李寧

比較函數(shù)式大小問(wèn)題側(cè)重于考查簡(jiǎn)單基本函數(shù) 的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì).此類(lèi)問(wèn)題的難度一般不 大，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).本文以2022年廣 東佛山二模卷中的第12題為例，探討一下比較函數(shù)式 大小問(wèn)題的解法.

題目：

此題目主要考查指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性和 圖象的綜合應(yīng)用.要比較幾個(gè)函數(shù)式的大小，需將已知 關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危`活運(yùn)用不等式的性質(zhì)、構(gòu) 造函數(shù)法求解.

方法一：利用不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)很多，如傳遞性、可加性、可乘性、 對(duì)稱(chēng)性等.在比較函數(shù)式的大小時(shí)，可將已知關(guān)系式進(jìn) 行恒等變形，逐步向要比較的函數(shù)式靠攏，并根據(jù)已 知關(guān)系式的范圍，靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)，確定要比 較的函數(shù)式的范圍，進(jìn)而判斷出兩個(gè)函數(shù)式的大小關(guān) 系.對(duì)于本題，可先把 e y sin x = e x sin y 等號(hào)兩邊的式子 拆開(kāi)來(lái)看，分別比較 e x 與e y 、sin x與 sin y 的大小；然后 根據(jù)不等式的可乘性和對(duì)稱(chēng)性，以及正弦函數(shù)的單調(diào) 性來(lái)比較 cos x + cos y與0 大小.

解：

方法二：構(gòu)造函數(shù)法

構(gòu)造函數(shù)法是解答代數(shù)問(wèn)題的常用方法.在比較 函數(shù)式的大小時(shí)，往往需根據(jù)已知關(guān)系式或要比較的 函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出合適的函數(shù)模型.對(duì)于不等 式而言，通常需構(gòu)造同構(gòu)式.然后研究函數(shù)的單調(diào)性、 對(duì)稱(chēng)性、周期性、圖象，并確定兩個(gè)自變量，即可根據(jù) 函數(shù)的性質(zhì)比較出兩個(gè)函數(shù)式的大小.

解法1.

需先根據(jù) sin x e x = sin y e y 的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造同構(gòu)式 f （x）= sin x e x ；然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān) 系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定x、y的取值范圍；最 后根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)確定問(wèn)題的答案.

解法2

我們先根據(jù)已知關(guān)系式構(gòu)造函數(shù) f （x）= sin x e x ；然后 根據(jù)極值點(diǎn) π 4 ，構(gòu)造出函數(shù) F（x）= f （ π 4 + x）- f （ π 4 - x）， 將問(wèn)題看作極值點(diǎn)偏移問(wèn)題來(lái)求出 x + y 的范圍；最后 根據(jù)正余弦函數(shù)的單調(diào)性比較出函數(shù)式的大小.

相比較而言，第一種方法比較常用，適用于較為 簡(jiǎn)單的比較函數(shù)式大小問(wèn)題；第二種方法較為復(fù)雜， 適用于較為復(fù)雜的比較函數(shù)式大小問(wèn)題.

（作者單位：山東省棗莊市第二中學(xué)）