杜金梅

求數(shù)列和問題的難度較大，命題的形式較多，同學們需熟練掌握一些常見題型的特點和解題的方法，才能在解題時根據(jù)已知信息，快速找到最佳的解題思路.下面主要介紹求數(shù)列和的幾種常用方法.

一、利用Sn 和an 之間的關(guān)系

若題目中同時涉及了 Sn 和 an ，則可根據(jù) Sn 和 an 之間的關(guān)系：an = ì í ? S1，n = 1， Sn - Sn - 1，n ≥ 2， 將數(shù)列前 n 項的和式與數(shù)列前 n - 1 項的和式相減，即可得到 an = Sn - Sn - 1 .在解題時，需要注意當 n = 1 時，a1 = S1 這一特殊情況.

題目的已知關(guān)系式 S5= a 5（2）中同時涉及了 Sn 和 an ，于是利用Sn 與an 之間的關(guān)系，將S5與S4作差，即可消去 S5，建立關(guān)于 a1、d 的方程組，便可根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得問題的答案.

二、分組求和法

分組求和法主要應(yīng)用于求形如cn = an ± bn ±cn的數(shù)列的前 n 項和.可將數(shù)列拆分為幾個簡單的數(shù)列，分組進行求和，最后將所得的和相加或相減即可.

例2.已知數(shù)列{an }滿足 a1=1， an +1=（n +1）an + n（n +1）， n ∈ N*，且 bn = cos .設(shè) Sn 為數(shù)列{bn }的前n 項和，則S2020的值為（? ） .

解答本題，需先根據(jù)已知關(guān)系式求得{an }、{bn }的通項公式.然后觀察{bn }的通項公式可發(fā)現(xiàn)b3k -2+ b3k -1+ b3k= ，于是將數(shù)列中的項以三項一組，分成673組，分組進行求和，即可采用分組求和法求得數(shù)列的和.

三、裂項相消法

若數(shù)列的各項可拆分為兩項的差的形式，且前后兩項的差可相互抵消，則可采用裂項相消法，將復(fù)雜的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為簡單的運算問題，通過簡單的運算，就能輕松求得數(shù)列的前 n 項和.

解答本題，需先仔細研究已知的遞推關(guān)系式，將其通過變形，裂為兩項之差的形式 1 an = 1 an - 1 - 1 an + 1 - 1 ；然后采用裂項相消法，通過加減消去中間的部分項，化簡剩余的項即可.由于 1 an = 1 an - 1 - 1 an + 1 - 1 涉及了數(shù)列的前后三項，因此需將 n 分為 n=1，2，3 以及 n≥4 幾種情況進行討論.

四、錯位相減法

錯位相減法主要應(yīng)用于求形如cn = an ·bn 的數(shù)列的前n項和，其中{an}為等差數(shù)列、{bn}為等比數(shù)列.若數(shù)列的前n項和為 Sn ，則需將 Sn - qSn（其中q為等比數(shù)列的公比），得出 （1 - q）Sn ，通過化簡即可求得 Sn .

數(shù)列 {n·an} 的通項公式為n （-2） n - 1 ，該式為等差數(shù)列{n} 的通項公式和等比數(shù)列{（-2） } n - 1 的通項公式的乘積，可采用錯位相減法進行求和.運用錯位相減法求和容易出現(xiàn)計算錯誤，同學們要特別注意.

求數(shù)列和的方法很多，同學們在平時的學習中要注意積累解題的經(jīng)驗，學會對一些常見的典型題目進行歸類、分析，熟練掌握各類數(shù)列求和問題的特點、結(jié)構(gòu)形式，選擇與之相應(yīng)的方法進行求和.