陳凱 上海市位育中學(xué)

歷史上，有些思想實驗借助邏輯悖論可以推導(dǎo)出令人信服的答案，如伽利略的重力思想實驗，有些思想實驗中的問題未能獲得被普遍認可的解答，但它卻成為一種能顯現(xiàn)出人的思維方式和局限的特殊工具。

《莊子·雜篇·天下》中提到的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”，可看作是一個歷史悠久的思想實驗。原文指出這是惠施的一個辯題，并說“辯者以此與惠施相應(yīng)，終身無窮”。人總是能在頭腦的想象中將已經(jīng)取半的捶繼續(xù)施加以取半的動作，南宋學(xué)者洪邁在《容齋隨筆》中認為：“雖為寓言，然此理固具。蓋但取其半，正碎為微塵，余半猶存，雖至于無窮可也?！背衷硬豢稍俜指钣^點的辯者大概很難說明白，原子所占空間何以是不可再分而取半的。不過，這個“萬世不竭”的結(jié)論，常讓人內(nèi)心產(chǎn)生出一種找不到終極原因的不安感，大概正是這種不安，使得惠施的辯題常辯不衰。直到現(xiàn)代物理學(xué)取得豐富的成果后，人們從微觀粒子行為的不確定性與概率特征來加以審視，才發(fā)現(xiàn)其實不能用是或否來判定“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”的命題，與復(fù)雜的物理現(xiàn)象相比，落于二邊的邏輯思維在此處是蒼白無力的。

●用思想實驗顯現(xiàn)思維方式和局限

本文特意創(chuàng)設(shè)了這樣一個和計算思維有關(guān)的思想實驗：某A自認為運用了計算思維解決了某一個問題，如某個需要用枚舉法解決的問題，并且，觀察某A解決問題過程的某B從某A的行為判定，某A確確實實是運用了計算思維解決了這個問題，那么，假設(shè)在后續(xù)時間里，某A不斷地用同樣的方法解決同一類問題，如解決的都是那種能采用枚舉法來解決的問題，那么，是不是有理由懷疑，從某個時刻開始，某A不再是運用計算思維，而是依賴某種思維慣性在解決此類問題呢？

為行文方便，姑且將此自創(chuàng)的思想實驗稱為“褪色的計算思維”，如果將描述中的“計算思維”換成“邏輯思維”（這種替換仍然是思想實驗的一部分），即某A自認為且被他人評價為的確運用了邏輯思維解決了某一類問題，而在后續(xù)時間內(nèi)，某A不斷遇見這些需要用邏輯思維解決的問題，在這里，似乎就可以說，某A每次解決問題，確實都是運用了邏輯思維。

從“褪色的計算思維”中可以看出這樣的問題，如果教師想要借助枚舉法的運用創(chuàng)設(shè)一個培養(yǎng)和評價計算思維能力的情境和任務(wù)，那就要弄明白，學(xué)生在面對多個需要借助枚舉法解決的問題時，在其不斷采用的思維方法中，究竟哪一種的確可以算作是運用了計算思維，顯然，不能輕易地說，只要采用了枚舉法解決問題就是運用了計算思維，當(dāng)熟悉了枚舉法解決問題的過程后，就只需要拿出已有的應(yīng)用了枚舉法的計算模型或程序代碼，運用邏輯思維改變其部分輸入數(shù)據(jù)和輸入形式，也一樣能解決問題。當(dāng)某A利用計算思維解決了某一類問題，并且構(gòu)建了解決問題的模式后，當(dāng)以后再遇到同類型問題時，計算思維的運用是不必要的。那么，教師應(yīng)當(dāng)如何構(gòu)建一個具有運用計算思維必要性的情境和任務(wù)呢？

●一個枚舉算法案例引出的關(guān)于計算思維的幾個問題

有一個邏輯推理趣題是這樣的：某推理比賽的冠軍是A、B、C、D四位同學(xué)中的一位。至于誰是冠軍，A說：“不是我?！盉說：“是C。”C說：“是D?！盌說：“C說的不對?！逼渲腥齻€人說的是真話，一個人說的是假話，那么到底誰是冠軍？

曾有教師在介紹用于計算思維培養(yǎng)的教學(xué)案例中提到過這個例子。顯然，學(xué)生可以通過枚舉的方法來判別誰是冠軍，在具體操作上，既可以逐個地按不同人說謊的情況進行枚舉，也可以逐個地按不同人是冠軍的情況進行枚舉，通過排除掉存在矛盾的情況，就能得出結(jié)論。如果圍繞這個案例對培養(yǎng)計算思維進行深入的思考，會引出許多疑惑。

疑惑一：不需要借助枚舉，單純依靠邏輯推理也能解決此問題：由于C和D的說法是矛盾的，所以，說假話的必然是兩者之一，然后，如果D說的是假話，則B說的也必然是假話，兩個說假話的情況與預(yù)設(shè)條件不符，所以只能是C說了假話?？梢姡唤柚杜e，也能解決問題。即便說，使用枚舉法解決問題體現(xiàn)了計算思維的運用（雖然筆者并不認同這一點），那么，這里其實存在著計算思維運用的必要性的問題。

疑惑二：枚舉是人類思維活動中常用的方法，如在圖書館的書架上找出所有的教材、找出某個范圍內(nèi)符合某種特定條件的數(shù)字、用窮舉的方法構(gòu)建一個九宮幻方等，所以這里的問題是，用到了枚舉法，就一定是運用了計算思維嗎？如果非要說人在利用枚舉進行邏輯歸納時就運用了計算思維，是不是有一種強行將人的思想降低到機器行為的嫌疑？這里存在計算思維的識別特征的問題，也就是說，要如何將計算思維的運用從人的一般思維的運用中凸顯出來。需要考慮當(dāng)人在利用枚舉算法解決問題時，哪些行為是具有可分辨的運用計算思維的特征的。

疑惑三：假設(shè)某A在學(xué)習(xí)了基本的程序語法后，構(gòu)造了某個算法或某個計算模型，借助枚舉法解決了問題。在這種情況下，認為某A的確運用了計算思維解決問題的判定大致是可以得到認可的，但如果有某B直接學(xué)習(xí)并大致記住了解決此問題的枚舉算法，并利用算法解決了此問題，能不能就此認為某B運用了計算思維解決了問題？似乎無法找到證據(jù)，認為某B不是依靠對語言的理解（ChatGPT能通過對語言的機器學(xué)習(xí)來編寫枚舉算法的程序，能認為ChatGPT運用了計算思維嗎？），或是邏輯推理，或是算法思維來解決了問題。這里存在計算思維運用如何判定和評價的問題。雖然一般認為算法思維是計算思維的一部分，但既然提出了計算思維的概念，就應(yīng)當(dāng)思考包含了邏輯思維、系統(tǒng)思維、算法思維的計算思維在整體上是如何發(fā)揮作用的。

教師在教學(xué)設(shè)計中，如果要落實計算思維培養(yǎng)的目標，就需要明確計算思維運用何以必要，計算思維運用的特征如何凸顯，計算思維運用如何判定和評價這些問題。為了解決這些問題，就有必要對情境和任務(wù)本身進行一定的改造。限于篇幅，本文重點討論計算思維運用何以必要這個問題。

●枚舉中的判斷問題

不妨做這樣的嘗試：在教學(xué)情境中，任務(wù)切入的角度其實并不是怎樣解決“誰說假話”的問題，因為，利用枚舉法解決此問題，只是日常的邏輯思維的運用而已。相較而言更重要的是，要思考如何構(gòu)建能實現(xiàn)枚舉法的模型，來解決“誰說假話”的問題。需要注意的是，利用枚舉法和構(gòu)造實現(xiàn)枚舉法模型這兩者間是有區(qū)別的。

考慮要設(shè)計出某個機器，這個機器能解決部分推理問題，那么，討論機器如何借助并僅僅借助枚舉法解決一系列類似的推理問題，就顯現(xiàn)出“機器如何（半）通用性地解決問題”這個有價值的課題。當(dāng)然，也要同時為其他解決方案預(yù)留出空間，如并行搜索、邏輯編程等。圍繞機器的行為展開設(shè)計而不是借助程序語言環(huán)境實現(xiàn)任務(wù)目標，就是為了避免學(xué)生僅通過語言規(guī)則來完成任務(wù)。在一項進行中的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，大部分教師更傾向于在算法和程序設(shè)計的教學(xué)單元培養(yǎng)計算思維，但在課時有限的情況下，學(xué)生通常只能做到學(xué)習(xí)和應(yīng)用枚舉算法，而不是構(gòu)建枚舉算法，而一旦學(xué)生基本掌握了枚舉算法，就不再有親自體驗構(gòu)建枚舉算法的可能了。所以，更好的辦法是將培養(yǎng)計算思維的平臺拓展到信息從采集、編碼、處理到應(yīng)用的整個過程中。

下面，是逐個地按不同人說謊的情況進行枚舉，借助涂色和邏輯推理尋求“誰是冠軍”答案的方法：繪制4*4的表格，圖1是列舉出A說謊且其他人不說謊時描述的情況，深綠色代表描述中某人是冠軍，淺黃色代表描述中某人不是冠軍，未涂色的表示情況不明。第一行是根據(jù)A說謊時的描述情況進行糾正后的涂色，第二、三、四行分別是根據(jù)B、C、D各人的描述進行涂色?？梢?，圖中有兩處矛盾，其一，第一、三列有兩處深綠色，說明有兩個冠軍，產(chǎn)生矛盾。其二，第四列同時有一處深綠色和一處淺黃色，說明某人既是冠軍又不是冠軍，從而產(chǎn)生矛盾。所以，A說謊且其他人不說謊的情況被排除了。接下來還要分別按B、C、D說謊的情況繪圖，這里就不一一展示了。

圖1 A說謊時的涂色

即便繪制完成如圖1所示的圖表，且根據(jù)圖表做出了A說謊時產(chǎn)生矛盾的推論，這個過程中也只有邏輯思維在起作用，計算思維在哪里呢？不妨更換一下研究角度，問某個機器到底應(yīng)該如何判斷出這種矛盾。這時候就可能涌現(xiàn)出許多不同的解決方案，一種可行的方案是，將不同的顏色用二進制數(shù)碼加以表征，深綠色設(shè)置為“01”，淺黃色設(shè)置為“10”，白色設(shè)置為“00”。首先，縱向每列按位進行或運算操作，如果得到“11”，則表示存在矛盾。如果以上操作不存在矛盾，則縱向每列按位進行或運算操作，得到四個數(shù)值結(jié)果，如果存在多個“01”，則表示存在矛盾。

從上述解決方案中可以看出，雖然人能直觀看出矛盾所在，但為了讓機器判斷出矛盾是否存在，就需要構(gòu)造出一種能夠讓機器實現(xiàn)判斷的方法，這些方法用到了二進制編碼和二進制邏輯運算，這正是運用計算機科學(xué)的基礎(chǔ)概念進行問題求解和系統(tǒng)設(shè)計。

這里存在一個疑惑，假設(shè)學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過二進制編碼和運算，那么是否就無法運用計算思維來解決這道推理趣題？筆者認為，信息的編碼和表征可以有很多種方式，有些方式未必符合當(dāng)前計算機最有效率的運行方式，但人的創(chuàng)造不應(yīng)該被現(xiàn)代數(shù)字計算機這種已成型的計算裝置的工作模式所束縛，創(chuàng)造和想象應(yīng)當(dāng)首先不受物理限制，然后再考慮物理現(xiàn)實中的可行性，這個問題留待以后討論。

●枚舉中“下一個”的問題

某個機器要能實現(xiàn)枚舉，那么它必然要能做到選取下一個的動作，利用程序語言，當(dāng)然很容易實現(xiàn)“下一個”，如“for i in range(10)：”這樣的語句自然就能從0枚舉到9。但和前文所述類似，用程序語言實現(xiàn)這樣的“下一個”，不必然運用了計算思維，只要足夠熟悉程序語言就能做到，“for i in range(10)：”本身就可以看成是“從10的范圍內(nèi)取出每個數(shù)字給i”的人類語言的描述。

仍然以“誰是冠軍”為例，圖2中列出了枚舉所得的所有四種涂色情況，這四種涂色都是由最左面的聽眾視角變換而來的，變換規(guī)律也很簡單，分別是第一、二、三、四行的顏色發(fā)生變化，如果該行存在深綠色則變?yōu)闇\黃色，淺黃色則變?yōu)樯罹G色。

圖2 從聽眾視角涂色變換成四種枚舉所得的場景的涂色

從每一行中找到某種顏色進行變換這個動作，本身就是一種枚舉，也就是說，為了枚舉出每一種說謊的情況，首先要對每一行的每一種顏色進行枚舉，這個機器表象的枚舉現(xiàn)象和底層的枚舉動作其實是不一致的，底層的動作支撐了表象中“下一個”動作的產(chǎn)生。底層的枚舉成為高層的實現(xiàn)枚舉的計算模型中的一個組成部分，這里再來看“運用計算機科學(xué)的基礎(chǔ)概念去求解問題和系統(tǒng)設(shè)計”這句話，對于“運用計算機科學(xué)的基礎(chǔ)概念去求解問題”，一方面其有可能與“運用計算機科學(xué)的成果去求解問題”相混淆，另一方面有可能讓人停留于“運用計算機科學(xué)的基礎(chǔ)概念在概念層面而不是在計算裝置實施計算的層面解決問題”，但如果強調(diào)的是“運用計算機科學(xué)的基礎(chǔ)概念去設(shè)計一個系統(tǒng)來求解問題”，那就為什么樣的思維方式屬于計算思維的運用劃定了更精確的界限。

枚舉中的“下一步”的可行也隱含了更多低層的原因，那是因為按當(dāng)前數(shù)字計算機的體系結(jié)構(gòu)，讀寫數(shù)據(jù)的操作必須遵循一定的指令的順序，這在計算機實體結(jié)構(gòu)的層面上揭示了在構(gòu)建計算模型過程中計算思維運用的必要性，在本欄目往期文章《芯中之?dāng)?shù)—一種展示計算機系統(tǒng)架構(gòu)工作原理的方法》中對此已有論述，這里不再展開。但如果跳出計算機實體結(jié)構(gòu)的限制，許多計算模型具有并行計算的能力，如DNA計算、量子點計算等，利用這些計算模型實施枚舉，就不再有如何實現(xiàn)“下一步”的問題。

●枚舉中的停機問題

枚舉算法中的“下一步”如何才能停下來，是一個必須面對的問題，也是一個有趣的問題。在高級程序語言中，當(dāng)循環(huán)全部執(zhí)行完畢后，程序就停了下來，但這是因為有操作系統(tǒng)在管理著程序的運行，程序停下來了，操作系統(tǒng)卻并沒有停下來。假設(shè)不使用普通的計算機，而是用圖靈機來解決枚舉并將顏色進行變換的問題，如用十進制數(shù)1代表二進制數(shù)01，用十進制數(shù)2代表二進制數(shù)10，具體運行規(guī)則和運行初始和終止時的狀態(tài)如下頁圖3所示，則能發(fā)現(xiàn)，圖靈機預(yù)設(shè)了一個停止狀態(tài)，當(dāng)讀寫頭遇見空格—也就是沒有任何顏色存在的格子時，圖靈機就停止運行，但它是怎么停下來的呢？當(dāng)電路判斷到數(shù)據(jù)符合某種特定的狀態(tài)時，就執(zhí)行電路自己斷開的動作，這當(dāng)然是可行的。用函數(shù)的遞歸也能實現(xiàn)當(dāng)枚舉任務(wù)完成后自動且自主停機，如果遞歸函數(shù)是一種純粹抽象的機器，那么遞歸函數(shù)就是其自身的操作系統(tǒng)—雖然現(xiàn)實中，人類構(gòu)建的遞歸計算裝置都有其物質(zhì)實體。

圖3 枚舉結(jié)束后會自己停機的圖靈機，上方是初始時的數(shù)據(jù)，下方是任務(wù)完成后的數(shù)據(jù)

考慮到有學(xué)生對函數(shù)遞歸工作過程的理解存在困難，可以思考這樣一個演示方案，假設(shè)存儲器里存儲的不僅是數(shù)據(jù)，也包含對讀寫頭下一步動作的指令，那么機器就不僅能自動根據(jù)指令匹配特定數(shù)據(jù)和替換，還能實現(xiàn)“下一步”動作和適時停機了。圖4是一個借助圖形化編程工具實現(xiàn)的枚舉和自動停機的演示，用表情符號代表機器讀寫頭，用方塊代表存儲器。在這個例子中，存儲器數(shù)據(jù)中的第一個值代表讀寫頭將要做的動作，0代表右移，1代表停機。而#號后的數(shù)據(jù)則代表真正的需要被判斷或被替換的數(shù)值。讀寫頭既從存儲器中讀取和寫入數(shù)據(jù)，也根據(jù)存儲器中的數(shù)據(jù)，來指示下一步將要做的動作。

圖4 用圖形化編程工具演示讀寫頭和存儲器的行為