談?wù)剮в喑?/h1>
2023-07-13 18:34:32林堃
廣東教育·綜合 2023年6期
林堃
帶余除法是數(shù)論的重要基礎(chǔ)知識，帶余除法實際上是關(guān)于兩個整數(shù)相除的研究。由于小學(xué)沒有學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)，所以小學(xué)階段只學(xué)習(xí)正整數(shù)的帶余除法。到了中學(xué)，數(shù)系從自然數(shù)延拓到了整數(shù)，中學(xué)數(shù)學(xué)教材沒有介紹整數(shù)的帶余除法，一些學(xué)生和教師對帶余除法的認(rèn)知存在誤解。 本文對整數(shù)的帶余除法進(jìn)行簡要分析，談?wù)剮в喑ǖ南嚓P(guān)知識。
一 、問題的提出
有一位中學(xué)教師問我一個這樣的問題：-7÷3有余數(shù)嗎？如果有，余數(shù)是什么？余數(shù)可以是負(fù)數(shù)嗎？
二 、問題的意義
中學(xué)數(shù)學(xué)教材沒有介紹整數(shù)的帶余除法，有些學(xué)生和教師認(rèn)為帶余除法只能是正數(shù)，認(rèn)為負(fù)數(shù)不能有帶余除法。這位教師提出的這個問題是一個具有代表性的問題，所以很有必要思考解答這個問題。
另外，數(shù)論是研究整數(shù)的學(xué)科，帶余除法是數(shù)論的重要基礎(chǔ)知識，帶余除法是整除、同余、連分?jǐn)?shù)等數(shù)論知識的基礎(chǔ)。整除是帶余除法余數(shù)為0的特殊情況，所以從數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的角度，也很有必要弄清楚該問題。
三 、問題的分析
帶余除法實際上是關(guān)于兩個整數(shù)相除的研究。首先0不能做除數(shù)，至于為什么0不能作為除數(shù)，本文不深究這個問題。如果0是被除數(shù)，除數(shù)非零，那么商和余數(shù)都是0。對于被除數(shù)非零的情況，我們分類討論，根據(jù)被除數(shù)和除數(shù)的正負(fù)號的可能性，一共有4種可能。例如7÷3，-7÷3，-7÷（-3），7÷（-3）。
對于除數(shù)是負(fù)數(shù)的情況，我們都可以把除數(shù)寫成正整數(shù)，比如-7÷
（-3）=7÷3，7÷（-3）=-7÷3。所以我們需要研究的實際只有兩種情況——正整數(shù)除以正整數(shù)和負(fù)整數(shù)除以正整數(shù)。
第一種是正整數(shù)除以正整數(shù)，也就是小學(xué)課本研究的，因為小學(xué)生不學(xué)負(fù)數(shù)，所以小學(xué)只學(xué)第一種。到了初中，本應(yīng)該系統(tǒng)學(xué)習(xí)整數(shù)的帶余除法，可惜初中數(shù)學(xué)教材和高中數(shù)學(xué)教材都沒有選編這個知識點(diǎn)，這也導(dǎo)致不少學(xué)生和教師不了解涉及負(fù)整數(shù)的帶余除法。
我們通過類比的方法分析一下負(fù)整數(shù)除以正整數(shù)的余數(shù)和商分別是什么。7÷3=2……1，可以寫成7=3×2+1。也就是當(dāng)b≠0時，a÷b=q……r等價于a=bq+r，這兩種形式都是帶余除法的表示方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教材里面規(guī)定了余數(shù)r不能大于除數(shù)b。我們先延續(xù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材的規(guī)定，看看7÷（-3）商和余數(shù)應(yīng)該等于多少。問題轉(zhuǎn)化為7=（-3）q+r，如果要保證r是最小的非負(fù)整數(shù)，那么7=（-3）×（-2）+1，也可以寫成7÷（-3）=（-2）……1，所以商是-2，余數(shù)是1。一般化之后，那就是：a÷b=q……r等價于a÷（-b）=（-q）……r，其中a，b，q，r為正整數(shù)。因為bq=（-b）（-q），所以這兩個式子的本質(zhì)都是a=bq+r，從而它們是等價的。
通過上述討論我們可以給出帶余除法的相關(guān)知識：如果a=bq+r，我們可以記作a÷b=q……r，其中a，b， q，r為整數(shù)，這就是帶余除法。如果我們限定0≤r＜| b |，那么對于給定的兩個非零整數(shù)a，b，都存在唯一的q和r，使得a=bq+r。這是《初等數(shù)論（I）》的引理4（陳景潤，2012），感興趣的讀者可以閱讀陳景潤先生的這本書。
對于余數(shù)r，常用的有兩種。滿足0≤r＜| b |的r叫做最小非負(fù)剩余，另外一種叫做絕對最小剩余，也即是余數(shù)r的絕對值不超過除數(shù)b的絕對值的一半。例如-2÷7=（-1）……5，-2÷7=0……（-2），所以-2除以7的最小非負(fù)剩余和絕對最小剩余分別是5和-2。因為小學(xué)沒有學(xué)負(fù)數(shù)，所以小學(xué)課本規(guī)定使用最小非負(fù)剩余，但是這并不代表余數(shù)不能是負(fù)數(shù)。
注意，我們說的是一般用的是最小非負(fù)剩余和絕對最小剩余，并沒有說只能用這兩種。根據(jù)實際情況的需要，余數(shù)還有其他類型。比如父親有100萬，父親要分錢給三個孩子，每一個孩子分20萬，父親自己留40萬。這也是可以的，我們不能要求父親要盡可能把錢分完，每一個孩子分33萬，他自己留1萬。實際上，他想怎么分就怎么分，都是可以的。
現(xiàn)實生活問題和純粹數(shù)學(xué)問題是兩回事?，F(xiàn)實生活問題要求我們具體問題具體分析，不要犯教條主義的錯誤。數(shù)學(xué)問題，得先看定義。為了保證唯一性，一般定義為最小非負(fù)剩余，有時定義為絕對最小剩余。我們看書時，先看書里面的定義是怎么表達(dá)的。我們寫書時，也要寫清楚定義，尤其是余數(shù)r的取值范圍。
四 、問題的解答
-7÷3有余數(shù)，-7÷3=-3……2，最小非負(fù)剩余是2；-7÷3=-2……（-1），絕對最小剩余是-1。余數(shù)可以是負(fù)數(shù)。
五 、后記
帶余除法看似簡單，其實非常深刻。它是整除、同余、輾轉(zhuǎn)相除法、貝祖定理、最大公因數(shù)、連分?jǐn)?shù)、剩余類、剩余系、剩余類加群、歐幾里得環(huán)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。實際上，數(shù)論學(xué)習(xí)就是從最小數(shù)原理和帶余除法開始的。需要繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的讀者，可以讀一下《數(shù)學(xué)通報》1985年第10期，我國著名數(shù)學(xué)教育家嚴(yán)士健的《從帶余數(shù)除法談起》。
責(zé)任編輯 羅 峰
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一 、問題的提出
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另外，數(shù)論是研究整數(shù)的學(xué)科，帶余除法是數(shù)論的重要基礎(chǔ)知識，帶余除法是整除、同余、連分?jǐn)?shù)等數(shù)論知識的基礎(chǔ)。整除是帶余除法余數(shù)為0的特殊情況，所以從數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的角度，也很有必要弄清楚該問題。
三 、問題的分析
帶余除法實際上是關(guān)于兩個整數(shù)相除的研究。首先0不能做除數(shù)，至于為什么0不能作為除數(shù)，本文不深究這個問題。如果0是被除數(shù)，除數(shù)非零，那么商和余數(shù)都是0。對于被除數(shù)非零的情況，我們分類討論，根據(jù)被除數(shù)和除數(shù)的正負(fù)號的可能性，一共有4種可能。例如7÷3，-7÷3，-7÷（-3），7÷（-3）。
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注意，我們說的是一般用的是最小非負(fù)剩余和絕對最小剩余，并沒有說只能用這兩種。根據(jù)實際情況的需要，余數(shù)還有其他類型。比如父親有100萬，父親要分錢給三個孩子，每一個孩子分20萬，父親自己留40萬。這也是可以的，我們不能要求父親要盡可能把錢分完，每一個孩子分33萬，他自己留1萬。實際上，他想怎么分就怎么分，都是可以的。
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