

(42)

作此改進(jìn)的目的是:當(dāng)指定ωCR及γ,采用式(40)設(shè)計時,可能存在ωCR與γ不相容的情況。比如,對于靜穩(wěn)定導(dǎo)彈,若ωCR設(shè)定的不是很大,但γ設(shè)定的又比較小,在此情況下,則會導(dǎo)致式(40)無解。當(dāng)ωCR與γ相容時,式(42)的最優(yōu)解滿足式(40)。即,使用式(42)按γ≥γmin尋優(yōu)與使用式(40)指定γ=γmin尋優(yōu),結(jié)果一致;此時,對于式(42),按γ≥γmin尋優(yōu)結(jié)果即是:γopt=γmin。

最后,使用系統(tǒng)幅值裕度對設(shè)計結(jié)果進(jìn)行檢驗。

5 算例

表1 彈體氣動數(shù)據(jù)

表2 硬件參數(shù)

對于上述硬件參數(shù)可以確定其等效執(zhí)行機(jī)構(gòu)的時間常數(shù)為[12]:

(43)

因此,可以取開環(huán)截止頻率ωCR=(1/3～1/5)ωACT=18～30 rad/s。采用本文提出的方法,對上述數(shù)據(jù)描述的系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計,取定截止頻率ωCR分別為:40、45、50和55 (rad/s)及25、30、35和40 (rad/s);相位裕度γ=45°;阻尼比ξ≥0.6。對系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計結(jié)果見表3所示。過載單位階躍響應(yīng)曲線、過載單位階躍響應(yīng)的舵偏角速度見圖3～6所示。

表3 設(shè)計結(jié)果

圖3 過載單位階躍響應(yīng)(a2=250)

圖5 過載單位階躍響應(yīng)(a2=-250)

圖6 過載單位階躍響應(yīng)下的舵偏角速度(a2=-250)

從表中序號1～3為“設(shè)置不匹配”的狀態(tài),按照γ≥γmin尋優(yōu),其余狀態(tài)均按照指定的截止頻率與相位裕度設(shè)計。序號5～7中,對于靜不穩(wěn)定狀態(tài),低頻幅值裕度不滿足大于6 dB要求,當(dāng)截止頻率提高到40 rad/s時,低頻幅值裕度滿足6 dB要求;但隨著截止頻率的提高,其高頻幅值裕度逐漸減低,因此,對于靜不穩(wěn)定導(dǎo)彈,截止頻率存在一個最優(yōu)值,即在指定的相位裕度條件下,綜合低頻幅值裕度與高頻幅值裕度。

6 結(jié)束語

通過對兩種常用的三回路過載駕駛儀的分析,給出了統(tǒng)一的閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù),由此得出當(dāng)兩種回路結(jié)構(gòu)具有相同閉環(huán)極點(diǎn)時,兩回路結(jié)構(gòu)具有相同的開環(huán)傳遞函數(shù),因此,證明了在數(shù)學(xué)意義上兩種結(jié)構(gòu)的等價性;同時,給出了兩種結(jié)構(gòu)下由閉環(huán)極點(diǎn)確定控制回路增益的表達(dá)式;其次,通過分析開環(huán)傳遞函數(shù)得到開環(huán)截止頻率與相位裕度的關(guān)系式,并通過系統(tǒng)高頻部件對開環(huán)截止頻率進(jìn)行約束,分析了閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)過程的最大角速度約束條件;最后,提出以最小化閉環(huán)系統(tǒng)時間常數(shù)為目標(biāo)函數(shù),通過求解帶約束條件的系統(tǒng)最優(yōu)解,實現(xiàn)系統(tǒng)開環(huán)截止頻率、相位裕度的精確設(shè)計,并通過算例檢驗本文提出的設(shè)計方法的有效性。